2024-2025学年广东省深圳市红桂中学等校九年级（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市红桂中学等校九年级（上）开学数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列式子：①x−1≥1；②x+2；③−2<0；④x−12y=0；⑤x+2y≤0.其中是不等式的有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
2.下列博物馆的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.下列各组线段中，能组成直角三角形的是( )
A. 2, 5, 7B. 1,1, 3C. 1，2，2D. 2，3，5
4.将多项式“4m2−？”因式分解，结果为(2m+3)(2m−3)，则“？”是( )
A. 3B. −3C. 9D. −9
5.若代数式 x+2x有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x>−2且x≠0B. x≠0C. x≥−2D. x≥−2且x≠0
6.如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，若BE=2，CD=3，则AD的长为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
7.若关于x的分式方程5x−4=2−ax−4有增根，则a的值为( )
A. 5B. −5C. 4D. −4
8.如图，在等边△ABC中，以A为直角顶点作等腰直角△CAD，AF⊥BD分别交BD、CD于点E、F，N为线段BG上一动点，M为线段AD上一动点，且BN=AM，以下4个结论：①∠CBN=3∠ABD；②DF=2EF；③DF=CF+AF；④当CN+CM的值最小时，∠ACM=∠DCM.正确的个数为( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.分解因式：4a2b2−8a2b+4a2= ______．
10.若关于x的一元一次方程2x−m+2=0的解是负数，则m的取值范围是______．
11.若m+n=3，mn=2，则m2n+mn2的值为______．
12.如图，△ABC中，AB=AC，BC=5，S△ABC=15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为______．
13.已知正方形ABCD，点E是边AD上的动点，以EC为边作等边三角形ECF，连接BF，交边DC于点G，当BF最小时，∠CGF= ______．
三、解答题：本题共6小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
解不等式组：x−3(x−1)≤6①1−2−5x3>x②，并把解集在数轴上表示出来．
15.(本小题7分)
化简求值：先化简(2y−2−1)÷y2−4y2−4y+4，再从−2，2，4，中选择一个合适的数代入并求值．
16.(本小题8分)
某校学生会为了解本校学生每天做作业所用时间情况，采用问卷的方式对一部分学生进行调查，在确定调查对象时，大家提出以下几种方案：
(A)对各班班长进行调查；
(B)对某班的全体学生进行调查；
(C)从全校每班随机抽取5名学生进行调查．
在问卷调查时，每位被调查的学生都选择了问卷中适合自己的一个时间，学生会收集到的数据整理后绘制成如图所示的条形统计图．
(1)为了使收集到的数据具有代表性，学生会在确定调查对象时选择了方案______(填A、B或C)；
(2)被调查的学生每天做作业所用时间的众数为______小时；
(3)根据以上统计结果，估计该校800名学生中每天做作业用1.5小时的人数．
17.(本小题8分)
某品牌新能源汽车原厂2021年销售总额为500万元，2022年销售总额为960万元，2022年每辆车的销售价格比2021年降低1万元，2022年销售量是2021年销售量的2倍
(1)求2022年每辆车的销售价格
(2)若2022年某汽车专卖店从该新能源汽车原厂进购200辆车，每售出一辆车要交税1万元，则为使售完200辆车后所得利润超过成本一半，定价至少要高于多少元？
18.(本小题9分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AB=2AD，连接DE，DF，AE，EF，AF与DE交于点O．
(1)试说明AF与DE互相平分；
(2)若AB=2，求DE的长．
19.(本小题12分)
综合探究：在△ABC中，∠ABC=90°，把△ABC绕点A逆时针旋转适当的角度得到△ADE，连接对应点B，D和C，E交于点M．
(1)如图1，当点D落在边AC上时，证明：ME=MC；
(2)如图2，当点D不落在边AC上时，AC，BM交于点N，请探究EM=MC是否还成立？写出探究过程；
(3)如图3，在(2)的条件下，当DA⊥AC时,ABBC=34时，若CE=2 10，求DN的长．
参考答案
1.B
2.B
3.A
4.C
5.D
6.C
7.B
8.A
9.4a2(b−1)2
10.m<2
11.6
12.6
13.120°
14.解：解不等式x−3(x−1)6得：x≥−32，
解不等式1−2−5x3>x得：x>−12，
∴此不等式组的解集为：x>−12，
解集在数轴上表示：
．
15.解：(2y−2−1)÷y2−4y2−4y+4
=2−(y−2)y−2÷(y−2)(y+2)(y−2)2
=−y+4y−2⋅(y−2)2(y−2)(y+2)
=4−yy+2，
∵y2−4≠0，
∴y≠±2，
∴当y=4时，
原式=4−44+2
=0．
16.(1)C
(2)1.5
(3)800×3815+27+38+13+7=304(人)．
则估计该校800名学生中每天做作业用1.5小时的人数是304人．
17.解：(1)根据题意，设2022年每辆车的销售价格为x万元，列方程可得：
960x=2×500x+1；
960(x+1)=1000x，
解得：x=24，
答：2022年每辆车的销售价格为24万元；
(2)解：设定价至少要x万元；根据题意列不等式，
(x−24−1)×200>12×200×24，
解得：x>37，
答：为使售完200辆车后所得利润超过成本一半，定价至少要高于37万元．
18.(1)证明：∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF//AB且EF=12AB，
又∵AB=2AD，即AD=12AB，
∴AD//EF，AD=EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AF与DE互相平分；
(2)解：∵∠BAC=90°，∠C=30°，
∴BC=2AB=2×2=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC= BC2−AB2= 42−22=2 3，
由(1)得：四边形AEFD是平行四边形，
∴DE=2OD，OA=OF，
∵F分别是AC的中点，
∴AF=CF，
∴OA=12AF=14AC=14×2 3= 32，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAO=90°，
∵AB=2AD，
∴AD=12AB=12×2=1，
在Rt△DAO中，由勾股定理得：OD= AD2+OA2= 72，
∴DE=2OD=2× 72= 7．
19.(1)证明：∵AB=AD，AC=AE，
∴∠ABD=∠ADB，∠ACE=∠AEC，
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ADB=∠MDC
∴∠MDC=∠ACE，
∴MD=MC，
∵∠MDC+∠EDM=∠ACE+∠DEC=90°，
∴∠EDM=∠DEC，
∴MD=ME，
∴ME=MC；
(2)解：过点C作CF/​/DE交BM的延长线于点F，如图2，

∴∠BFC=∠EDF，
∵把△ABC绕点A逆时针旋转适当的角度得到△ADE，
∴△ABC≌△ADE，
∴∠ADE=∠ABC=90°，CB=DE，AB=AD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴∠EDF+∠ADB=∠CBF+∠ABD=90°，
∴∠CBF=∠EDF，
∴∠CFB=∠CBF，
∴BC=CF，
∴DE=CF，
∴四边形CDEF为平行四边形，
∴EM=MC；
(3)解：连接AM，
∵△ABC≌△ADE，

∴AB=AD，AC=AE，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠ABC=∠DAC=∠ADE=90°，
∴∠DBC+∠ABD=∠AND+∠ADB=90°，
∴∠DBC=∠AND，
∵∠CNB=∠AND，
∴∠CBD=∠CNB，
∴BC=CN，
设AB=3a，BC=4a，
则AC=5a，CN=4a，AN=a，AD=3a，
∴DN= AN2+AD2= 10a，
∵∠ABC=∠DAC，
∴AC/​/DE，
∴∠DEM=∠MCN，
∵∠EMD=∠CMN，
由(2)知EM=MC=12CE= 10，
∴△MDE≌△MNC(ASA)，
∴DM=MN，
∴AM=12DN=12 10a，
∵AC=AE，EM=MC，
∴AM⊥CE，
∵AM2+MC2=AC2得，
∴(12 10a)2+( 10)2=(5a)2，
解得a=23，
∴DN= 10a=23 10．