长郡双语白石湖实验中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题（原卷及解析版）

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1. 秦始皇统一六国后创制的汉字书写形式是小篆，下列四个小篆字中为轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：∵A、B、D三个选项中的字都不能沿着一条直线折叠使直线两旁的部分能完全重合，
∴它们都不是轴对称图形，因此都不符合题意；
∵C选项中的字能够沿着一条直线折叠使直线两旁的部分能完全重合，
∴它是轴对称图形，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，解题关键是掌握轴对称图形的定义，即将一个平面图形沿着一条直线折叠能够使直线两旁的部分完全重合，那么这个图形是轴对称图形．
2. 点 M(3，-2)关于 y 轴对称的点的坐标为( )
A. (﹣3，2)B. (3，﹣2)C. (﹣3，﹣2)D. (3，2)
【答案】C
【解析】
【分析】关于y 轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标变为相反数.
【详解】点 M(3，-2)关于 y 轴对称的点的坐标为(-3，-2)
故选C.
【点睛】本题考查直角坐标系中点的坐标对称问题，比较简单，解题的关键是记住对称特点：关于y 轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变横坐标变为相反数.
3. 如图的两个三角形全等，则的度数为（ ）

A. 50°B. 58°C. 60°D. 62°
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质进行计算即可．
【详解】解：∵两个三角形全等，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形的对应角相等．
4. 如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB＝25°，延长AC至点M，则∠BCM的度数为( )
A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=25°，
∴∠BCM=∠CAB+∠CBA=25°+25°=50°．
故选B．
5. 到的三个顶点距离相等的点是的（ ）
A. 三条角平分线的交点B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条高的交点D. 三边中线的交点
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的判定定理．根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”求解即可．
【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，
∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：B．
6. 如图，要用“”判定和全等的条件是（ ）

A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据直角三角形全等的判定方法对各个选项进行一一判断，即可得出答案．
【详解】解：A、在和中，，，，由“”可判定，故本选项不符合题意；
B、在和中，，，，由“”可判定，故本选项不符合题意；
C、在和中，，，由“”可判定，故本选项符合题意；
D、在和中，，，，由“”可判定，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．
7. 如图，在中，，于点D，，，则的长为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据同角的余角相等求出，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出、的长，然后根据计算即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题关键．
8. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，
解得DE＝3，
∴CD＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线上点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．
9. 如图，在中，，点为边上一点，且，则的度数为（ ）
A. B. C. 32°D.
【答案】B
【解析】
【分析】先设，根据，，得出，，，最后根据三角形内角和即可得出答案．
【详解】设，
，
，，
，
，
，
，即．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和以及三角形外角定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角定理并能灵活运用．
10. 如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是（ ）
A. 16B. 19C. 20D. 21
【答案】B
【解析】
【分析】作点A关于CM的对称点A′，作点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题．
【详解】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．
∵∠CMD＝120°，
∴∠AMC+∠DMB＝60°，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，
∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19，
∴CD的最大值为19，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的运用，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．
二、填空题（共8题，每题3分）
11. 等腰三角形的两边长分别为和，这个等腰三角形的周长为_______．
【答案】15
【解析】
【分析】由等腰三角形两腰长相等的性质，分为腰长或为腰长两种情况，结合三角形三边关系即可求解．
【详解】解：根据题意，当腰长为时，6、6、3能组成三角形，
周长为：；
当腰长为时，，6、3、3不能构成三角形，
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，解题的关键是掌握“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”．
12. 已知和关于x轴对称，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，据此求出，，代入计算即可．
【详解】解：点和关于x轴对称，
，，
，，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，已知字母的值求代数式的值，正确掌握关于坐标轴对称的点的坐标特点是解题的关键．
13. 等腰三角形中，一个角50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为_____________．
【答案】50°或
【解析】
【分析】分50°的角为顶角和底角，两种情况进行讨论．
【详解】解：当50°的角为顶角时，底角为；
当50°的角为底角时，等腰三角形的顶角的度数为；
综上，顶角的度数为：50°或；
故答案为：50°或
【点睛】本题考查等腰三角形的性质．熟练掌握等边对等角，是解题的关键．
14. 如图，已知，要使，可添加一个条件_______．(写出一个即可)

【答案】或或(写出一个即可)
【解析】
【分析】由于已知条件有两个，分别是∠1=∠2，AD=AD，那么再增加一个条件AB=AC利用SAS可证两个三角形全等或利用AAS可证两个三角形全等或利用AAS可证两个三角形全等．
【详解】若所填条件为：AB=AC，
∵∠1=∠2，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)．
故填AD=BC．
若所填条件为：∠B=∠C，
∵∠1=∠2，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(AAS)．
故填∠B=∠C．
若所填条件为：，
∵∠1=∠2，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(AAS)．
故填．
故答案为：或或(写出一个即可)
【点睛】本题考查了全等三角形的判定；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
15. 如图，已知中，，，和的平分线相交于点，过点作的平行线，分别交，于，，则的周长是__________．
【答案】14
【解析】
【分析】根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形，即可解答．
详解】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCB，
∵EFBC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
∴∠ABD=∠EDB，∠ACD=∠FDC，
∴EB=ED，FD=FC，
∵AB=6，AC=8，
∴△AEF的周长=AE+EF+AF
=AE+ED+DF+AF
=AE+EB+AF+FC
=AB+AC
=14，
∴△AEF的周长为：14，
故答案为：14．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形是解题的关键．
16. 回顾尺规作图法中作一个角等于已知角的过程不难发现，实质上是我们首先作一个三角形与另一个三角形全等，再根据全等三角形对应角相等完成的．那么两个三角形全等的理论依据是__________．

【答案】##边边边
【解析】
【分析】根据作图过程可知，两个三角形的三条边对应相等，即可得出结果．
【详解】解：如图，由作图可知：

，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定方法．熟练掌握证明两个三角形全等．是解题的关键．
17. 如图，已知为等边三角形，点、分别在边、上，且，与相交于点．则的度数为__________．

【答案】##60度
【解析】
【分析】根据等边三角形性质得出，，证，推出，根据三角形外角性质求出，即可求出答案．
【详解】解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形的外角、全等三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
18. 如图，中，平分∠ABC，如果点M，N分别为上的动点，那么的最小值是__________．

【答案】4.8
【解析】
【分析】先作垂直交于点，再作垂直，根据角平分线的性质：角分线上的点到角的两边距离相等，即可找到动点和，进而求得的最小值．
【详解】解：如图所示：

过点作于点，交于点，
过点作于点，
平分，
，
．
中，，，，，，
，
，
．
即的最小值是4.8，
故答案为：4.8
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题、角分线的性质，解决本题的关键是找到使最小时的动点和．
三、解答题（共8题，总计66分）
19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画，使与关于轴对称；
（2）求的面积；
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了根据轴对称变换作图及求三角形的面积；
（1）根据网格结构找出点、、关于x轴的对称点、、的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【小问1详解】
如图所示；即为所求；
【小问2详解】
的面积．
20. 如图，在中，，D为的中点，，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】利用等边对等角，三线合一和三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵，D为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．熟练掌握等边对等角，等腰三角形三线合一，是解题的关键．
21. 如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC=DF．
求证：（1） ；（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据垂直得出，结合，得出三角形全等；（2）根据三角形全等得出，根据同位角相等，两直线平行得到答案．
【详解】解：（1）∵，
，
又∵，，
∴
（2）∵，
∴，
∴（同位角相等，两直线平行）
【点睛】本题考查三角形全等的性质与应用，平行线的判定，熟练掌握以上定理是解答本题的关键.
22. 如图，在中，，平分，，垂足为D．

（1）若，求的大小；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）三角形内角和定理，求出，角平分线平分角，即可得出的大小；
（2）过点作，角平分线的性质，得到，再利用三角形的面积公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵平分，
∴；
【小问2详解】
过点作于点，

∵平分，，
∴，
∴的面积为．
【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．
23. 如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．
(1)证明：△ADF是等腰三角形；
(2)若∠B=60°，BD=4，AD=2，求EC的长

【答案】（1）见解析；（2）EC=4，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由AB=AC，可知∠B=∠C，再由DE⊥BC和余角的性质可推出∠F=∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F=∠FDA，于是得到结论；
（2）由题意根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1），
，
又，
，
，，
，
又，
，
；
（2），
，
又，
，
在中，，
，
.
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质和余角的性质以及对顶角的性质等知识点，解题的关键根据相关的性质定理通过等量代换进行分析．
24. 已知，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，E是AB上一点，AE＝AC，AD⊥CE，垂足为D，交BC于点F．
（1）如图1，若∠BCE＝30°，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若AD＝4，求BC的长．
【答案】（1）△ABC为直角三角形，理由见解析
（2）8
【解析】
【分析】（1）根据已知求得∠BAD＝∠CAD＝∠B，由∠BCE＝30°，∠CDF＝90°，求得∠AFC＝∠B+∠BAF＝60°，即可求出∠ACD＝60°，得到△ABC为直角三角形；
（2）过C作CG∥AB交AD的延长线于点G．于是得到∠B＝∠BCG，∠BAF＝∠CAF＝∠G，求得∠BCG＝∠G，根据等式的性质得到AG＝BC，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【小问1详解】
解：△ABC为直角三角形，理由如下：
∵AE＝AC，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠CDF＝90°，
∴∠BAC＝2∠EAD＝2∠CAD，
又∵∠BAC＝2∠B，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B，
∵∠BCE＝30°，∠CDF＝90°，
∴∠AFC＝∠B+∠BAF＝60°，
∴∠BAF＝∠B＝∠CAD＝30°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠BCA＝90°，
即△ABC为直角三角形；
【小问2详解】
如图2，过C作CG∥AB交AD的延长线于点G．
则：∠B＝∠BCG，∠BAF＝∠CAF＝∠G，
又∵∠BAF＝∠B，
∴∠BCG＝∠G，
∴CA＝CG，FA＝FB，FC＝FG，
∴AG＝BC，
在△ACG中，CA＝CG，AG⊥CD，
∴AG＝2AD＝2DG，
∴BC＝2AD，
∵AD＝4，
∴BC＝2AD＝8．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
25. 阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．

（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：
①延长到Q使得；
②再连接，把、、集中在中；
③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是______．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）请写出图1中与的位置关系并证明；
（3）思考：已知，如图2，是中线，，，，试探究线段与的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）
（2），证明过程见解析
（3），证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）连接，证明四边形是平行四边形，可得，再根据三角形三边关系可得，即可求解；
（2）连接，根据中线的定义可得，再根据平行四边形的判定即可得出结论；
（3）延长使，连接、，证明四边形是平行四边形可得，，再根据平行线的性质可得，从而证明，可得，即可得出结论．
【小问1详解】
解：连接，
∵是边上的中线，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，即，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
证明：连接，
∵是边上的中线，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
【小问3详解】
解：，证明如下：
延长使，连接、，
∵是边上中线，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴．

【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质及三角形的三边关系，作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．
26. 已知是等腰直角三角形，，点在轴的负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴上方．
（1）如图1所示，点坐标为，点坐标为，求点的坐标（直接写出结果）；
（2）如图2所示，过作轴于，求证：；
（3）如图3所示，若轴恰好平分，与轴交于点，过作轴于，求证：．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】(1)根据是等腰直角三角形，如图1可过作轴于，可根据“AAS”证明代入数据求解即可．
(2)根据是等腰直角三角形，则可根据“AAS”证明代入数据求解即可．
(3) 如图3延长，相交于点，先证明，再利用对称的性质得即可．
【小问1详解】
如图1，过点作轴于，
∵，，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，

∴，
∴，，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵是等腰直角三角形，
∴，，∴，
∵，∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴；
【小问3详解】
如图3，延长，相交于点，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵轴平分，轴，
∴，
∵轴，
∴，
∴．即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平面直角坐标系中平面图形的性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用等腰直角三角形的性质添加辅助线构造全等三角形．