四川省泸县第五中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

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一．选择题
二．填空题
12．10.8 13． 14．
三．解答题
15．解：（1）因为向量与的夹角为，且，
所以，分
所以；分
（2）因为向量与的夹角为，且，
所以，分
若，即，解得，分
当与共线时，此时满足，解得，分
此时与共线，且方向相反，
故与夹角为钝角时，且，分
所以的取值范围是．分
16．解：（1）由题意可知：，解得，分
可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，
所以平均数为，分
因为，
设第25百分位数为，则，则，
解得，故第25百分位数为63． 分
（2）10人中，第四组为8人.第五组为2人，记第四组的人的编号为1到8，第五组的人的编号为9和10，
则样本空间
共45个样本点，
记两名面试者成绩都在第五组为事件A， 则事件，故；分
（3）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为，
且两组频率之比为，则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的
平均数，分
第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差
．分
故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是．
17．解：（1）因为C，M，B三点共线，D，M，A三点共线，所以设，，分
则，，分
所以，解得，所以；分
（2）因为E，M，F三点共线，所以设，分
则，由（1）知，分
所以，所以分
18．解：（1）取中点，连结，，
是的中位线，，，
∵平面ACD，DE平面ACD
∴，又，，，四边形是平行四边形，
，平面，平面，
∥平面；分
（2）平面，平面，
，四边形是矩形，．
是正三角形，是中点，．
，，
，平面，平面，
平面，平面，
平面平面；分
（3）假设上存在一点，使直线和平面所成的角为.
连结，过作，垂足为，连结.
由(2)知平面平面，又平面平面＝CE，
∴PN⊥平面BCE，∴∠PBN为BP和平面BCE的夹角，∴.
设，则
，，，
设，由题知∠CED＝45°，则在Rt△EPN中，
在Rt△PBN中，，
∴在中，由余弦定理得：，
，解得，
若P在线段DE上，则PN最长为MD＝，∵，∴满足题意，
上存在一点，使直线和平面所成的角为分
19．解：（1）解：法一：
设P为边AB上一点，则由对，且，恒成立得，
建立平面直角坐标系，如下图所示，
设，（），，
∴，，
则由得，
∴恒成立，
∴恒成立，
∴恒成立，即恒成立，
∴若则恒成立，∴恒成立，
若则恒成立，∴恒成立，∴，
∴，
又为中点，∴．分
法二：设P为边AB上一点，则
由对，且，恒成立得，
令，则∴
若，则由得P在BD上，即，这与矛盾
∴不成立
若，则由得P在AD上，即，这与矛盾
∴不成立
若，则由得P在AB上，即，这与符合
∴；分
（2）解：（ⅰ）由及正弦定理得，
所以，
因为，
所以，
有，
由两角和、差的余弦公式可得
，
整理得，
故．分
（ⅱ）∵
又∵
∴，
展开整理得，
∴，
即，
即，
∴与作比较可知存在且．分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
A
A
D
A
B
BCD
BCD
题号
11









答案
ACD