2024-2025学年陕西省西安市雁塔区高新一中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年陕西省西安市雁塔区高新一中九年级（上）开学数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. 3x2+y=0B. ax2+bx+c=0
C. (x−3)(x−2)=x2D. (3x−1)(3x+1)=3
2.如果分式|x|−1x+1的值为0，那么x的值为( )
A. ±1B. −1C. 1D. 1或0
3.若a，b，b，c是成比例的线段，其中a=3，c=12，则线段b的长为( )
A. 2B. 4C. 6D. 15
4.如图，在3×3方格纸中，点A、B、C、D、E、F分别位于小正方形的格点上．从A、D、E、F四个点中任意选取两个不同的点，以所取得这两个点与点B、C为顶点画四边形，则所画四边形是平行四边形的概率为( )
A. 12 B. 13
C. 14 D. 16
5.如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则OAOH等于( )
A. 3
B. 3
C. 2
D. 2
6.若关于x的分式方程2xx−1−3=m1−x的解为正数，则m的取值范围是( )
A. m<−2且m≠−3B. m<2且m≠−3
C. m>−3且m≠−2D. m>−3且m≠2
7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD=60°，AE⊥BD，垂足为点E，F是OC的中点，连接EF，若EF=2 3，则矩形ABCD的周长是( )
A. 16 3B. 8 3+4C. 4 3+8D. 8 3+8
8.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2 6，点B在x轴的正半轴上，且∠AOC=60°，将菱形OABC绕原点O逆时针方向旋转60°，得到四边形OA′B′C′(点A′与点C重合)，则点B′的坐标是( )
A. (3 6,3 2)
B. (3 2,3 6)
C. (3 2,6 2)
D. (6 2,3 6)
9.如图，在平行四边形ABCD中，对角线相交于点O，AC=AB，E是AB边的中点，G、F为BC上的点，连接OG和EF，若AB=13，BC=10，GF=5，则图中阴影部分的面积为( )
A. 48B. 36C. 30D. 24
10.如图，平面内三点A、B、C，AB=4，AC=3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是( )
A. 5
B. 7
C. 7 2
D. 72 2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知：x−y13=y7，则x+yy= ______．
12.某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本.已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍，则第一组的人数为______．
13.用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是______．
14.已知a、b是关于x的一元二次方程x2−(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足1a+1b=1，则m的值是______．
15.如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD=3：1，AB+BE=3 3，则△ABC的周长为 ．
16.如图，点E是菱形ABCD边AB的中点，点F为边AD上一动点，连接EF，将△AEF沿直线EF折叠得到△A′EF，连接A′D，A′C.已知BC=4，∠B=120°，当△A′CD为直角三角形时，线段AF的长为______．
三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
解方程：
(1)2x2−4x−3=0；
(2)2xx−2−2=1x(x−2)；
(3)化简求值：a−2a2+4a+4+(1−4a+2)，其中a= 2−2．
18.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CG．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
19.(本小题6分)
一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为12．
(1)布袋里红球有多少个？
(2)先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．
20.(本小题6分)
如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AB=4AE，连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC=2CD．
21.(本小题10分)
某商场于今年年初以每件60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件80元时，一月份销售64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的销售量月平均增长率；
(2)从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价0.5元，销售量增加5件．为尽可能让利顾客，赢得市场、问：该商品售价定为多少时，商场当月获利2160元？
22.(本小题12分)
定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形.根据以上定义，解决下列问题：

(1)如图1，以菱形ABCD的一边CD为边向外作正方形CDEF，M、N分别是菱形和正方形的对角线交点，连结MN．
①求证：四边形DMCN是“直等补”四边形；
②若MN= 2，求四边形DMCN的面积．
(2)如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，其中AB=BC=5，CD>AB，过点B作BE⊥CD于点E且BE=4，连接BD，若点P是线段BD上的动点，请你直接写出△PEC周长的最小值．
参考答案
1.D
2.C
3.C
4.B
5.B
6.C
7.D
8.B
9.C
10.D
11.277
12.6
13.13
14.3
15.5 3
16.2 3−2或2
17.解：(1)2x2−4x−3=0，
则(x−1)2=52，
解得：x=1± 102；
(2)2xx−2−2=1x(x−2)，
方程两边同乘以x(x−2)得：2x2−2x(x−2)=1，
则4x=1，
解得：x=14，
经检验x=14是方程的根，
故方程的解为x=14；
(3)a−2a2+4a+4+(1−4a+2)，其中a= 2−2．
则a−2a2+4a+4+(1−4a+2)=a2+a−6(a+2)2=(a−2)(a+3)(a+2)2，
∵a= 2−2．
则原式=(a−2)(a+3)(a+2)2=( 2−4)(1+ 2)( 2)2=−3 2−22．
18.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，OB=OD，OA=OC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE=12OB，DF=12OD，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD ∠ABE=∠CDF BE=DF ,
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
(2)解：当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；
理由如下：
∵AC=2OA，AC=2AB，
∴AB=OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG=90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG//CF，
∴EG//CF，
由(1)得：△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵EG=AE，
∴EG=CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG=90°，
∴四边形EGCF是矩形．
19.解：(1)设红球的个数为x，由题意可得：
22+1+x=12，
解得：x=1，经检验x=1是方程的根，
即红球的个数为1个；
(2)画树状图如下：
∴P(摸得两白)=212=16．
20.证明：作CF//DE于DE，交AB于F，如图，
∵ME//CF，
∴AEEF=AMMC，
而M为AC边的中点，
∴AM=MC，
∴AE=EF，
∵AB=4AE，
∴EF=14AB，BF=12AB，
∴BF=2EF，
∵CF//DE，
∴BCCD=BFEF=2，
∴BC=2CD；
21.解：(1)设二、三这两个月的销售量月平均增长率为x，
依题意得：64(1+x)2=100，
解得：x1=0.25=25%，x2=−2.25(不符合题意，舍去)．
答：二、三这两个月的销售量月平均增长率为25%．
(2)设该商品售价定为y元，则每件的销售利润为(y−60)元，当月的销售量为100+5×80−y0.5=(900−10y)件，
依题意得：(y−60)(900−10y)=2160，
整理得：y2−150y+5616=0，
解得：y1=72，y2=78，
又∵要尽可能让利顾客，赢得市场，
∴y=72．
答：该商品售价定为72元时，商场当月获利2160元．
22.(1)①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DMC=90°，
∵四边形CDEF是正方形，
∴DN=CN，∠DNC=90°，
∴∠DMC+∠DNC=180°，
∴四边形DMCN是“直等补”四边形；
②解：如图1，延长AC至H，使CH=DM，连接NH，

∵∠DMC+∠DNC=180°，
∴∠NDM+∠NCM=180°，
∵∠MCN+∠NCH=180°，
∴∠MCH=∠NDM，
又∵DN=CN，DM=CH，
∴△DNM≌△CNH(SAS)，
∴S△DNM=S△CNH，∠DNM=∠CNH，MN=NH，
∴∠MNH=∠DNC=90°，S△MNH=四边形DMCN的面积，
∴四边形DMCN的面积=12MN2=1；
(2)如图2，过点B作BN⊥直线AD于N，连接CN，

∵∠ABC=∠ADC=90°=∠BND，
∴四边形BEDN是矩形，
∵BE=4，BC=5，
∴CE= BC2−BE2=3，
∵四边形ABCD是“直等补”四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BAD+∠BAN=180°，
∴∠BAN=∠BCD，
又∵BA=BC，∠BNA=∠BEC=90°，
∴△BEC≌△BNA(AAS)，
∴BE=BN，
∴四边形BEDN是正方形，
∴点E，点N关于BD对称，DE=DN=BE=4，
∴PE+PC的最小值为NC的长，
∴NC= DN2+DC2= 16+49= 65，
∴PE+PC的最小值为 65，
∴△PEC周长的最小值为 65+3．