北师大版（2024）八年级上册4 一次函数的应用教案

这是一份北师大版（2024）八年级上册4 一次函数的应用教案，共19页。教案主要包含了二可根据学生情况进行选取)等内容，欢迎下载使用。
课时目标
1.了解两个条件可确定一次函数;一个条件可确定正比例函数.
2.能根据所给信息(图象、表格、实际问题等),利用待定系数法确定一次函数的表达式.
3.从一次函数“数”的角度入手,转移到“形”,让学生进一步体会数形结合的思想,发展数形结合解决问题的能力.
4.初步体会函数与方程的联系.
学习重点
了解两个条件可确定一次函数;一个条件可确定正比例函数.
学习难点
能根据所给信息(图象、表格、实际问题等),利用待定系数法确定一次函数的表达式.
课时活动设计
回顾引入
前面,我们学习了一次函数及其图象和性质,你能写出两个具体的一次函数表达式吗?如何画出它们的图象?
思考:反过来,已知一个一次函数的图象经过两个具体的点,你能求出它的表达式吗?
设计意图:通过回顾已学的知识,引起学生对新知识的思考.
探究新知
探究1 确定正比例函数的表达式
情境一:某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(m/s)与其下滑时间t(s)的关系如图所示.
(1)写出v与t之间的关系式;
(2)下滑3 s时物体的速度是多少?
分析:要求v与t之间的关系式,首先应观察图象,确定函数的类型,然后根据函数的类型设它对应的表达式,再把已知点的坐标代入表达式求出待定系数即可.
解:(1)设v与t之间的关系式为v=kt(t≥0).
由图象可知,当t=2时,v=5,
得5=2k,解得k=52.
所以v与t之间的关系式为v=52t(t≥0).
(2)当t=3时,v=52×3=132.
所以当下滑3 s时,物体速度为152 m/s.
总结:先将表达式中未知系数用字母表示出来,再根据条件求出这个未知系数,这种方法称为待定系数法.
情境二:求正比例函数y=(m-4)xm2-15的表达式.
解:由正比例函数的定义知
m2-15=1且m-4≠0,
∴m=-4.
∴y=-8x.
(情境一、二可根据学生情况进行选取)
方法总结:利用正比例函数的定义确定表达式:自变量的指数为1,系数不为0.
想一想:确定正比例函数的表达式需要几个条件?确定一次函数的表达式呢?
解:确定正比例函数的表达式需要一个条件.确定一次函数的表达式需要两个条件.
探究2 确定一次函数的表达式
已知一次函数的图象经过(0,5),(2,-5)两点,求一次函数的表达式.
解:设一次函数的表达式为y=kx+b,根据题意,得
-5=2k+b,①
将②代入①,得k=-5.
∴一次函数的表达式为y=-5x+5.
总结:根据图象确定一次函数的表达式的方法:从图象上选取两个已知点的坐标,然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数,从而求出函数的表达式.
设计意图:让学生体会数形结合思想,发展数形结合解决问题的能力.
典例精讲
例1 在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.某弹簧不挂物体时长14.5 cm;当所挂物体的质量为3 kg时,弹簧长16 cm.请写出y与x之间的关系式,并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度.
解:设y=kx+b,根据题意,得
14.5=b,①
16=3k+b.②
将①代入②,得k=0.5.
所以在弹性限度内,y=0.5x+14.5.
当x=4时,y=0.5×4+14.5=16.5(cm).
即物体的质量为4 kg时,弹簧长度为16.5 cm.
例2 正比例函数与一次函数的图象如图所示,它们的交点为A(4,3),B为一次函数的图象与y轴的交点,且OA=2OB.求正比例函数与一次函数的表达式.
解:设正比例函数表达式为y1=k1x,一次函数表达式为y2=k2x+b.
因为点A(4,3)是它们的交点,所以把A(4,3)代入y1=k1x中,得
4k1=3,k1=34,所以y1=34x.
又因为OA=32+42=5,OA=2OB,所以OB=52,B点坐标为0,-52 .
所以b=-52.①
把A(4,3)代入y2=k2x+b中,得4k2+b=3.②
将①代入②,得k2=118.
所以y2=118x-52.
总结:解此类题要根据所给的条件建立数学模型,得出变化关系,并求出函数的表达式,根据函数的表达式作答.
求函数表达式的步骤:1.设函数表达式;2.根据已知条件列出有关方程;3.解方程;4.把求出的k,b值代回到表达式中即可.
设计意图:通过例题,规范学生对解题步骤的书写,总结求函数表达式的步骤.
巩固训练
1.如图,直线l是某正比例函数的图象,点A(-4,12),B(3,-9)是否在该函数的图象上?
解:设函数表达式为y=kx.
将(-1,3)代入y=kx中,得3=-k,k=-3.
所以该函数表达式为y=-3x.
把x=-4代入y=-3x中,得y=-3×(-4)=12,符合A(-4,12)的坐标.
所以点A在该图象上.同理可证,点B也在该函数图象上.
2.如图,直线l是一次函数y=kx+b的图象,填空:
(1)当x=30时,y= -18 ;
(2)当y=30时,x= -42 .
设计意图:通过实例巩固所学内容,使学生灵活运用待定系数法求表达式.培养学生教形结合思想和教学应用能力.
课堂小结
今天我们学习了哪些内容?
设计意图:通过提问方式进行小结,交流收获与不足,让学生养成学习——总结——再学习的良好学习习惯,有利于帮助学生理清知识脉络,同时明确本节课的学习目标,巩固学习效果.
课堂8分钟.
1.教材第90页习题4.5第1,2,4题.
2.七彩作业.
第1课时 确定一次函数的表达式
1.待定系数法.
2.正比例函数的表达式.
3.一次函数的表达式.
教学反思



第2课时 借助单个一次函数图象解决有关问题
课时目标
1.能通过函数图象获取信息,解决简单的实际问题.
2.通过对函数图象的观察与分析,培养学生数形结合的意识,发展形象思维;通过具体问题的解决,培养学生的数学应用能力.
3.在解决问题过程中,初步体会方程与函数的关系,建立知识之间的联系.
4.引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动,使学生初步形成多样的学习方式.
学习重点
能通过函数图象获取信息,解决简单的实际问题.
学习难点
在解决问题过程中,初步体会方程与函数的关系,建立各种知识之间的联系.
课时活动设计
回顾引入
问题1:从一次函数图象上可获得哪些信息?
解:(1)由一次函数的图象可确定k和b的符号;
(2)由一次函数的图象可估计函数的变化趋势;
(3)可直接观察出x与y的对应值;
(4)由一次函数的图象与y轴的交点坐标可确定b值,从而确定一次函数图象的表达式.
问题2:一次函数具有什么性质?
解:在一次函数y=kx+b中,当k>0时,y随x的增大而增大,当b>0时,直线交y轴于正半轴,必过第一、二、三象限,当b