河南省郑州市2024-2025学年高二上学期9月阶段性检测数学试题

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【答案】
1.D
【解析】
1.解：由点 A(2，1， 1)， B(3，2， 1)，
所以 AB→=(1，1， 0)，
对于A， a→=(1，0， 1)，不满足 a→=λAB→，所以 a→与 AB→不共线；
对于B， a→=(2，1， 1)，不满足 a→=λAB→，所以 a→与 AB→不共线；
对于C， a→=(2， -2， 0)，不满足 a→=λAB→，所以 a→与 AB→不共线；
对于D， a→=(2，2， 0)，满足 a→=2AB→，所以 a→与 AB→共线．
故选：D
题目ID：914496816853028865
【答案】
2.A
【解析】
2. ∵a→⋅b→=1+0+n=3，解得 n=2，则 b⃗=1,1,2，
a→=1+0+1=2， b⃗=1+1+4=6，
设向量 a→与 b→的夹角为 θ，则 csθ=a→⋅b→a→b→=32×6=32，
∵θ∈0,π， ∴θ=π6，即 a→与 b→的夹角为 π6．
故选：A．
题目ID：914496816853028866
【答案】
3.A
【解析】
3.因为 ν→2=-2ν→1，所以 ν→1//ν→2，
所以直线 l1与 l2平行.
故选：A
题目ID：914496816853028867
【答案】
4.B
【解析】
4. a→=1,1,0， b→=-1,0,1，则 ka→+b→=k-1,k,1，
ka→+b→与 a→互相垂直，则 ka→+b→⋅a→=k-1+k=0， k=12.
故选：B.
题目ID：914496816853028868
【答案】
5.C
【解析】
5.无
题目ID：914496816853028869
【答案】
6.A
【解析】
6. NM→=OM→-ON→=34OB→-12OA→+OC→=34b→-12a→+c→=-12a→+34b→-12c→.
故选：A
题目ID：914496816853028870
【答案】
7.B
【解析】
7.无
题目ID：914496816853028871
【答案】
8.D
【解析】
8.无
题目ID：914496816853028872
【答案】
9.AC
【解析】
9. AB→=(2,4,x),CD→=(2,y,2)，
若 |AB→|=6且 l1⊥l2，
则 22+42+x2=62×2+4y+2x=0，解得 x=4y=-3或 x=-4y=1，
所以 x+y=1或 -3.
故选：AC
题目ID：914496816853028873
【答案】
10.AC
【解析】
10.因为 A-1,0,1， B-1,2,2， C-3,0,4，
所以 AB→=0,2,1,AC→=-2,0,3,BC→=-2,-2,2
所以 AB→⋅AC→=0+0+3=3， csAB→,AC→=AB→⋅AC→AB→⋅AC→=35⋅13=36565， BC→=4+4+4=23
所以 AB→,AC→不共线.
故选：AC
题目ID：914496816853028874
【答案】
11.BCD
【解析】
11.因为 AE⊥平面 ABCD， AD⊥AB，
由题意，以 A为坐标原点，分别以 AB⃗， AD⃗， AE⃗的方向为 x轴、 y轴、 z轴正方向建立空间直角坐标系，
可得 A0,0,0， B1,0,0， C1,2,0， D0,1,0， E0,0,2， F1,2,87，
则 BD⃗=-1,1,0， EC⃗=1,2,-2，
所以 BD⃗⋅EC⃗=-1×1+1×2+0×-2=1≠0，所以 BD， EC不垂直，故A错误；
依题意， AB⃗=1,0,0是平面 ADE的法向量，
又 BF⃗=0，2，87，可得 BF⃗⋅AB⃗=0，则 BF⊥AB，
又因为直线 BF⊄平面 ADE，所以 BF//平面 ADE，故B正确；
设 m→=a,b,c为平面 BDF的一个法向量，则 m→⋅BD⃗=0m→⋅BF⃗=0，
即 -a+b=02b+87c=0，令 b=1，可得 m→=1，1，-74，
依题意， BD⃗=-1，1，0， BE⃗=-1，0，2，
设 n→=x,y,z为平面 BDE的法向量，
则 n→⋅BD⃗=0n→⋅BE⃗=0，即 -x+y=0-x+2z=0，不妨令 z=1，可得 n→=2,2,1，
所以 csm→,n→=m→·n→m→n→=13，
故平面 BDE与平面 BDF的夹角的余弦值为 13，故C正确；
设直线 CE与平面 BDE所成角为 θ， CE⃗=-1,-2,2，
则 sinθ=csCE⃗,n→=CE⃗⋅n→CE⃗n→=49，故D正确.
故选：BCD.
题目ID：914496816853028875
12.【答案】
322
12.【解析】
解：因为点 A2,3,1，点 P4,3,2，
所以 PA⃗=-2,0,-1，
所以点 P4,3,2到直线 l的距离为：
d=PA⃗2-PA⃗⋅n⃗n⃗2=52--122=322，
故答案为： 322
题目ID：914496816853028876
13.【答案】
13.【解析】
无
题目ID：914496816853028877
14.【答案】
14.【解析】
无
题目ID：914496816853028878
15.【答案】
(1) a⃗=(-1,1,2)， b⃗=(1,-1,-2)， c⃗=(3,1,1)
(2) 517
15.【解析】
(1)∵向量 a⃗=(x,1,2)， b⃗=(1,y,-2)， c⃗=(3,1,z)，且 a→//b→， b⃗⊥c⃗，
易知 y≠0，否则 a→//b→不成立，
∴ x1=1y=2-23+y-2z=0，解得 x=-1， y=-1， z=1．
∴向量 a⃗=(-1,1,2)， b⃗=(1,-1,-2)， c⃗=(3,1,1)．
(2)∵ a→+c→=(2,2,3)， b→+c→=(4,0,-1)，
∴ (a→+c→)⋅(b→+c→)=2×4+2×0+3×(-1)=5，
a→+c→=22+22+32=17， b→+c→=42+02+(-1)2=17
∴向量 a⃗+c⃗与 b⃗+c⃗所成角的余弦值为 (a→+c→)⋅(b→+c→)a→+c→b→+c→=517×17=517．
题目ID：914496816853028879
16.【答案】
(1)．
(2)．
16.【解析】
(1)无
(2)无
题目ID：914496816853028880
17.【答案】
（1）证明见解析；（2）证明见解析.
17.【解析】
（1）如图所示，以 O为坐标原点，射线 OD为 y轴正半轴，射线 OP为 z轴正半轴，建立空间直角坐标系 O-xyz，
则 A0,-3,0， B4,2,0， C-4,2,0， P0,0,4，
于是 AP→=0,3,4， BC→=-8,0,0，
所以 AP→⋅BC→=0,3,4⋅-8,0,0=0，
所以 AP→⊥BC→，即 AP⊥BC．
（2）在 Rt△POA中， AO=3， PO=4，所以 AP=5．
又 AM=3，且点 M在线段 AP上，所以 AM→=35AP→=0,95,125．
又 BA→=-4,-5,0，所以 BM→=BA→+AM→=-4,-165,125，
则 AP→⋅BM→=0,3,4⋅-4,-165,125=0，
所以 AP→⊥BM→，即 AP⊥BM．
又 AP⊥BC， BC∩BM=B，
所以 AP⊥平面 BMC，所以 AM⊥平面 BMC．
又 AM⊂平面 AMC，所以平面 AMC⊥平面 BMC．
题目ID：914496816853028881
18.【答案】
（1） 2；（2） 7014
18.【解析】
（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法
∵PD⊥平面 ABCD，四边形 ABCD为矩形，不妨以点 D为坐标原点， DA、 DC、 DP所在直线分别为 x、 y、 z轴建立如下图所示的空间直角坐标系 D-xyz，
设 BC=2a，则 D0,0,0、 P0,0,1、 B2a,1,0、 Ma,1,0、 A2a,0,0，
则 PB⇀=2a,1,-1， AM⇀=-a,1,0，
∵PB⊥AM，则 PB⇀⋅AM⇀=-2a2+1=0，解得 a=22，故 BC=2a=2；
[方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法
如图，连结 BD．因为 PD⊥底面 ABCD，且 AM⊂底面 ABCD，所以 PD⊥AM．
又因为 PB⊥AM， PB∩PD=P，所以 AM⊥平面 PBD．
又 BD⊂平面 PBD，所以 AM⊥BD．
从而 ∠ADB+∠DAM=90°．
因为 ∠MAB+∠DAM=90°，所以 ∠MAB=∠ADB．
所以 △ADB∽△BAM，于是 ADAB=BABM．
所以 12BC2=1．所以 BC=2．
[方法三]：几何法+三角形面积法
如图，联结 BD交 AM于点N．
由[方法二]知 AM⊥DB．
在矩形 ABCD中，有 △DAN∽△BMN，所以 ANMN=DABM=2，即 AN=23AM．
令 BC=2t(t>0)，因为M为 BC的中点，则 BM=t， DB=4t2+1， AM=t2+1．
由 S△DAB=12DA⋅AB=12DB⋅AN，得 t=124t2+1⋅23t2+1，解得 t2=12，所以 BC=2t=2．
（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法
设平面 PAM的法向量为 m⇀=x1,y1,z1，则 AM⇀=-22,1,0， AP⇀=-2,0,1，
由 m⇀⋅AM⇀=-22x1+y1=0m⇀⋅AP⇀=-2x1+z1=0，取 x1=2，可得 m⇀=2,1,2，
设平面 PBM的法向量为 n⇀=x2,y2,z2， BM⇀=-22,0,0， BP⇀=-2,-1,1，
由 n⇀⋅BM⇀=-22x2=0n⇀⋅BP⇀=-2x2-y2+z2=0，取 y2=1，可得 n⇀=0,1,1，
csm⇀,n⇀=m⇀⋅n⇀m⇀⋅n⇀=37×2=31414，
所以， sinm⇀,n⇀=1-cs2m⇀,n⇀=7014，
因此，二面角 A-PM-B的正弦值为 7014.
[方法二]：构造长方体法+等体积法
如图，构造长方体 ABCD-A1B1C1D1，联结 AB1,A1B，交点记为H，由于 AB1⊥A1B， AB1⊥BC，所以 AH⊥平面 A1BCD1．过H作 D1M的垂线，垂足记为G．
联结 AG，由三垂线定理可知 AG⊥D1M，
故 ∠AGH为二面角 A-PM-B的平面角．
易证四边形 A1BCD1是边长为 2的正方形，联结 D1H， HM．
S△D1HM=12D1M⋅HG,S△D1HM=S正方形A1BCD1-S△D1A1H-S△HBM-S△MCD1，
由等积法解得 HG=31010．
在 Rt△AHG中， AH=22,HG=31010，由勾股定理求得 AG=355．
所以， sin∠AGH=AHAG=7014，即二面角 A-PM-B的正弦值为 7014．
题目ID：914496816853028882
19.【答案】
(1)证明见解析
(2) 3
19.【解析】
(1)（1）因为 PA⊥平面 ABCD，而 AD⊂平面 ABCD，所以 PA⊥AD，
又 AD⊥PB， PB∩PA=P， PB,PA⊂平面 PAB，所以 AD⊥平面 PAB，
而 AB⊂平面 PAB，所以 AD⊥AB.
因为 BC2+AB2=AC2，所以 BC⊥AB， 根据平面知识可知 AD//BC，
又 AD⊄平面 PBC， BC⊂平面 PBC，所以 AD//平面 PBC．
(2)如图所示，过点D作 DE⊥AC于 E，再过点 E作 EF⊥CP于 F，连接 DF，
因为 PA⊥平面 ABCD，所以平面 PAC⊥平面 ABCD，而平面 PAC∩平面 ABCD=AC，
所以 DE⊥平面 PAC，又 EF⊥CP，所以 CP⊥平面 DEF，
根据二面角的定义可知， ∠DFE即为二面角 A-CP-D的平面角，
即 sin∠DFE=427，即 tan∠DFE=6．
因为 AD⊥DC，设 AD=x，则 CD=4-x2，由等面积法可得， DE=x4-x22，
又 CE=4-x2-x24-x24=4-x22，而 △EFC为等腰直角三角形，所以 EF=4-x222，
故 tan∠DFE=x4-x224-x222=6，解得 x=3，即 AD=3．