2024-2025学年浙江省杭州高级中学贡院校区九年级（上）分班考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年浙江省杭州高级中学贡院校区九年级（上）分班考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图直线y=mx与双曲线y=kx交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若S△AMB=2，则k的值是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2.在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于( )
A. 12B. 14C. 16D. 18
3.若4x−3y−6z=0，x+2y−7z=0(xyz≠0)，则5x2+2y2−z22x2−3y2−10z2的值等于( )
A. −12B. −192C. −15D. −13
4.已知实数a≠b，且满足(a+1)2=3−3(a+1)，3(b+1)=3−(b+1)2，则b ba+a ab的值为( )
A. 23B. −23C. −2D. −13
5.如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=( )
A. 360°
B. 450°
C. 540°
D. 720°
6.将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组ax+by=3x+2y=2只有正数解的概率为( )
A. 112B. 29C. 518D. 1336
7.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q.若QP=QO，则QCQA的值为( )
A. 2 3−1B. 2 3C. 3+ 2D. 3+2
8.某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵(排数≥3)，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( )
A. 1种B. 2种C. 4种D. 0种
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是______．
10.如图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC= ______．
11.已知非零实数a，b满足 |2a−4|+|b+2|+ (a−3)b2+4=2a，则a+b等于______．
12.如图，等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，BC= 2，E为AB上一点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，若∠ACE=30°，则AD的长为______．
13.0≤x≤1时，函数y=x2−2ax+a的最小值为−2，则实数a的值为______．
14.如图，正方形ABCD的边长为( 2+1)，点M、N分别是边BC、AC上的动点，沿MN所在直线折叠正方形，使点C的对应点C′始终落在边AB上，若△NAC′为直角三角形，则CN的长为______．
15.已知实数a、b、x、y满足a+b=x+y=2，ax+by=5，则(a2+b2)xy+ab(x2+y2)= ______．
16.实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是______．
17.已知对于任意正整数n，都有a1+a2+…+an=n3，则1a2−1+1a3−1+…+1a100−1=______．
18.已知a1，a2，a3，a4，a5是满足条件a1+a2+a3+a4+a5=9的五个不同的整数，若b是关于x的方程(x−a1)(x−a2)(x−a3)(x−a4)(x−a5)=2009的整数根，则b的值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
19.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx的图象交于A(2,3)，B(−3,n)两点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，求△ABC的面积．
四、解答题：本题共4小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题10分)
解关于x的不等式ax2+x−a>1．
21.(本小题12分)
已知关于x的方程(a2−1)(xx−1)2−(2a+7)(xx−1)+1=0有实根．
(1)求a取值范围；
(2)若原方程的两个实数根为x1，x2，且x1x1−1+x2x2−1=311，求a的值．
22.(本小题12分)
如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心．求证：
(1)OI是△IBD的外接圆的切线；
(2)AB+AD=2BD．
23.(本小题12分)
n个正整数a1，a2，…，an满足如下条件：1=a1参考答案
1.B
2.C
3.D
4.B
5.C
6.D
7.D
8.B
9.2 2
10.30°
11.1
12.3 2− 66
13.−2或3
14. 2或2+ 22
15.−5
16.133
17.33100
18.10
19.解：(1)∵点A(2,3)在y=mx的图象上，
∴m=6，
∴反比例函数的解析式为y=6x，
∴n=6−3=−2，
∵点A(2,3)，B(−3,−2)在y=kx+b的图象上，
∴3=2k+b−2=−3k+b
∴k=1b=1
∴一次函数的解析式为y=x+1．
(2)以BC为底，则BC边上的高为3+2=5，
S△ABC=12×2×5=5，
答：△ABC的面积是5．
20.解：不等式ax2+x−a>1可变形为(x−1)(ax+a+1)>0，
①当a=0时，解集为x>1；
②当a>0时，不等式为(x−1)(x+1+1a)>0，
解集为x>1或x<−1−1a；
③当a=−12时，不等式为(x−1)2<0，解集为无解；
④当−12解集为：1⑤当a<−12时，不等式为(x−1)(x+1+1a)<0，
解集为：−1−1a21.解：(1)设xx−1=y，则原方程化为：(a2−1)y2−(2a+7)y+1=0 (2)，
①当方程(2)为一次方程时，即a2−1=0，a=±1．
若a=1，方程(2)的解为y=19，原方程的解为x=−18满足条件；
若a=−1，方程(2)的解为y=15，原方程的解为x=−14满足条件；
∴a=±1．
②当方程为二次方程时，a2−1≠0，则a≠±1，
要使方程(a2−1)y2−(2a+7)y+1=0(2)有解，则Δ=(2a+7)2−4(a2−1)=28a+53≥0，
解得：a≥−5328，此时原方程没有增根，
∴a取值范围是a≥−5328．
综上，a的取值范围是a≥−5328．
(2)设x1x1−1=y1，x2x2−1=y2，则
则y1、y2是方程(a2−1)y2−(2a+7)y+1=0的两个实数根，
由韦达定理得：y1+y2=2a+7a2−1，
∵y1+y2=311，
∴2a+7a2−1=311，
解得：a=−83或10，
又∵a≥−5328，
∴a=10．
22.解：(1)∵∠CID=∠IAD+∠IDA，∠CDI=∠CDB+∠BDI=∠BAC+∠IDA=∠IAD+∠IDA
∴∠CID=∠CDI，
∴CI=CD．
同理，CI=CB．
故点C是△IBD的外心．
连接OA，OC，
∵I是AC的中点，且OA=OC，
∴OI⊥AC，即OI⊥CI．
∴OI是△IBD外接圆的切线．
(2)由(1)可得：
∵AC的中点I是△ABD的内心，
∴∠BAC=∠CAD
∴∠BDC=∠DAC=∠BAC，
又∵∠ACD=∠DCF，
∴△ADC∽△DFC，
∴ACCD=ADDF，
∵AC=2CI
∴AC=2CD
∴AD=2DF
同理可得：AB=2BF
∴AB+AD=2BF+2DF=2BD．
23.解：设a1，a2，an中去掉ai后剩下的n−1个数的算术平均数为正整数bi，i=1，2，n.即bi=(a1+a2+an)−ain−1．
于是，对于任意的1≤i从而n−1|(aj−ai)，
由于b1−bn=an−a1n−1=2008n−1是正整数，
故n−1|23×251，
由于an−1=(an−an−1)+(an−1−an−2)+…+(a2−a1)≥(n−1)+(n−1)+…+(n−1)=(n−1)2，
所以，(n−1)2≤2008，于是n≤45，
结合n−1|23×251，所以，n≤9；
另一方面，令a1=8×0+1，a2=8×1+1，a3=8×2+1，a8=8×7+1，a9=8×251+1，
则这9个数满足题设要求．
综上所述，n的最大值为9．