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初中数学北师大版（2024）八年级上册7 用二元一次方程组确定一次函数表达式教案
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这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册7 用二元一次方程组确定一次函数表达式教案，共6页。
1.进一步理解二元一次方程与一次函数之间的联系,理解作函数图象的方法与代数方法各自的特点.
2.了解待定系数法,会用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
3.在图象解法与代数解法的对比中,体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化;经历应用问题多种解法的探究过程,在探究过程中学会解决实际问题的一些基本方法和策略.
学习重点
了解待定系数法,会用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
学习难点
在图象解法与代数解法的对比中,体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化.
课时活动设计
情境引入
问题1:每个二元一次方程组都对应两个 ,于是也对应两条 .
解:一次函数 直线
问题2:从“数”的角度看,解方程组相当于什么?
解:自变量为何值时两个函数的值相等,以及这个函数值是何值.
问题3:从“形”的角度看,解方程组相当于什么?
解:确定两条直线交点的坐标.
问题4:已知二元一次方程x+y=3与3x-y=5有一组公共解,那么一次函数y=3-x与y=3x-5的图象的交点坐标为( B )
A.(1,2) B.(2,1) C.(-1,2) D.(-2,1)
那么二元一次方程组的解与一次函数的k值有何关系?
设计意图:通过提问,让学生体会函数和方程之间的联系,为本节学习新知识作铺垫.
探究新知
探究1 A,B两地相距100 km,甲、乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶,则他们各自到A地的距离s(km)都是骑车时间t(h)的一次函数.1 h后乙距离A地80 km;2 h后甲距离A地30 km.经过多长时间两人将相遇?
学生先自主提出解决方案,然后对方案进行交流、比较.
分析:
甲:t=0,s=0.t=2,s=30.
乙:t=0,s=100.t=1,s=80.
方法一:图象解法.
可以分别作出两人s与t之间的关系图象,找出交点的横坐标.
方法二:二元一次方程组解法.
对于乙,s是t的一次函数,可以设函数表达式为s=kt+b.当t=0时,s=100;当t=1时,s=80.将它们分别代入s=kt+b中,可以求出k,b的值,也即可以求出乙的s与t之间的函数表达式.同样可以求出甲的s与t之间的函数表达式,再联立这两个表达式,求解方程组就行了.
乙:100=b,80=k+b→b=100,k=-20→s=-20t+100.
对于甲:s是t的是正比例函数,设函数表达式为s=kt.当t=2时,s=30,所以s=15t.
联立,得方程组s=-20t+100,s=15t.解得s=3007,t=207.
方法三:一元一次方程解法.
1 h后乙距A地80 km,即乙的速度是20 km/h;2 h后甲距A地30 km,即甲的速度是15 km/h.
由此可以求出甲、乙两人的速度和.
设同时出发后t小时相遇,15t+20t=100.解这个方程,得t=207.
思考:以上的解题过程对你有什么启发?
用图象法可以解决问题,用方程组的方法也可以解决问题,用一元一次方程的方法也可以解决问题.用画图象的方法可以直观地获得问题的结果,但有时却难以获得问题的准确结果,因此为了获得准确的结果,我们一般用代数方法.
探究2 某长途汽车客运站规定,乘客可以免费携带一定质量的行李,但超过该质量则需购买行李票,且行李费y(元)是行李质量x(kg)的一次函数.已知李明带了60 kg的行李,交了行李费5元;张华带了90 kg的行李,交了行李费10元.
(1)写出y与x之间的函数表达式;
(2)旅客最多可免费携带多少千克的行李?
分析:(1)设出函数表达式,根据相应的数值,列出方程组,求出k,b的值.(2)根据(1)中的函数表达式,要想让旅客免费携带行李,即满足y≤0,求得x的最大值.
解:(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b.
根据题意,得5=60k+b,①10=90k+b.②
②-①,得30k=5,解得k=16.
将k=16代入①,得b=-5.
所以y与x之间的函数表达式为y=16x-5.
(2)令y=0,即16x-5=0,解得x=30.
即当x=30时,y=0.
所以旅客最多可免费携带30 kg的行李.
概念:像这样,先设出函数表达式,再根据所给条件确定表达式中未知的系数,从而得到函数表达式的方法,叫做待定系数法.
设计意图:以实际问题为背景,学生小组讨论、探索,进一步理解函数与方程的关系,让学生在多种解决问题的方法中思考和比较作图象方法与代数方法各自的特点,初步了解待定系数法确定一次函数的表达式的方法,同时理解知识之间有着广泛的联系.
归纳总结
1.先设出函数关系式,再根据所给条件确定表达式中未知的系数,从而得到函数表达式的方法,叫做待定系数法.
2.待定系数法求一次函数表达式的一般步骤是什么?
(1)设:设一次函数表达式:y=kx+b;
(2)代:把已知条件代入,得到关于k,b的方程组;
(3)解:解方程组,求出k,b的值;
(4)还原:写出表达式.
设计意图:对本节内容进行回顾和梳理,帮助学生进一步理解和掌握所学知识.
典例精讲
教师提出问题,学生先独立思考,然后再在小组内交流探讨,教师展示答题过程.
例 已知函数y=2x+b的图象经过点(a,7)和(-2,a),求这个函数的表达式.
解:将(a,7)和(-2,a)代入y=2x+b,得7=2a+b,a=-4+b.
解方程组,得a=1,b=5.
所以a的值是1,b的值是5,该函数的表达式为y=2x+5.
设计意图:通过例题,让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的具体的做法,深刻理解解决这种问题的一般步骤与方法.
巩固训练
1.下图中的两直线l1,l2的交点坐标可以看做方程组 t+s=4,2t-s=-1 的解.
2.若点A(2,-3),B(4,3),C(5,a)在同一条直线上,则直线的函数表达式为 y=3x-9 ,a= 6 .
3.已知一次函数的图象过点(2,0)和点(1,-1),则这个函数的表达式为 y=x-2 .
4.在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数,当所挂物体的质量为1 kg时,弹簧长15 cm;当所挂物体的质量为3 kg时,弹簧长16 cm.写出y与x之间的关系式,并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度.
解:设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.
根据题意,得15=k+b,①16=3k+b.②
②-①,得2k=1,解得k=12.
将k=12代入①,得b=292.
所以y与x之间的函数关系式为y=12x+292.
当所挂物体的质量为4 kg时,即x=4时,y=332.
综上,y与x之间的关系式为y=12x+292,当所挂物体质量为4 kg时,弹簧长度为332 cm.
设计意图:巩固本节课知识点,发挥学生作为教学主体的主动性,让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦.
课堂小结
1.待定系数法的概念.
2.待定系数法求一次函数表达式的一般步骤.
设计意图:课堂小结不仅仅是总结知识,更是数学方法的小结,是高层次的自我认识过程,帮助学生的自行建构知识体系,形成学习能力.
课堂8分钟.
1.教材第128页习题5.8第1,2,3题.
2.七彩作业.
5.7 用二元一次方程组确定一次函数表达式
1.概念:待定系数法.
2.待定系数法求一次函数表达式的一般步骤:
设——代——解——还原.
教学反思
1.进一步理解二元一次方程与一次函数之间的联系,理解作函数图象的方法与代数方法各自的特点.
2.了解待定系数法,会用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
3.在图象解法与代数解法的对比中,体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化;经历应用问题多种解法的探究过程,在探究过程中学会解决实际问题的一些基本方法和策略.
学习重点
了解待定系数法,会用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
学习难点
在图象解法与代数解法的对比中,体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化.
课时活动设计
情境引入
问题1:每个二元一次方程组都对应两个 ,于是也对应两条 .
解:一次函数 直线
问题2:从“数”的角度看,解方程组相当于什么?
解:自变量为何值时两个函数的值相等,以及这个函数值是何值.
问题3:从“形”的角度看,解方程组相当于什么?
解:确定两条直线交点的坐标.
问题4:已知二元一次方程x+y=3与3x-y=5有一组公共解,那么一次函数y=3-x与y=3x-5的图象的交点坐标为( B )
A.(1,2) B.(2,1) C.(-1,2) D.(-2,1)
那么二元一次方程组的解与一次函数的k值有何关系?
设计意图:通过提问,让学生体会函数和方程之间的联系,为本节学习新知识作铺垫.
探究新知
探究1 A,B两地相距100 km,甲、乙两人骑车同时分别从A,B两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶,则他们各自到A地的距离s(km)都是骑车时间t(h)的一次函数.1 h后乙距离A地80 km;2 h后甲距离A地30 km.经过多长时间两人将相遇?
学生先自主提出解决方案,然后对方案进行交流、比较.
分析:
甲:t=0,s=0.t=2,s=30.
乙:t=0,s=100.t=1,s=80.
方法一:图象解法.
可以分别作出两人s与t之间的关系图象,找出交点的横坐标.
方法二:二元一次方程组解法.
对于乙,s是t的一次函数,可以设函数表达式为s=kt+b.当t=0时,s=100;当t=1时,s=80.将它们分别代入s=kt+b中,可以求出k,b的值,也即可以求出乙的s与t之间的函数表达式.同样可以求出甲的s与t之间的函数表达式,再联立这两个表达式,求解方程组就行了.
乙:100=b,80=k+b→b=100,k=-20→s=-20t+100.
对于甲:s是t的是正比例函数,设函数表达式为s=kt.当t=2时,s=30,所以s=15t.
联立,得方程组s=-20t+100,s=15t.解得s=3007,t=207.
方法三:一元一次方程解法.
1 h后乙距A地80 km,即乙的速度是20 km/h;2 h后甲距A地30 km,即甲的速度是15 km/h.
由此可以求出甲、乙两人的速度和.
设同时出发后t小时相遇,15t+20t=100.解这个方程,得t=207.
思考:以上的解题过程对你有什么启发?
用图象法可以解决问题,用方程组的方法也可以解决问题,用一元一次方程的方法也可以解决问题.用画图象的方法可以直观地获得问题的结果,但有时却难以获得问题的准确结果,因此为了获得准确的结果,我们一般用代数方法.
探究2 某长途汽车客运站规定,乘客可以免费携带一定质量的行李,但超过该质量则需购买行李票,且行李费y(元)是行李质量x(kg)的一次函数.已知李明带了60 kg的行李,交了行李费5元;张华带了90 kg的行李,交了行李费10元.
(1)写出y与x之间的函数表达式;
(2)旅客最多可免费携带多少千克的行李?
分析:(1)设出函数表达式,根据相应的数值,列出方程组,求出k,b的值.(2)根据(1)中的函数表达式,要想让旅客免费携带行李,即满足y≤0,求得x的最大值.
解:(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b.
根据题意,得5=60k+b,①10=90k+b.②
②-①,得30k=5,解得k=16.
将k=16代入①,得b=-5.
所以y与x之间的函数表达式为y=16x-5.
(2)令y=0,即16x-5=0,解得x=30.
即当x=30时,y=0.
所以旅客最多可免费携带30 kg的行李.
概念:像这样,先设出函数表达式,再根据所给条件确定表达式中未知的系数,从而得到函数表达式的方法,叫做待定系数法.
设计意图:以实际问题为背景,学生小组讨论、探索,进一步理解函数与方程的关系,让学生在多种解决问题的方法中思考和比较作图象方法与代数方法各自的特点,初步了解待定系数法确定一次函数的表达式的方法,同时理解知识之间有着广泛的联系.
归纳总结
1.先设出函数关系式,再根据所给条件确定表达式中未知的系数,从而得到函数表达式的方法,叫做待定系数法.
2.待定系数法求一次函数表达式的一般步骤是什么?
(1)设:设一次函数表达式:y=kx+b;
(2)代:把已知条件代入,得到关于k,b的方程组;
(3)解:解方程组,求出k,b的值;
(4)还原:写出表达式.
设计意图:对本节内容进行回顾和梳理,帮助学生进一步理解和掌握所学知识.
典例精讲
教师提出问题,学生先独立思考,然后再在小组内交流探讨,教师展示答题过程.
例 已知函数y=2x+b的图象经过点(a,7)和(-2,a),求这个函数的表达式.
解:将(a,7)和(-2,a)代入y=2x+b,得7=2a+b,a=-4+b.
解方程组,得a=1,b=5.
所以a的值是1,b的值是5,该函数的表达式为y=2x+5.
设计意图:通过例题,让学生掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式的具体的做法,深刻理解解决这种问题的一般步骤与方法.
巩固训练
1.下图中的两直线l1,l2的交点坐标可以看做方程组 t+s=4,2t-s=-1 的解.
2.若点A(2,-3),B(4,3),C(5,a)在同一条直线上,则直线的函数表达式为 y=3x-9 ,a= 6 .
3.已知一次函数的图象过点(2,0)和点(1,-1),则这个函数的表达式为 y=x-2 .
4.在弹性限度内,弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数,当所挂物体的质量为1 kg时,弹簧长15 cm;当所挂物体的质量为3 kg时,弹簧长16 cm.写出y与x之间的关系式,并求当所挂物体的质量为4 kg时弹簧的长度.
解:设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.
根据题意,得15=k+b,①16=3k+b.②
②-①,得2k=1,解得k=12.
将k=12代入①,得b=292.
所以y与x之间的函数关系式为y=12x+292.
当所挂物体的质量为4 kg时,即x=4时,y=332.
综上,y与x之间的关系式为y=12x+292,当所挂物体质量为4 kg时,弹簧长度为332 cm.
设计意图:巩固本节课知识点,发挥学生作为教学主体的主动性,让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦.
课堂小结
1.待定系数法的概念.
2.待定系数法求一次函数表达式的一般步骤.
设计意图:课堂小结不仅仅是总结知识,更是数学方法的小结,是高层次的自我认识过程,帮助学生的自行建构知识体系,形成学习能力.
课堂8分钟.
1.教材第128页习题5.8第1,2,3题.
2.七彩作业.
5.7 用二元一次方程组确定一次函数表达式
1.概念:待定系数法.
2.待定系数法求一次函数表达式的一般步骤:
设——代——解——还原.
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