2024年湖南省长沙市中考数学模拟试题

这是一份2024年湖南省长沙市中考数学模拟试题，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．尼莫点，正式名称为海洋难抵极，是地球表面距离陆地最偏远的地点，位于南太平洋中央的海面上，最近的陆地与当地相隔2688000米之遥，其中2688000用科学记数法表示应为（ ）
A．2.688×107B．26.88×105C．2.688×106D．0.2688×107
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ）
A．0.90B．0.82C．0.85D．0.84
4．如图，，点E在线段上，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．如图是一架人字梯，已知米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A．米B．米C．米D．米
6．某农场开挖一条长480米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，是半圆O的直径，C、D、E三点依次在半圆O上，若，，则与之间的关系是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形．动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动．当移动时间为4秒时，的值为（ ）

A．B．C．D．
9．如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ）

A．B．C．D．
10．蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
11．分解因式： ．
12．在中，，AC：BC=1：2，则sinB的值为 ．
13．关于x的分式方程有增根，则 ．
14．在平行四边形ABCD中，AB＝4，点A到边BC，CD的距离分别为AM、AN，且AM=2 ，则∠MAN的度数为 ．
15．如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转后得到对应的四边形（旋转角小于180°），连接AC，若，则菱形ABCD旋转的角度是 度．
16．如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接，则的面积为 ．
三、解答题
17．计算：
18．先化简，然后从的范围内选取一个你喜欢的合适的整数作为的值代入求值．
19．超市购进A、B两种商品，购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元．
(1)求A、B两种商品每件进价分别是多少元？
(2)若该商店购进A、B两种商品共200件，都标价10元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以10元售出的商品件数比购进A种商品的件数少30件，该商店此次销售A、B两种商品共获利不少于640元，求至少购进A种商品多少件？
20．如图，已知，，将沿射线的方向平移至，使为的中点，连结，记与的交点为．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数．
21．新颁布的《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来，彰显劳动教育的重要性．为了解某校学生一周内劳动教育情况，随机抽查部分学生一周内课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图的图1和图2．

请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
(1)求图1中m的值为 ，此次抽查数据的中位数是 h；
(2)求该校此次抽查的学生一周内平均课外劳动时间；
(3)若该校共有2000名学生，请你估计该校学生一周内课外劳动时间不小于的人数．
22．已知某可变电阻两端的电压为定值，使用该可变电阻时，电流与电阻是反比例函数关系，函数图象如图所示．
(1)求I关于R的函数表达式；
(2)若要求电流I不超过，则该可变电阻R应控制在什么范围?
23．在一次数学综合实践活动中，需要制作如图所示的零件（长方体和圆锥的组合体），为此方方同学画出了该零件的三视图．
(1)请问方方所画的三个视图是否有错？如有错，请将错的视图改正．
(2)根据图中尺寸，求出其体积．（注：长方体的底面为正方形，单位：，结果保留一位小数）
24．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过点D作DE⊥MN于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若DE＝4cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．
25．四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：）

26．如图，在矩形ABCD中， AB=3，AD=4，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G；
(1)如图1，当∠DAG=30° 时，求BE的长；
(2)如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；
(3)如图3，在矩形ABCD中，E，G分别是BC、CD上的一点，AEEG，将△EGC沿EG翻折得，连接，若是以AE为腰的等腰三角形，则BE的值为 ．（直接写出答案）
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，若抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，若点是直线下方的抛物线上一点，过点作，交轴于点，且，求点的横坐标；
(3)如图2，点在点的正下方，连接，交抛物线于点，直线交对称轴于点，作，交射线于点，求的大小．
射击次数
20
80
100
200
400
1000
“射中九环以上”的次数
18
68
82
168
327
823
“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数）
0.90
0.85
0.82
0.84
0.82
0.82
参考答案：
1．C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：2688000＝2.688×106．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．D
【分析】本题考查了整式的运算，根据整式的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A、与不是同类项不能合并，故错误，不符合题意；
B、，故原计算错误，不符合题意；
C、，故原计算错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意．
故选：D．
3．B
【分析】根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论．
【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近，
∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键．
4．A
【分析】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数．
【详解】解：∵△ABC≌△AED，
∴∠AED=∠B，AE=AB，∠BAC=∠EAD，
∴∠1=∠BAE=40°，
∴△ABE中，∠B==70°，
∴∠AED=70°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
5．A
【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据余弦的定义即可，得到答案．
【详解】过点A作，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键．
6．C
【分析】根据题意列出方程即可．
【详解】由题意得：
．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
7．A
【分析】连接、、，根据圆内接四边形的性质定理，得到，再根据同弧所对的圆周角相等，得到，由直径所对的圆周角是直角可知，最后根据即可得到与之间的关系．
【详解】解：连接、、，
四边形为圆内接四边形，
，
，
，
，
，
为直径，
，
，
，
，
故选A．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握圆的相关性质是解题关键．
8．D
【分析】根据题意，得出，，勾股定理求得，，即可求解．
【详解】解：连接、

∵点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形．
∴，
则，
依题意，，
∴，则，
∴
∴，
∴，
∵，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求得的坐标是解题的关键．
9．A
【分析】如图，过作于，证明，由，即，可得，证明，可得，设，则，可得，，再利用正切的定义可得答案．
【详解】解：如图，过作于，

∵，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
10．A
【分析】连接，设正六边形的边长为a，由正六边形的性质及点P的坐标可求得a的值，即可求得点M的坐标．
【详解】解：连接，如图，设正六边形的边长为a，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵点P的坐标为，
∴，
即；
∴，，
∴点M的坐标为．
故选：A．

【点睛】本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键．
11．
【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可.
【详解】，
故填
【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式.
12．55/155
【分析】设AC=x，则BC=2x，根据勾股定理得，根据锐角三角函数的正弦等于对边比斜边，即可得．
【详解】解：设AC=x，则BC=2x，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数，解题的关键是掌握这些知识点．
13．
【分析】等式两边同时乘以公因式，化简分式方程，然后根据方程有增根，求出的值，即可求出．
【详解】，
解：方程两边同时乘以，得，
∴，
∵原方程有增根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的增根．
14．60°或120°
【分析】运用平行四边形、锐角三角函数以及垂直的性质,分两种情形画图讨论解答即可．
【详解】解：如图1：
∵AM⊥BC，AB=4,AM=2
∴
∴∠MAB=30°
又∵平行四边形ABCD
∴AB∥CD
∵AN⊥DC
∴AN⊥AB,即∠NAB=90°
∴∠MAN=∠NAB+∠MAB=120°
如图2：
同理可得∠MAN=60°
故答案为60°或120°．
【点睛】本题考查了平行四边形、平行线的性质以及分类讨论，其中掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
15．
【分析】本题考查旋转及菱形的性质．推出是解题的关键．根据旋转的性质结合菱形的性质即可求解．
【详解】解：由题意得：
∵四边形是菱形，
∴
∵
∴
即菱形ABCD旋转的角度是度，
故答案为：
16．3
【分析】本题主要考查反比例函数中k的几何意义．
连接，由于同底等高的两个三角形面积相等，则，然后根据反比例函数中k的几何意义有|，进而即可求解．
【详解】连接，
∵轴
∴
故答案为：3
17．6
【分析】先算括号，后算乘方，再算乘除，最后算加减．
【详解】解：原式

【点睛】本题考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算的运算法则和运算顺序是解题关键．
18．，
【分析】先根据分式的运算法则把所给代数式化简，然后从的范围内选取一个使原分式有意义的整数代入计算即可．
【详解】解：原式
，
∵，且为整数，
∴可取的整数为－2，－1，0，1，2，
∵要使分式有意义，
∴，且，
∴只能取±2，
∴当时，
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，无理数的估算，以及分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．
19．(1)A种商品每件进价5元，B种商品每件进价6元；
(2)至少购进A种商品100件．
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用：
（1）根据“购进4件A种商品比购进5件B种商品少用10元，购进20件A种商品和10件B种商品共用去160元”列出方程组解答即可；
（2）设购进A种商品件，则B种商品件，“利润不少于640元”列出不等式解答即可．
【详解】（1）解：设A甲种商品每件进价x元，B种商品每件进价y元，
根据题意，得，解得：，
答：A种商品每件进价5元，B种商品每件进价6元．
（2）解：设A种商品购进a件，则B种商品件，
根据题意，得，
解得：，
答：至少购进A种商品100件．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平移的性质：
（1）利用平移的性质得出四边形是平行四边形，得，再证明，进而利用证明即可；
（2）根据角平分线的定义得出的度数，进而利用三角形的内角和定理解答即可．
【详解】（1）证明：由平移可知，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
在与中，
∵
∴；
（2）解：平分，，
，
．
21．(1)25，3
(2)该校此次抽查的学生一周内平均课外劳动时间为
(3)该校学生一周内课外劳动时间不小于的人数为1400人
【分析】（1）两个统计图结合计算出随机调查的总人数，用劳动4小时的人数除以调查总人数求出m，利用中位数的定义，中位数应是第20和21的中位数．
（2）利用平均数的定义，计算出调查的总课外劳动时间除以调查人数即可．
（3）计算出调查人数中不小于的人数占比再乘该校总人数得出答案．
【详解】（1）解：人，．
∴．
中位数：．
故答案为：25，3；
（2）解：．
答：该校此次抽查的学生一周内平均课外劳动时间为．
（3）解：人．
答：该校学生一周内课外劳动时间不小于3h的人数为1400人
【点睛】本题条形统计图和扇形统计图，中位数，平均数，样本估计总体，解题关键是掌握中位数和平均数的求法，会利用样本估计总体．
22．(1)
(2)该可变电阻应控制在以上
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数是解题的关键．
（1）利用待定系数法，即可解答；
（2）结合图像和反比例函数，即可解答．
【详解】（1）解：设 ，图象经过，
∴，
；
（2）解：，
，
，
，
，
∴该可变电阻应控制在及以上．
23．(1)有错，见解析
(2)
【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据三视图求几何体的体积，解题的关键是熟练掌握几何体的三视图的定义．
（1）根据几何体的三视图的定义及其画法进行判断即可；
（2）根据三视图结合长方体的体积公式和圆锥的体积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：方方所画的三个视图中左视图错了，
正确的为：
（2）解：
，
答：其体积为．
24．(1)见解析
(2)cm．
【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠1＝∠2，证出∠1＝∠3，得出MN∥OD，证出DE⊥OD，即可得出DE是⊙O的切线；
（2）连接CD，由圆周角定理得出∠ADC＝90°，由勾股定理求出AD，证明△ADC∽△AED，得出对应边成比例，求出直径AC，即可得出⊙O的半径．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠1＝∠2，
∵AD平分∠CAM，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴MN∥OD，
∵DE⊥MN，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接CD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD＝＝＝5，
∵DE⊥MN，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADC＝∠AED，
又∵∠2＝∠3，
∴△ADC∽△AED，
∴，
即，
∴AC＝，
∴OA＝AC＝，
即⊙O的半径为cm．
【点睛】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．
25．点离地面的高度升高了，升高了．
【分析】如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，证明四边形是平行四边形，可得，当时，则，此时，，，当时，则，，从而可得答案．
【详解】解：如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，
∴，

∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
当时，则，
此时，，
∴，
当时，则，
∴，
而，，
∴点离地面的高度升高了，升高了．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键．
26．(1)
(2)
(3)当为等腰三角形时，或
【分析】（1）先求出，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可；
（2）如图所示，连接EG，先证Rt△GFE≌Rt△GCE得到CG=FG，设CF=FG=x，则DG=3-x，AG=3+x，在Rt△ADG中，，得到，由此求解即可；
（3）分当为等腰三角形，时，当为等腰三角形，时，两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90°，
∵∠DAG=30°，
∴∠BAG=60°，
由折叠的性质可知，
∴AE=2BE，
在Rt△ABE中，，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接EG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠C=90°，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
由折叠的性质可知，BE=FE，∠AFE=∠B=90°，AF=AB=3，
∴EF=EC，∠GFE=∠GCE=90°，
又∵EG=EG，
∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），
∴CG=FG，
设GF=FG=x，则DG=3-x，AG=3+x，
在Rt△ADG中，，
∴，
解得，
∴
（3）解：如图1所示，当为等腰三角形，时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
由折叠的性质可知，，
∴，
设BE=x，则
在Rt△ABE中，，
∴，
解得，
∴；
如图2所示，当为等腰三角形，时，过点A作AH⊥于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠AHE=90°，
由折叠的性质可得，
∵AE⊥EG，
∴∠AEG=90°，，
∴∠AEB+∠CEG=90°，
∴∠AEB=∠AEH，
又∵AE=AE，
∴△ABE≌△AHE（AAS），
∴BE=EH，
∵，
∴，
∵BE+CE=BC=4，
∴3BE=4，
∴；
综上所述，当为等腰三角形时，或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，矩形与折叠问题，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形与折叠的性质是解题的关键．
27．(1)
(2)点的横坐标为
(3)
【分析】（1）将，，代入抛物线解析式，得到，求出的值即可得出答案；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式为：，设点的坐标为，从而求出直线的解析式为：，进而得出，表示出，解方程即可得出答案；
（3）设点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为：，联立，得出，再利用待定系数法求出直线的解析式为：，从而得出，利用待定系数法求出直线的解析式为，从而得出，即可得解．
【详解】（1）解：，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为：，
将，代入直线得：，
解得：，
直线的解析式为：，
点是直线下方的抛物线上一点，
设点的坐标为，
，
设直线的解析式为：，
，
，
直线的解析式为：，
令，则，
解得：，
，
，
，
，
，
或，
点是直线下方的抛物线上一点，
，
，
，
解得：或，
，
，
点的横坐标为；
（3）解：点在点的正下方，
设点的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为：，
联立，
整理得：，
，
解得：，，
点的横坐标为，纵坐标为，
，
设直线的解析式为：，
将，代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为：，
抛物线的解析式为，
对称轴为直线，
点的横坐标为，纵坐标为，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
作，交射线于点，
点的横坐标为，纵坐标为，
，
．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，二次函数综合—线段问题，勾股定理求两点之间的距离等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
A
A
C
A
D
A
A