湖北省荆州中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

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1-8 CCBBA BCC 9.ABC 10.ACD 11.AC
12. 2 13. 14.
15．(1) (2)
【详解】（1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，
甲考生通过某校强基招生面试的概率为.
乙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：
.
（2）丙考生通过某校强基招生面试的概率为，
甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：.
16.（1） （2）
【小问1详解】因，
由正弦定理可得，
且，
即，
整理可得，
且，则，可得，
又因为，则，可得，所以.
【小问2详解】因为为的平分线，则，
因为，则，
即，可得，
在中，由余弦定理可得，
即，整理可得，解得或（舍去），
所以的面积.
17.(1)证明见解析 (2)
【详解】（1）取的中点，连接，
因为为等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为是的中点，所以，
因为平面，且，
所以平面.
（2）因为，由（1）知四边形为矩形，则，
又平面，所以平面，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
取平面的法向量为，设平面的法向量为，
则，即，令，则，所以.
，所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．(1)众数为；平均数为(2)平均数为；方差为
【详解】（1）解：根据频率分布直方图的众数的定义，可得这800名学生成绩的众数为，
这800名学生成绩的的平均数为：
（分）.
（2）解：根据题意，采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取40人，
各段抽取的人生分别为：12人，16人，6人，4人和2人，
其中分数在区间的学生为10人，分别为，
其中平均成绩与方差分别为，则，
设第三组学生实际成绩分别为，其平均数和方差为，则，
设第四组学生实际成绩分别为，其平均数和方差为，
由，可得，由，
可得，解得，
所以第四组的学生实际成绩的平均数为与方差为.
19.（1） （2） （3）（i）；（ii）
（1）由题可知，直线的一个方向向量坐标为，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则有，所以，
直线与平面所成角的余弦值为.
（2）由题可知平面的法向量为，且过点，
因为,所以，所以点到平面的距离为.
（3）（i）建立空间直角坐标系，
先分别画平面 ，
然后得到几何体为
几何体是底面边长为的正方形，高为的长方体，故几何体的体积为，
（ii）由（i）可知，的图像是一个完全对称的图像，所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可，
此时，
得，
画出第一卦限图像，显然其二面角为钝角，计算平面得二面角，
所以两个平面的法向量分别为，
所以其二面角的余弦值为，所以二面角为.