2024-2025学年陕西省西安工业大学附中高一（上）期初数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年陕西省西安工业大学附中高一（上）期初数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|y= x+1},B={y|y=x2+1}，则A∩B=( )
A. ⌀B. [−1,1]C. [−1,+∞)D. [1,+∞)
2.若函数y=x2+(2a−1)x+1在区间(−∞,2]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A. [−32,+∞)B. (−∞,−32]C. [32,+∞)D. (−∞,32]
3.如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为( )
A. ∁U(A∪B)
B. ∁U(A∩B)
C. (∁UB)∩A
D. (∁UA)∩B
4.下列命题中，含有存在量词的是( )
A. 存在一个直角三角形三边长均为整数B. 所有偶函数图象关于y轴对称
C. 任何梯形都不是平行四边形D. 任意两个等边三角形都相似
5.已知函数f(x)=x3−1x3，则f(x)( )
A. 是偶函数，且在(0,+∞)上是增函数B. 是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数
C. 是偶函数，且在(0,+∞)上是减函数D. 是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数
6.已知全集U={0,2,4,6,8,10}，集合A={0,2,4}，B={0,6,8}，则(∁UA)∩B=( )
A. {0}B. {6,8}C. {0,6,8}D. {2,4,6,8}
7.已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD为BC边上的高，则下列结论中，正确的是( )
A. AD= 32ABB. AD=12ABC. AD=BDD. AD= 22BD
8.若f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，又f(−3)=0，则(x−1)f(x)<0的解是( )
A. (−3,0)∪(1,+∞)B. (−3,0)∪(0,3)
C. (−∞,−3)∪(3,+∞)D. (−3,0)∪(1,3)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的有( )
A. 集合{1,2}的所有真子集为{1}，{2}
B. 若{1,a}={2,b}(其中a，b∈R)，则a+b=3
C. {x|x是菱形}⊆{x|x是平行四边形}
D. {x|x=3k,k∈N}⊆{x|x=6z,z∈N}
10.下列说法正确的有( )
A. “∃x∈R，使得x2−x+1≤0”的否定是“∀x∈R，都有x2−x+1>0”
B. 若命题“∃x∈R，x2+4x+m=0”为假命题，则实数m的取值范围是(4,+∞)
C. 若a，b，c∈R，则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
D. 已知a>1，则a+16a−1的最小值为9
11.下面命题正确的是( )
A. 若x，y∈R且x+y>2，则x，y至少有一个大于1
B. 命题“若x<1，则x2<1”的 否 定 是“存在x<1，则x2≥1”
C. 设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件
D. 设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若集合{a,ba,1}={a2,a+b,0}，则a2024−b2023= ______．
13.设圆O1与圆O2的半径分别为3和2，O1O2=4，A，B为两圆的交点，试求两圆的公共弦AB的长度______．
14.命题“∀x∈(−1,3]，x+1x+1−a≥0”为真命题，则a的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
分解因式
(1)m(m+2)(m2+2m−2)−3；
(2)分解因式x2−y2−2x+6y−8．
16.(本小题15分)
解方程 3x−2+ x+3=3．
17.(本小题15分)
命题p：关于x的方程x2+2ax+4a+5=0有两个不相等的正实根，命题q：a∈(m,7m+7)，
(1)若命题￢p为真命题，求a的取值范围；
(2)若q是p的充分条件，求m的取值范围．
18.(本小题17分)
设函数y=ax2+bx+3(a≠0)．
(1)若不等式ax2+bx+3>0的解集为{x|−1(2)若a+b=1，a>0，b>0，求1a+4b的最小值．
19.(本小题17分)
已知N元正整数集合A={a1,a2,⋯,aN}(N≥2)满足：a1(1)若a1=2，写出所有满足条件的集合A；
(2)若aN恰有N个正约数，求证：aN=aN−1+1；
(3)求证：对任意的i，j∈{1,2,…,N−1}，i参考答案
1.D
2.B
3.D
4.A
5.B
6.B
7.B
8.D
9.BC
10.ABD
11.ABD
12.1
13.3 154
14.(−∞,1]
15.解：(1)令t=m2+2m，原式可化为t2−2t−3=(t+1)(t−3)，
故m(m+2)(m2+2m−2)−3=(m2+2m+1)(m2+2m−3)；
(2)x2−y2−2x+6y−8=(x−1)2−(y−3)2=(x+y−4)(x−y+2)．
16.解： 3x−2=3− x+3，
∴3x−2=9−6 x+3+x+3，
∴x−7=−3 x+3，
∴x2−23x+22=0，解得x=1或22，经验证x=22不合题意，舍去，
∴x=1．
17.解：若命题p为真命题，则Δ=4a2−4(4a+5)>0x1+x2=−2a>0x1x2=4a+5>0，解得−54(1)若命题￢p为真命题，则实数a满足a≤−54或a≥−1，即a的取值范围是(−∞,−54]∪[−1,+∞)；
(2)若q是p的充分条件，则(m,7m+7)⊆(−54,−1)，
可得m<7m+7m≥−547m+7≤−1，解得−7618.解：(1)∵不等式ax2+bx+3>0的解集为(−1,3)，
∴−1，3是方程ax2+bx+3=0的两个根，
∴a−b+3=09a+3b+3=0，解得a=−1，b=2．
(2)∵a+b=1，a>0，b>0，
∴1a+4b=(1a+4b)(a+b)
=5+ba+4ab≥5+2 ba⋅4ab=9．
当且仅当ba=4aba+b=1，即a=13b=23时取等号，
∴1a+4b的最小值为9．
19.解：(1){2,3}或{2,4}或{2,3,4}．
根据题意可知，若a2=3，则a2a2−2=3∈Z，满足题意；
若a2=4，则a2a2−2=2∈Z，满足题意；
显然易知当a2≥5时，a2a2−2∉Z，所以A={2,3}或A={2,4}；
当a2=3，a3=4时，又满足a3a3−a2=4∈Z，所以可得A={2,3,4}满足题意；
因此可得所有满足条件的集合A为{2,3}或{2,4}或{2,3,4}．
(2)证明：由题分别令i=N，j=1，2，⋅⋅⋅，N−1，
可知aNaN−a1,aNaN−a2,⋯,aNaN−aN−1∈Z，
即aN−a1，aN−a2，⋯，aN−aN−1这N−1个小于aN的数均为aN的正约数．
因为aN的正约数的个数恰为N个(其中最大的是aN，最小的是1)，
而aN>aN−a1>aN−a2>⋯>aN−aN−1，
所以aN−aN−1=1，可得aN=aN−1+1．
(3)证明：由题可知ajaj−a1,ajaj−a2,⋯,ajaj−ai∈Z，
且1所以 ajaj−a1≥2,ajaj−a2≥3,⋯,ajaj−ai≥i+1，
将最后一个不等式整理得iaj≤(i+1)ai，即ajai≤i+1i；
又j>i，所以j≥i+1，所以ajai≤ji．