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北师大版（2024）八年级上册1 为什么要证明教案
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这是一份北师大版（2024）八年级上册1 为什么要证明教案，共4页。
1.经历观察、归纳、验证等活动过程,在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠,初步感受证明的必要性.
2.理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法:实验验证、举反例验证、推理证明等,理解数学的严谨性.
3.通过观察、猜想、推理的过程,发展学生的探索意识与合作交流的意识,发展学生的推理意识.
学习重点
了解证明的意义,知道要判断一个数学结论是否正确,必须进行证明.
学习难点
会用实验验证、举出反例、推理证明等方法简单地验证一个数学结论是否正确.
课时活动设计
情境引入
通过多媒体播放视频和图片,引导学生观察,思考.通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论,那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?我们再感受几个!
(1)图1中两条线段a,b的长度相等吗?图2中的四边形是正方形吗?请你先观察,再设法检验你观察到的结论.
图1 图2 图3
(2)如图3,把地球看成球形,假如用一根比地球赤道长1 m的铁丝将地球赤道围起来,铁丝和地球赤道之间的间隙能有多大?能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下,再具体算一算,看看与你的感觉是否一致,并与同伴进行交流.
学生尝试解答,教师使用多媒体展示答案.
解:画出示意图如图,
设铁丝圈的半径为R,地球的半径为r,赤道周长为C.
由题意,得R-r=C+12π-C2π=12π≈0.16(m).
所以可以放一个拳头.
设计意图:由大量的现实图片引出,让学生产生视觉上的强烈冲击,激发强烈的求知欲,为下面探究新知识打下基础.通过理性的计算,验证了很难想像到的结论,让学生产生思维上的碰撞,进而对自己的直观感觉产生怀疑,再次为论证的合理性和必要性提供素材.
探究新知
教师引导学生思考下面问题.
1.代数式n2-n+11的值是质数吗?取n=0,1,2,3,4,5试一试,你能否由此得到结论:对于所有的自然数n,n2-n+11的值都是质数?与同伴进行交流.
学生组内合作,互相讨论交流.教师通过多媒体展示成果.
2.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,连接DE,DE与BC有怎样的位置关系和数量关系?请你先猜一猜,再设法检验你的猜想.
解:通过测量得出:
位置关系:DE∥BC;
数量关系:DE=12BC.
你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗?与同伴进行交流.
教师总结:通过实验、观察、归纳得到的结论不一定都正确.要判断一个数学结论是否正确,无论验证多少个特殊例子,也无法保证其正确性,要确定其正确性,必须要进行有根有据的证明.
设计意图:引导学生小组合作交流,通过第1题让学生明白,只举几个特殊例子就证明结论是正确的,这种做法不恰当.为下一步的学习提供必要的准备.
在第2题中,学生通过测量得出猜想,并通过改变三角形的形状,在不同的三角形中再次得到验证,因而较为相信这个结论的正确性;但毕竟是测量结果,测量难免有误差,因此难以令人信服,还需要寻求更为可信的证明.
典例精讲
例 我们知道2×2=4,2+2=4,试问对于任意数a与b,是否一定有结论a×b=a+b?
解:3×2=6,而3+2=5,6≠5,
所以不是对于任意数a与b都一定有结论a×b=a+b.
设计意图:让学生进一步对“通过实验、观察、归纳得到的结论不一定都正确”有一个更深刻、更全面的认识,体验了证明的必要性.通过特例我们并不能直接得到结论,可以通过举出反例的方式加以证明,培养学生的严谨意识.
巩固训练
1.当n为正整数时,代数式(n2-5n+5)2的值都等于1吗?
解:当n=1时,(n2-5n+5)2=1;
当n=2时,(n2-5n+5)2=1;
当n=3时,(n2-5n+5)2=1;
当n=4时,(n2-5n+5)2=1;
当n=5时,(n2-5n+5)2=25≠1.
∴当n为正整数时,代数式(n2-5n+5)2的值不一定都等于1.
2.当n为正整数时,n2+3n+1的值一定是质数吗?
解:当n=1时,n2+3n+1=5;当n=2时,n2+3n+1=11;当n=3时,n2+3n+1=19;
当n=4时,n2+3n+1=29;当n=5时,n2+3n+1=41;当n=6时,n2+3n+1=55.
因为当n=6时,n2+3n+1=55,是个合数,不是质数,所以当n为正整数时,n2+3n+1的值不一定是质数.
设计意图:让学生在经历活动环节和独立思考的基础上,对现有结论进行验证,让学生感受到知识有时具有一定的迷惑性,从而对不完全归纳的合理性产生怀疑,进而认识到证明的必要性.在此过程中培养学生的运算能力、表达能力和总结能力,让学生学会用数学语言表达现实世界.
课堂小结
1.通过实验、观察、归纳得到的结论一定正确吗?
2.你有哪些证明结论是否正确的方法?
设计意图:通过小结让学生复述本节课所学知识,使学生牢固掌握本节课所学内容,把所学知识内化成自己的知识.
课堂8分钟.
1.教材第164页习题7.1第1,2,3题.
2.七彩作业.
教学反思
1.经历观察、归纳、验证等活动过程,在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠,初步感受证明的必要性.
2.理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法:实验验证、举反例验证、推理证明等,理解数学的严谨性.
3.通过观察、猜想、推理的过程,发展学生的探索意识与合作交流的意识,发展学生的推理意识.
学习重点
了解证明的意义,知道要判断一个数学结论是否正确,必须进行证明.
学习难点
会用实验验证、举出反例、推理证明等方法简单地验证一个数学结论是否正确.
课时活动设计
情境引入
通过多媒体播放视频和图片,引导学生观察,思考.通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论,那么通过观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗?我们再感受几个!
(1)图1中两条线段a,b的长度相等吗?图2中的四边形是正方形吗?请你先观察,再设法检验你观察到的结论.
图1 图2 图3
(2)如图3,把地球看成球形,假如用一根比地球赤道长1 m的铁丝将地球赤道围起来,铁丝和地球赤道之间的间隙能有多大?能放进一个拳头吗?先凭感觉想象一下,再具体算一算,看看与你的感觉是否一致,并与同伴进行交流.
学生尝试解答,教师使用多媒体展示答案.
解:画出示意图如图,
设铁丝圈的半径为R,地球的半径为r,赤道周长为C.
由题意,得R-r=C+12π-C2π=12π≈0.16(m).
所以可以放一个拳头.
设计意图:由大量的现实图片引出,让学生产生视觉上的强烈冲击,激发强烈的求知欲,为下面探究新知识打下基础.通过理性的计算,验证了很难想像到的结论,让学生产生思维上的碰撞,进而对自己的直观感觉产生怀疑,再次为论证的合理性和必要性提供素材.
探究新知
教师引导学生思考下面问题.
1.代数式n2-n+11的值是质数吗?取n=0,1,2,3,4,5试一试,你能否由此得到结论:对于所有的自然数n,n2-n+11的值都是质数?与同伴进行交流.
学生组内合作,互相讨论交流.教师通过多媒体展示成果.
2.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,连接DE,DE与BC有怎样的位置关系和数量关系?请你先猜一猜,再设法检验你的猜想.
解:通过测量得出:
位置关系:DE∥BC;
数量关系:DE=12BC.
你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗?与同伴进行交流.
教师总结:通过实验、观察、归纳得到的结论不一定都正确.要判断一个数学结论是否正确,无论验证多少个特殊例子,也无法保证其正确性,要确定其正确性,必须要进行有根有据的证明.
设计意图:引导学生小组合作交流,通过第1题让学生明白,只举几个特殊例子就证明结论是正确的,这种做法不恰当.为下一步的学习提供必要的准备.
在第2题中,学生通过测量得出猜想,并通过改变三角形的形状,在不同的三角形中再次得到验证,因而较为相信这个结论的正确性;但毕竟是测量结果,测量难免有误差,因此难以令人信服,还需要寻求更为可信的证明.
典例精讲
例 我们知道2×2=4,2+2=4,试问对于任意数a与b,是否一定有结论a×b=a+b?
解:3×2=6,而3+2=5,6≠5,
所以不是对于任意数a与b都一定有结论a×b=a+b.
设计意图:让学生进一步对“通过实验、观察、归纳得到的结论不一定都正确”有一个更深刻、更全面的认识,体验了证明的必要性.通过特例我们并不能直接得到结论,可以通过举出反例的方式加以证明,培养学生的严谨意识.
巩固训练
1.当n为正整数时,代数式(n2-5n+5)2的值都等于1吗?
解:当n=1时,(n2-5n+5)2=1;
当n=2时,(n2-5n+5)2=1;
当n=3时,(n2-5n+5)2=1;
当n=4时,(n2-5n+5)2=1;
当n=5时,(n2-5n+5)2=25≠1.
∴当n为正整数时,代数式(n2-5n+5)2的值不一定都等于1.
2.当n为正整数时,n2+3n+1的值一定是质数吗?
解:当n=1时,n2+3n+1=5;当n=2时,n2+3n+1=11;当n=3时,n2+3n+1=19;
当n=4时,n2+3n+1=29;当n=5时,n2+3n+1=41;当n=6时,n2+3n+1=55.
因为当n=6时,n2+3n+1=55,是个合数,不是质数,所以当n为正整数时,n2+3n+1的值不一定是质数.
设计意图:让学生在经历活动环节和独立思考的基础上,对现有结论进行验证,让学生感受到知识有时具有一定的迷惑性,从而对不完全归纳的合理性产生怀疑,进而认识到证明的必要性.在此过程中培养学生的运算能力、表达能力和总结能力,让学生学会用数学语言表达现实世界.
课堂小结
1.通过实验、观察、归纳得到的结论一定正确吗?
2.你有哪些证明结论是否正确的方法?
设计意图:通过小结让学生复述本节课所学知识,使学生牢固掌握本节课所学内容,把所学知识内化成自己的知识.
课堂8分钟.
1.教材第164页习题7.1第1,2,3题.
2.七彩作业.
教学反思
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