吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次摸底考试数学试卷

这是一份吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次摸底考试数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．0,2B．0,2
C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
4．若函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有两个零点
B．当时，
C．的解集是
D．，，使得
6．定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
二、多选题
9．若，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，
11．定义在上的偶函数，满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数的所有零点之和为5
D．
三、填空题
12．已知某扇形的圆心角为120°，弧长为，则此扇形的面积为 .
13．已知函数，，则实数a的值为 .
14．对于函数，若在定义域内存在实数x满足，则称函数为“局部奇函数”.若函数在定义域上为“局部奇函数”，则实数m的取值范围为 .
四、解答题
15．已知数列满足：，，数列为单调递增等比数列，，且，，成等差数列.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
16．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求函数的最大值与最小值.
17．师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W（单位：千克）与投入的成本（单位：元）满足如下关系：，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为（单位：元）.
(1)求的函数关系式；
(2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?
18．已知函数，.
(1)当时，求函数的单调区间与极值；
(2)若函数有2个不同的零点，，满足，求a的取值范围.
19．对于数列，若，对任意的，有，则称数列是有界的.当正整数n无限大时，若无限接近于常数a，则称常数a是数列的极限，或称数列收敛于a，记为.单调收敛原理：“单调有界数列一定收敛”可以帮助我们解决数列的收敛性问题.
(1)证明：对任意的，，恒成立；
(2)已知数列，的通项公式为：，，.
（i）判断数列，的单调性与有界性，并证明；
（ii）事实上，常数，以为底的对数称为自然对数，记为.证明：对任意的，恒成立.
参考答案：
1．C
【分析】根据不等式解法求集合，进而求交集.
【详解】由题意可得：，
，
所以.
故选：C.
2．B
【分析】利用齐次式法求值，代入计算即可得答案.
【详解】由于，故.
故选：B
3．A
【分析】根据三角函数的定义计算．
【详解】，，
所以，
故选：A．
4．D
【分析】求导，分析可知有2个不相等的正根，结合二次方程的根的分布列式求解即可.
【详解】由题意可知：的定义域为，且，
若函数既有极大值也有极小值，则有2个不相等的正根，
则，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D.
5．D
【分析】对于A：当时，令，解得，结合奇函数性质分析判断；对于B：根据奇函数定义求解析式；对于C：分析、和三种情况解不等式即可；对于D：根据解析式以及奇函数性质分析的值域，即可得判断.
【详解】对于选项A：当时，，
令，则，解得，
又因为函数是定义在R上的奇函数，则也为函数的零点，
当时，由奇函数性质可知，
所以函数有三个零点，故A错误；
对于选项B：若，则，
由奇函数定义可得，故B错误；
对于选项C：当时，，
令，且，可得，解得；
且不满足；
当时，，
令，且，可得，解得；
综上所述：的解集是，故C错误；
对于选项D：当时，，
因为，则，可得，即，
由奇函数性质可得：当时，，
且，可得的值域为R，
所以，，使得，故D正确；
故选：D.
6．B
【分析】构建，求导，利用导数判断的单调性，进而判断的符号性，即可得的符号性.
【详解】令，则的定义域为R，且，
因为，即，注意到，可得，
可知在定义域R内单调递增，且，
当时，，即；
当x0，解得；令f′x