初中数学北师大版（2024）八年级上册7 二次根式教学设计

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册7 二次根式教学设计，共12页。
课时目标
1.了解二次根式和最简二次根式的概念,能将二次根式(根号下仅限于数)化简为最简二次根式.
2.通过对二次根式的性质的探究,提高数学探究能力和归纳表达能力.
3.经历在具体情境中发现二次根式的过程,体会引入二次根式的必要性.
4.经历观察、交流、总结等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,让学生体现发现的快乐,并提高应用的意识.
学习重点
了解二次根式和最简二次根式的概念,能将二次根式化简为最简二次根式.
学习难点
对二次根式的性质的探究.
课时活动设计
问题引入
思考:用带根号的式子填空,观察这些结果有什么特点?
(1)图1的画框为正方形,若面积为8 dm2,则边长为 8 dm;若面积为S dm2,则边长为 S dm.
(2)图2是一块长方形的土地,若宽是长的35,土地的面积为13 m2,则它的长为 653 m.
图1 图2
设计意图:通过实际问题,让学生用带根号的式子填空,为下面探究二次根式的特征作准备.
知识回顾
1.什么叫做平方根?
2.什么叫做算术平方根?
3.什么数有算术平方根?
设计意图:回顾平方根和算术平方根的定义,为本节课要学习的内容作准备.
探究新知
探究1 二次根式的概念
教师提出问题,学生思考并解答,最后教师总结.
问题1:问题引入中的问题,我们得到的结果分别是8,S,653,这些式子分别表示什么意义?
解:这些式子分别表示8,S,653的算术平方根.
问题2:非负数b,m+n,t2-2的算术平方根怎么表示?
解:算术平方根分别是b,m+n,t2-2.
问题3:什么样的数才有算术平方根?
解:只有非负数才有算术平方根.
问题4:这些式子有什么共同特征?
解:①含有“ ”;②被开方数为非负数.
总结二次根式的概念:一般地,形如a(a≥0)的式子叫做二次根式,a叫做被开方数.(注意:a可以是数,也可以是式子.)
二次根式的两个必备特征:①外貌特征,含有“ ”;②内在特征,被开方数a≥0.
探究2 二次根式中字母的取值范围
学生思考,小组交流,回答下列问题.
问题1:使二次根式m-2在实数范围内有意义的m的取值范围是 .
分析:要使二次根式在实数范围内有意义,即需满足被开方数≥0,列不等式求解即可.
解:由m-2≥0,得m≥2.∴当m≥2时,m-2在实数范围内有意义.
问题2:使式子2a-1在实数范围内有意义的a的取值范围是 .
分析:若二次根式为分母时,应同时考虑分母不为零.
解:由a-1≥0,得a≥1.
又∵a-1为分母,∴a-1≠0.
∴a-1≠0,即a≠1.
∴当a>1时,2a-1在实数范围内有意义.
总结 二次根式中字母的取值范围的依据:
(1)形如m的二次根式有意义的条件:m≥0.
(2)二次根式作为分式的分母时,如nm有意义的条件:m>0.
探究3 二次根式的性质
观察下列式子,你发现了什么?学生思考,小组交流讨论.
4×9=6;4×9=6;49=23;49=23;2549=57;2549=57.
问题1:你有什么猜想?
解:a·b=a·b(a≥0,b≥0),ab=ab(a≥0,b>0).
问题2:根据上面的猜想,估计下面每组两个式子是否相等,借助计算器验证一下吧.(结果精确到0.000 1)
(1)6×7= ,6×7= ;(2)67= ,67= .
解:(1)6.480 7 6.480 7 (2)0.925 8 0.925 8
验证猜想:6×7=6×7,67=67.
总结 二次根式的性质:
(1)积的算术平方根等于算术平方根的积;(2)商的算术平方根等于算术平方根的商.
a·b=a·b(a≥0,b≥0),ab=ab(a≥0,b>0).
探究4 最简二次根式
问题:化简下列二次根式.
(1)81×64; (2)25×6; (3)59.
解:(1)81×64=81×64=9×8=72.
(2)25×6=25×6=56.
(3)59=59=53.
交流:观察化简结果56,53,这些数有什么特点呢?
解:被开方数中都不含分母,也不含能开得尽的因数或因式.
小结 最简二次根式定义:一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.
化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式.
设计意图:引领学生自主探索二次根式的性质,从特殊数入手,希望学生获得一定的感性经验,再进一步强化这样的经验和猜测,最后经由学生交流,总结、归纳出二次根式的性质.
典例精讲
例1 化简:
(1)81×64; (2)25×6; (3)59.
解:(1)81×64=81×64=9×8=72.
(2)25×6=25×6=56.
(3)59=59=53.
例2 化简:
(1)50; (2)27; (3)13.
解:(1)50=25×2=25×2=52.
(2)27=2×77×7=2×77×7=147.
(3)13=1×33×3=33.
设计意图:通过例题,学生进一步理解二次根式的概念、性质和熟练掌握将二次根式化为最简二次根式.
巩固训练
1.下列各式是最简二次根式的是( C )
A.-7 B.32 C.3 D.25
2.下列各式正确的是( B )
A.a·b=a·b B.2×3=2×3
C.(-2)×(-3)=-2×-3D.827=23
3.填空.
(1)使式子4-aa-1有意义的a的取值范围为 10);
二次根式的除法法则:ab=ab(a≥0,b>0).
追问:问题导入中的长方形的宽该如何计算呢?
解:宽=205=255=2.
问题:从上面的运算中,你发现了什么?
总结:二次根式的乘法法则:a·b=a·b(a≥0,b≥0);二次根式的除法法则:
ab=ab(a≥0,b>0).
提示:在二次根式的运算中,最后结果一般要求写成最简的二次根式的形式.
探究3 二次根式的分母有理化
问题:15是最简二次根式吗?如果不是,如何化简呢?
解:不是.15=55×5=55.
总结:形如1mn的式子,分子、分母同乘以n,可以使分母不含根号.
思考:15+3如何化简呢?
解:15+3=5-3(5+3)(5-3)=5-32.
总结:形如1ma±nb的式子,分子、分母同乘以ma∓nb,构成平方差公式,可以使分母不含根号.
探究4 二次根式的加减运算
问题1:你能直接写出下列式子的结果吗?
(1)3x2+4x2;(2)x2+3x2+y.
解:(1)7x2.(2)4x2+y.
问题2:类比合并同类项的方法,想想如何计算80-45?
解:80-45=45-35=5.
问题3:3+5能不能再进行计算?为什么?
解:不能,因为它们都是最简二次根式,被开方数不相同,所以不能合并.
二次根式的加法、减法法则:(1)先化为最简二次根式;(2)再合并同类二次根式.
提示:在二次根式的运算中,最后结果一般要求写成最简的二次根式的形式.
探究5 二次根式的四则混合运算
计算下列式子,观察运算过程,你从中发现了什么?
(1)32×23;(2)12×3-5;(3)(5+1)2;(4)13+313-3;
(5)(12-13)×3;(6)8+182.
解:(1)32×23=3×2×2×3=66.
(2)12×3-5=12×3-5=36-5=6-5=1.
(3)(5+1)2=(5)2+25+12=5+25+1=6+25.
(4)13+313-3=132-32=13-9=4.
(5)(12-13)×3=12×3-13×3=36-1=6-1=5.
(6)8+182=82+182=82+182=4+9=2+3=5.
总结:实数的运算律同样适用于二次根式,我们在进行二次根式的混合运算时,可以用到乘法交换律、结合律和分配律,也可以用到完全平方公式和平方差公式.
探究6 二次根式化简求值
化简(1a-b)·ab,其中a=3,b=2.你是怎么做的?
解:方法一(先代入,后化简):把a=3,b=2代入代数式中,
原式=(13-2)·3×2=13×3×2-2×3×2=2-23.
方法二(先化简,后代入):原式=1a·a×b-b·a×b=b-ba,
把a=3,b=2代入代数式中,原式=2-23.
追问:哪种方法更简便?
归纳 二次根式化简求值的方法:解决二次根式的化简求值问题时,直接代入求值比较麻烦,可先化简已知条件,再用乘法公式变形,最后代入求值即可.
设计意图:给出问题,激发学生思考,小组讨论,教师引导学生从数学现象发现数学规律.通过探究中具体例题的学习,获得二次根式加减乘除运算的有关技能.
典例精讲
例1 计算:
(1)48+3;(2)5-15;(3)(43+3)×6.
解:(1)48+3=16×3+3=16×3+3=43+3=53.
(2)5-15=5-525=5-55=455.
(3)(43+3)×6=43×6+3×6=8+18=22+32=52.
例2 已知a=15-2,b=15+2,求a2+b2+2.
分析:先化简已知条件,再利用乘法公式变形,即a2+b2=(a+b)2-2ab,最后代入求解.
解:∵a=15-2=5+2(5-2)(5+2)=5+2,
b=15+2=5-2(5+2)(5-2)=5-2,
∴a+b=25,ab=1,
∴a2+b2+2=(a+b)2-2ab+2=(25)2-2+2=20=25.
设计意图:通过例题,学生进一步理解二次根式的运算法则.
巩固训练
1.下列各式正确的是( B )
A.(-2)2=-2B.(-2)×(-2)=2
C.32-2=3D.8+2=10
2.填空.
(1)计算2×3= 6 ;36×9= 18 .
(2)长方形的宽为3,面积为26,则长方形的长为 22 .
(3)计算(48-327)÷3= -5 .
(4)若两个最简二次根式5和2m-5能够合并,则m= 5 .
3.计算:
(1)(6-38)×2;(2)(2+2)(2-2);(3)27×3=100;
(4)183+32-1550.
解:(1)(6-38)×2=6×2-38×2=6×2-38×2=23-32=332.
(2)(2+2)(2-2)=22-(2)2=4-2=2.
(3)27×3-100=33×3-10=3×3-10=-1.
(4)183+32-1550=2+42-2=42.
设计意图:通过实时练习,学生在系统归纳整理了二次根式四则运算的相关知识的基础上,进一步加深了对二次根式四则运算法则的理解,提高学生解决问题的能力,并培养学生的应用意识.
课堂小结
1.二次根式的四则运算法则是什么?
2.二次根式化简求值的方法有哪些?
设计意图:总结回顾本节课学习的重点内容,帮助学生巩固课堂知识.
课堂8分钟.
1.教材第45页习题2.10第1,2题,第48页习题2.11第1,2,3题.
2.七彩作业.
第2课时 二次根式的运算
1.二次根式乘除法法则.
2.同类二次根式.
3.例题:
4.练习:
教学反思