2024-2025学年黑龙江省双鸭山市建新高级中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省双鸭山市建新高级中学高二（上）开学数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分。
1.已知某扇形的圆心角为80°，半径为6cm，则该圆心角对应的弧长为( )
A. 480cmB. 240cmC. 8π3cmD. 4π3cm
2.设复数z=−i2+i−1−i3，则z−的虚部是( )
A. 1B. −1C. iD. −i
3.已知函数f(x)是(−∞,+∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x=1对称，当x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，则f(2017)+f(2018)的值为( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
4.下列说法中，正确的个数有( )个
①圆柱的侧面展开图是一个矩形； ②圆锥的侧面展开图是一个扇形；
③圆台的侧面展开图是一个梯形； ④棱锥的侧面为三角形．
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.已知向量a，b满足b=( 3,1)，b=λa(λ∈R)，且a⋅b=1，则λ=( )
A. 14B. 12C. 2D. 4
6.已知AB是圆O：x2+y2=1的直径，C、D是圆O上两点，且∠COD=60°，则(OC+OD)⋅AB的最小值为( )
A. 0B. − 3C. −3D. −2 3
7.函数f(x)=1−ex1+ex⋅sinx的部分图象大致形状是( )
A. B.
C. D.
8.已知四边形ABCD为矩形，AB=2AD=4，E为AB的中点，将△ADE沿DE折起，连接A1B，A1C，得到四棱锥A1−DEBC，M为A1C的中点，在翻折过程中，下列四个命题正确的序号是( )
①MB//平面A1DE；
②三棱锥M−DEC的体积最大值为2 23；
③|MB|= 5；
④一定存在某个位置，使DE⊥A1C；
A. ①②B. ①②③C. ①③D. ①②③④
9.已知向量a=(sinωx,sinωx−csωx)，b=(2 3csωx,sinωx+csωx)(ω>0).设函数f(x)=a⋅b(x∈R)，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2，则( )
A. f(x)=2sin(2x−π6)
B. (π3,0)是函数y=f(x)图象的对称中心
C. 函数y=f(x)在区间(−2π3,−π6)上单调递减
D. 使f(x)>0成立的x的取值区间为[kπ+π12,kπ+7π12],k∈Z
10.已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的侧棱长为3，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=π3,M为棱DD1上的一点，且MD=1,P为底面ABCD内一动点(含边界)，则下列命题正确的是( )
A. 若PM与平面ABCD所成的角为π4，则点P的轨迹与直四棱柱的交线长为2π3
B. 若点A到平面PDM的距离为 3，则三棱锥M−PAD 的体积的最大值为2 33
C. 若以D为球心的球经过点M，则该球与直四棱柱的公共部分的体积为4π9
D. 经过B,C,M三点的平面截直四棱柱所得的截面面积为4
11.若复数z=21+i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. z的虚部为−iB. |z|=2
C. z2为纯虚数D. z的共轭复数为−1−i
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若锐角α满足1 tanα2= 2 3 tan10°+ tanα2，则角α的度数为______．
13.已知α∈(0,3π2),csα=35，tanα2= ______．
14.如图，已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的所有棱长等于1，∠ABC=60°，O和O1分别是上下底面对角线的交点，H在线段OB1上，OH=3HB1，点M在线段BD上移动，则三棱锥M−C1O1H的体积最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。
15.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E、F分别为棱AD、SB的中点．
(Ⅰ)求证：AF//平面SEC
(Ⅱ)求证：平面ASB⊥平面CSB
(Ⅲ)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求BMBS的值；若不存在，请说明理由．
16.已知函数f(x)=ln(e2x+1)−x．
(1)当x≥0时，函数g(x)=f(x)−x−a存在零点，求实数a的取值范围;
(2)设函数ℎ(x)=ln(m⋅ex−2m)，若函数f(x)与ℎ(x)的图象只有一个公共点，求m的取值范围．
17.如图，在四棱锥P−ABCD中，BD⊥PC，∠ABC=60°，四边形ABCD是菱形，PA=AB=1，PB= 2,E,F是棱PD上的两点，且PF=13PD．
(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)若再从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求平面EAC与平面ACD所成二面角的大小．
①BF//平面ACE；
②三棱锥C−ABE的体积V= 336．
18.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2a，2bsinA=asinC．
(Ⅰ)求csC的值；
(Ⅱ)求sin(2C−π3)的值．
19.在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，csA=35．
(1)若c=4，求△ABC的面积;
(2)求5b−3ccsC的值;
(3)求|AB+AC|−AB⋅AC的取值范围．
答案解析
1.C
【解析】解：由于扇形的圆心角为80°=π180×80=4π9，
又扇形的半径为r=6cm，
则该圆心角对应的弧长l=αr=4π9×6=8π3(cm)．
故选：C．
先把80°化为弧度，然后用弧长公式求解即可．
此题考查弧长公式的应用，属于基础题．
2.A
【解析】解：z=−i2+i−1−i3=1+i−1+i=−(1+i)(1+i)(1−i)(1+i)=−i，则z−=i，虚部是1．
故选：A．
结合复数的四则运算，以及复数的概念，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题．
3.D
【解析】解：∵函数f(x) 是(−∞,+∞) 上的奇函数，
∴f(−x)=−f(x)，
又∵f(x) 的图象关于x=1 对称，
∴f(2−x)=f(x)，
∴f(x−2)=−f(x)，
∴f(x+4)=f(x)，
即函数f(x) 是周期为4的周期函数，
又∵x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，
∴f(0)=0，f(1)=1，进而f(2)=f(0)=0，
∴f(2017)+f(2018)=f(1)+f(2)=1+0=1．
故选D．
4.C
【解析】解：①圆柱的侧面展开图是一个矩形；正确；
②圆锥的侧面展开图是一个扇形；正确；
③圆台的侧面展开图是一个梯形；应该是扇环，所以不正确
④棱锥的侧面为三角形．符合棱锥的定义，正确；
故选：C．
利用圆台、圆锥、圆柱棱锥的侧面展开图，判断命题的真假即可．
本题考查空间几何体的结构特征，命题的真假的判断，是基本知识的考查．
5.D
【解析】解：因为b=( 3,1)，b=λa(λ∈R)，且a⋅b=1，
所以λ≠0，a=1λb=( 3λ,1λ)，
所以a⋅b= 3λ× 3+1×1λ=4λ=1，
所以λ=4．
故选：D．
由题意可得λ≠0，从而得到a的坐标，再由平面向量数量积的坐标运算建立方程，求解即可．
本题考查平面向量数量积的坐标运算，属于基础题．
6.D
【解析】解：已知AB是圆O：x2+y2=1的直径，C、D是圆O上两点，且∠COD=60°，
不妨设弦CD的中点为E，
因为∠COD=60°，
则△COD为等边三角形，
所以可得|OE|= 32，
则OC+OD=2OE，
设OE与AB的夹角为θ(0≤θ≤π)，
所以(OC+OD)⋅AB=2OE⋅AB=2|OE||AB|csθ=2 3csθ，
因为csθ∈[−1,1]，
所以(OC+OD)⋅AB的最小值为−2 3．
故选：D．
由题意设弦CD的中点为E，然后利用平面向量的数量积从而求解．
本题考查了圆的性质，重点考查了平面向量的数量积运算，属基础题．
7.C
【解析】解：由f(x)=1−ex1+ex⋅sinx，x∈R，定义域关于原点对称，
得f(−x)=1−e−x1+e−x⋅sin(−x)=ex−1ex+1⋅(−sinx)=1−ex1+ex⋅sinx=f(x)，
则函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除BD；
当0