2024-2025学年河北省石家庄市无极县文苑中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省石家庄市无极县文苑中学高二（上）开学数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面向量a=(2,−1)，b=(1,1)，c=(−5,1)，若(a+kb) //c，则实数k的值为( )
A. −114B. 12C. 2D. 114
2.设复数z=1−i(i是虚数单位)，则1+iz−z=( )
A. −1B. 1−2iC. 1+2iD. −1+2i
3.在平行四边形ABCD中，∠ABD=90°，且AB=1，BD= 2，若将其沿BD折起使平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A−BDC的外接球的表面积为( )
A. 2πB. 8πC. 16πD. 4π
4.如图，已知边长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1，点E为线段CD1的中点，则直线AE与平面A1BCD1所成角的正切值为( )
A. 22 B. 12
C. 32 D. 2
5.我市对上、下班交通情况作抽样调查，上、下班时间各抽取12辆机动车测其行驶速度(单位：km/ℎ)如下表：
则上、下班时间行驶时速的中位数分别为( )
A. 28与28.5B. 29与28.5C. 28与27.5D. 29与27.5
6.已知n个数x1，x2，…xn的平均数为x，方差为s2，则数3x1，3x2，…3xn的平均数和方差分别为( )
A. x，3s2B. 3x，s2C. 3x，3s2D. 3x，9s2
7.正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2，∠ACB=90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则CD与GF所成的角的余弦值为( )
A. 36B. − 36
C. 66D. − 66
8.在△ABC中，D为AC的中点，E为线段CB上靠近B的三等分点，则DE=( )
A. 23AB+16ACB. 13AB−16ACC. 16AB+23ACD. 23AB−16AC
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A. 若AM=13AB+13AC，则点M是△ABC的重心
B. 若AM=2AB−AC，则点M在边BC的延长线上
C. 若O在△ABC所在的平面内，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，满足以下条件2OA+2OB+OC=0，则S△OBC=25S△ABC
D. 若AM=xAB+yAC，且x+y=12，则△MBC的面积是△ABC面积的12
10.如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断正确的是( )
A. AB=OC
B. AB//DE
C. |AD|=|BE|
D. AD=FC
11.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线统计图.根据该折线统计图，下列结论正确的是( )
A. 年接待游客量逐年增加
B. 各年的月接待游客量高峰期大致都在8月
C. 2017年1月至12月月接待游客量逐月增加
D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设向量a=(3,x)，b=(y,9)，且a/​/b，则xy= ______．
13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，角C等于60°，若a=4，b=2，则c的长为______．
14.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为_______(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知|a|=2，|b|=3，(2a−b)⋅(a+3b)=−34．
(1)求a与b的夹角θ；
(2)当x为何值时，向量xa+b的模长为 7？
16.(本小题12分)
已知复数z=3+bi(b∈R)，且(1+3i)⋅z纯虚数．
(1)求复数z；
(2)若w=z⋅(2+i)，求复数w的模|w|．
17.(本小题12分)
为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩进行统计.请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图，解答下列问题．
(1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；
(2)补全频数分布直方图；
(3)若成绩在75.5～85.5分的学生获得二等奖，问获得二等奖的学生约为多少人？
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，AB//CD，且CD=2，AB=1，BC=2 2，PA=1，AB⊥BC，N为PD的中点
(1)求证：AN//平面PBC．
(2)求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值
(3)在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是 2626，若存在求出DMDP的值，若不存在说明理由．
19.(本小题12分)
已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，且bcsA+acsB=c(3csA−1)．
(1)求csA；
(2)若BA⋅AC=−10，求△ABC的面积S的值．
参考答案
1.B
2.D
3.D
4.A
5.D
6.D
7.C
8.D
9.ACD
10.ABC
11.ABD
12.27
13.2 3
14.84π
15.解：(1)因为|a|=2，|b|=3，(2a−b)⋅(a+3b)=−34．
所以(2a−b)⋅(a+3b)=2a2+5a⋅b−3b2=−34，a⋅b=−3，
所以csθ=a⋅b|a||b|=−12，又θ∈[0,π]，所以θ=2π3．
(2)若向量xa+b的模长为 7，
则(xa+b)2=x2a2+2xa⋅b+b2=4x2−6x+9=7，
解得x=1或12．
16.解：(1)z=3+bi(b∈R)，且(1+3i)⋅z=(1+3i)⋅(3+bi)=3−3b+(9+b)i为纯虚数，
得3−3b=09+b≠0，即b=1，∴z=3+i；
(2)若w=z⋅(2+i)=(3+i)⋅(2+i)=5+5i，则|w|= 52+52=5 2．
17.解：(1)频率分布表：
(2)频数分布直方图如下图所示：

(3)成绩在75.5～80.5分的学生占70.5～80.5分的学生的510，
因为成绩在70.5～80.5分的学生频率为0.20，
所以成绩在75.5～80.5分的学生频率为0.10，
成绩在80.5～85.5分的学生占80.5～90.5分的学生的510，
因为成绩在80.5～90.5分的学生频率为0.32，
所以成绩在80.5～85.5分的学生频率为0.16，
所以成绩在75.5～85.5分的学生频率为0.26，
由于有900名学生参加了这次竞赛，
所以该校获得二等奖的学生约为0.26×900=234(人)．
18.解：过A作AE⊥CD，垂足为E，则DE=1，以A为坐标原点，分别以AE,AB,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),B(0,1,0),E(2 2,0,0),
D(2 2,−1,0),C2 2,1,0,P0,0,1，
∴N( 2,−12,12) ， 则AN=( 2,−12,12)，
(1)设平面PBC的一个法向量为n1=(x,y,z)，
BP=(0,−1,1),BC=(2 2,0,0)，−y+z=02 2x=0， 取 n1=(0,1,1)
∴AN⋅n1=−12+12=0，
AN→⊥n1→，
又AN⊄平面PBC，
∴AN//平面PBC
(2)设平面PAD的一个法向量为n2=(a,b,c)，
∴ AP=(0,0,1),AD=(2 2,−1,0)，
∴c=02 2a−b=0，取n2=(1,2 2,0)，
∴cs=n1·n2n1·n2=23，
∴平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值23 ;
(3)令DM=λDP,λ∈[0,1]，设M(x,y,z)，
∴(x−2 2,y+1,z)=λ(−2 2,1,1) ∴M(2 2−2 2λ,λ−1,λ)，
∴CM=(−2 2λ,λ−2,λ) ，
∵平面PBC的一个法向量n1=(0,1,1) ，
∴ 2626=|2λ−2| 2 8λ2+(λ−2)2+λ2，
∴21λ2−50λ+24=0，
∴(3λ−2)(7λ−12)=0，
∵λ∈[0,1]，
∴λ=23 ，
∴DMDP=23 .
19.解：(1)在△ABC中，bcsA+acsB=c(3csA−1)，
利用正弦定理：sinBcsA+sinAcsB=sin(A+B)=sinC=sinC(3csA−1)，
整理得：csA=13；
(2)由于BA⋅AC=−10，
所以|BA||AC|cs(π−A)=−10，
整理得|BA||AC|=30；
所以S△ABC=12×30×2 23=10 2． 上班时间
18
20
21
26
27
28
30
32
33
35
36
40
下班时间
16
17
19
22
25
27
28
30
30
32
36
37
分组
频数
频率
50.5～60.5
4
0.08
60.5～70.5
0.16
70.5～80.5
80.5～90.5
16
90.5～100.5
合计
50
1.00
分组
频数
频率
50.5～60.5
4
0.08
60.5～70.5
8
0.16
70.5～80.5
10
0.20
80.5～90.5
16
0.32
90.5～100.5
12
0.24
合计
50
1.00