江西省赣州立德虔州高级中学2023-2024学年高三上学期第一次月考数学试题

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填空题（每空5分）
13、； 14、 -1 ； 15、； 16、
三、解答题（17题10分，18-22各12分）
解：（1）……………………………………………………………1分
…………………4分
当且仅当，即x=3时等号成立，………………………………5分
（2）由（1）可知的定义域为R.
不等式的解集为R…………………………………………………7分
①a=0时，3≥0恒成立，满足题意；
②a≠0时，a a2-12a ，解得………………………………………9分
所以综上得，a的取值范围为……………………………………………………10分
解：（1）当a=1时，，………………………2分
所以…………………………………………………4分
所以，函数处的切线方程为 …………6分
因此，所求切线方程为.……………………………………8分
（2）当a=2时，,该函数的定义域为……10分
所以，函数f (x)的增区间为0，+∞…………………………………………………12分
解：（1）当时，，解得………………………………1分
当时，由得…………………………………………2分
所以，即（）…………………………4分
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，故………………………6分
（2）由（1）知，，所以………………………………………………7分
所以…………………………………………8分
故
………………………11分
即……………………………………………………………………………………12分
20.解：（1）因为，所以.
所以，．
所以曲线在点处的切线方程为．……………………………… 3分
（2）因为，定义域为，
所以．………………………………………………………………………… 4分
①当时，.
所以在上单调递增.……………………………………………………………………5分
②当时，令，得，
所以当时，与在上的变化情况如下：
所以在内单调递减，在内单调递增. …………………………… 6分
由①②可知，当时，在上单调递增；
当时，在内单调递减，在内单调递增.…………………… 7分
（3）因为，
所以，
所以.
令，所以. …………………………………………… 8分
所以在间上单调递增，即在区间上单调递增.
所以. ………………………………………………………………… 9分
因为，所以. ………………………………………………………………… 10分
所以在区间上单调递增.………………………………………………………11分
所以.
所以当时，在区间上的最小值是. …………………………………12分
21.解：（1）当0＜x＜50时，L(x) = 6×100x - 10x²- 200x - 3000= -10x²+ 400x - 3000；
当x≥50时，L(x) = 6×100x - 601x-1000x + 9000 - 3000 = 6000-(x + 1000x).
∴L(x) = -10x²+400x-3000，0＜x＜50，6000-(x+1000x)，x≥50.……………………………………………4分
当0＜x＜50时，L(x)= -10(x-20)²+1000，
∴当x = 20时，L(x)max=L(20)=1000；…………………………………………………6分
当x≥50时，L(x)=6000-(x+1000x)，
L(x)在(50,100)上单调递增，在(100，+∞)上单调递减；……………………………………8分
∴当x = 100时，L(x)max=L(100)=5800＞1000.……………………………………10分
∴当x = 100时，即2021年年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为5800万元.……………………………………………………………………………………………12分
22.解答：（1）法一：求导f(x)=1-ax=x-ax x>0,令f(x)=0得x-a=0即x=a,分
①当a0，由零点存在定理可知函数f(x)必有一个零点x0∈0,+∞分
②当a=0时，f(x)=x x>0无零点。
③当a>0时，令f(x)>0得x>a，所以f(x)在a，+∞递增，在0，a递减，所以要使得函数f(x)有唯一零点，只需使f(a)=0即lna=1，得a=分
综上所述得a∈-∞，0∪分。
法二：因为函数y=f(x)只有一个零点，所以方程f(x)=0只有一个根，即1a=lnxx只有一个根，分
令g(x)=lnxx,求导得g(x)=1-lnxx2,令g(x)>0得00,可得t(x)在0，+∞递增，又当x→0时，t(x)→−∞,x→+∞，t(x)→+∞，所以t(x)∈?,令g(t)=et-at,求导g(t)=et-a。分
①当a0,所以g(t)递增，当t0时，令g(t)>0,得t>lna,所以函数g(t)在-∞,lna递减，在lna,+∞递增，所以要使g(t)>0,只需g(lna)≥0,即a-alna≥0,0