北师大版（2024）八年级上册第五章 二元一次方程组4 应用二元一次方程组——增收节支教案

这是一份北师大版（2024）八年级上册第五章 二元一次方程组4 应用二元一次方程组——增收节支教案，共5页。
1.能借助表格分析较为复杂问题中的数量关系,建立方程组解决问题.
2.让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程,体会方程(组)是刻画现实世界数量关系的有效数学模型,发展模型意识和应用意识.
学习重点
体会列方程组解决实际问题的步骤,学会用图表分析较为复杂问题中的数量关系.
学习难点
将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型,会用图表分析数量关系.
课时活动设计
回顾引入
上节课,我们应用二元一次方程组解决了鸡兔同笼问题,这节课我们应用二元一次方程组解决增收节支问题.
师:“增收”顾名思义就是增加收入,如:“今年的总收入比去年增加了20%”,在这句话中,涉及到的等量关系是什么呢?
生:今年的总收入=去年的总收入×(1+20%).
师:“节支”顾名思义就是节约开支,如:“今年的总支出比去年减少了10%”,在这句话中,涉及到的等量关系是什么呢?
生:今年的总支出=去年的总支出×(1-10%).
设计意图:通过复习旧知识,回顾找等量关系的方法,要善于抓住关键词语“比”,在涉及到百分比的问题时,务必弄清以谁为单位“1”,避免个别同学在建立等量关系时出现错误,为后面的学习做准备.
探究新知
探究1 某工厂去年的利润(总收入-总支出)为200万元.今年总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元?
思考一下,如何解决这类现实问题?解决这类问题的关键又是什么?
学生通过讨论交流得出解决这类问题的关键是找等量关系.
去年的利润是200万元,今年的利润是780万元;“今年总收入比去年增加了20%”对应的等量关系是“去年总收入×(1+20%)=今年总收入”;“总支出比去年减少了10%”对应的等量关系是“去年总支出×(1-10%)=今年总支出”.
题目中还有没有隐含的等量关系?
教师引导学生得到隐含的等量关系是“去年的总收入-去年的总支出=200万元”,“今年的总收入-今年的总支出=780万元”.
解:设去年的总收入为x万元,总支出为y万元,则今年的总收入为(1+20%)x万元,总支出为(1-10%)y万元.
由题意,得x-y=200,(1+20%)x-(1-10%)y=780.解得x=2000,y=1800.
所以去年的总收入是2 000万元,总支出是1 800万元.
探究2 拓展提升:某工厂去年的利润(总收入-总支出)为200万元.今年总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元?
在探究1中,以“比”后面的数量为单位“1”,设去年的收入和支出分别为x,y,从而解决实际问题.可以以“比”前面的数量为单位“1”吗?可以设今年的收入和支出分别为x,y吗?那么去年的量该如何表示呢?哪种方法更简便呢?
解:设今年的总收入为x万元,则去年的总收入为x1+20%万元;设今年的总支出为y万元,则去年的总支出为y1-10%万元.
依据题意,可列方程组为x-y=780,x1+20%-y1-10%=200. 解得x=2400y=1620.
∴x1+20%=24001+20%=2 000,y1-10%=16201-10%=1 800.
所以去年的总收入为2 000万元,总支出为1 800万元.
探究3 变式训练:某工厂去年的利润(总收入-总支出)为200万元.今年总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.今年的总收入、总支出各是多少万元?
此题与上一题相比,哪里有变化?你会采用哪种设法呢?
学生分组自由讨论,畅所欲言,教师巡视指导,肯定学生不同的方法,引导学生比较不同解法的优劣.
设计意图:本环节通过教师引导,带领学生逐步分解题目中的已知条件,降低学生理解题目的难度,引导学生逐步找到等量关系.并借助课本中的表格帮助学生进行思路上的梳理,完成对复杂问题的解答.通过变式训练,提醒学生要认真审题,巧妙设未知量,使自己的解法最优化.
归纳总结
1.列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤为:审、设、列、解、检、答.
2.解题过程中的注意事项:审清题意,巧设未知量,正确列等量关系式.
设计意图:对所学习的知识进行回顾和梳理,锻炼学生总结归纳的能力.
典例精讲
例 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质,若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质,那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要?
分析:借助表格梳理题目中的数量关系.
解:设每餐需要甲原料x克,乙原料y克.
根据题意,得0.5x+0.7y=35,①x+0.4y=40.②
化简,得5x+7y=350,③5x+2y=200.④
③-④,得5y=150,解得y=30.
把y=30代入①,得x=28.
答:每餐甲原料28克,乙原料30克恰好满足病人的需要.
设计意图:面对复杂的数量关系,可以借助表格进行分析,找出问题中所蕴含的等量关系.应充分思考,正确找到等量关系建立模型,列出正确的二元一次方程组.规范学生对解题步骤的书写,让学生感受到数学的严谨性.
巩固训练
1.一、二两班共有100名学生,他们的体育达标率(达到标准的百分率)为81%.如果一班学生的体育达标率为87.5%,二班学生的体育达标率为75%,那么一、二两班各有多少名学生?
设一、二两班分别有学生人数为x名、y名,填写下表并求出x,y的值.
解:由题意,得x+y=100,0.875x+0.75y=81.解得x=48,y=52.
所以一班有48名学生,二班有52名学生.
2.某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共15吨,实际生产了17吨,其中水稻超产15%,小麦超产10%.该专业户去年实际生产水稻、小麦各多少吨?
解:设该专业户去年计划生产水稻x吨,小麦y吨;实际生产水稻(1+15%)x吨,小麦(1+10%)y吨.
由题意,得x+y=15,(1+15%)x+(1+10%)y=17.解得x=10,y=5.
(1+15%)x=11.5,(1+10%)y=5.5.
答:该专业户去年实际生产水稻11.5吨,小麦5.5吨.
设计意图:通过练习,巩固本节课所学知识,同时使学生学会规范的解题过程,培养学生逆向思维能力.
课堂小结
1.列方程解应用题的一般步骤有哪些?
2.如何快速准确地找到对应的等量关系?
3.寻找等量关系式要弄清以谁为单位“1”.
设计意图:通过小结,帮助学生梳理知识,让学生养成及时整理的习惯.
课堂8分钟.
1.教材第119页习题5.5第1,2,3,4题.
2.七彩作业.
5.4 应用二元一次方程组——增收节支
1.列方程解应用题的一般步骤.
2.找等量关系.
教学反思


甲原料x克
乙原料y克
所配制的营养品
其中所含蛋白质
0.5x
0.7y
35
其中所含铁质
x
0.4y
40
一班
二班
两班总和
学生人数
x
y
100
达标学生人数
0.875x
0.75y
81