湖北省随州市广水市第二高级中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

这是一份湖北省随州市广水市第二高级中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题，共7页。试卷主要包含了答题前，请将自己的姓名，选择题的作答，非选择题作答，考试结束后，请将答题卡上交等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
考试范围：
高中全部高考内容
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、若“∃x∈[1,2],2x2-λx+1<0”是假命题,则实数λ的取值范围是( )
A.(-∞,22]B.22,92
C.(-∞,3]D.92,+∞
2、已知a=lg52,b=lg83,c=12,则下列判断正确的是( )
A.cC.b3、若0A.ex2-ex1>ln x2-ln x1 B.ex2-ex1C.x2ex1>x1ex2 D.x2ex14、已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,φ<π2的部分图象如图所示,则函数f(x)的表达式为( )
A.f(x)=sin2x+π6 B.f(x)=sin2x-π6
C.f(x)=sinx+π6 D.f(x)=sinx+π3
5、若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=nn+1,则1a5=( )
A.56B.65
C.130D.30
6、在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶2,则AC和平面DEF的位置关系是( )
A.平行B.相交
C.在平面内D.不能确定
7、直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是( )
A.0,π4B.3π4,π
C.0,π4∪π2,πD.π4,π2∪3π4,π
8、为调查某地区中学生每天睡眠时间,采用样本量比例分配的分层随机抽样,现抽取初中生800人,其每天睡眠时间均值为9小时,方差为1,抽取高中生1 200人,其每天睡眠时间均值为8小时,方差为0.5,则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为( )
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9、(多选题)若a>0>b>-a,cA.ad>bcB.ad+bc<0
C.a-c>b-dD.a(d-c)>b(d-c)
10、(多选题)下列结论中正确的是( )
A.sin 1>cs 1 B.cs-21π5C.tan(-52°)>tan(-47°) D.sin-π12>sin-π10
11、(多选题)水平放置的三角形ABC的直观图A'B'C'中,D'是△A'B'C'中B'C'边上的一点,且D'C'A.最长的是ACB.最长的是AB
C最短的是ADD..最短的是AC
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12、若实数λ∈R,不等式λx+λxeλxx+1>ln x在(1,+∞)上恒成立,则λ的取值范围是 。
13、如图,在△ABC中,cs∠BAC=14,点D在线段BC上,且BD=3DC,AD=152,则△ABC的面积的最大值为 。
14、若已知i=1n(yi-y)2是i=1n(xi-x)2的4倍,i=1n(xi-x)·(yi-y)是i=1n(xi-x)2的1.5倍,则样本相关系数r的值为 。
四、解答题：本题共5小题，共75分
15、（本小题满分13分）
已知函数f(x)=lg4(ax2+2x+3)。
(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)的最小值为0,求a的值。
16、（本小题满分13分）
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2b,2sin A=3sin 2∠ACB。
(1)求sin∠ACB;
(2)若△ABC的面积为372,求AB边上的中线CD的长。
17、（本小题满分13分）
已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=Sn+1。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=an(Sn+2)(Sn+1+2),数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<16。
18、（本小题满分16分）
已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),在下列条件下,求实数k的取值范围。
(1)直线l与双曲线有两个公共点;
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点;
(3)直线l与双曲线没有公共点。
19、（本小题满分20分）
如图,半圆O的直径为2 cm,A为直径延长线上的点,OA=2 cm,B为半圆上任意一点,以AB为一边作等边三角形ABC。设∠AOB=α。
(1)当α=π3时,求四边形OACB的周长。
(2)克罗狄斯·托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理,其中涉及如下定理:任意凸四边形中,两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和,当且仅当对角互补时取等号,根据以上材料,则当线段OC的长取最大值时,求∠AOC。
(3)当B在什么位置时,四边形OACB的面积最大,并求出面积的最大值。
参考答案
1、C 2、B 3、C 4、A 5、D 6、A 7、B 8、D
9、BCD。 10、AD 11、BC
12、1e,+∞。 13、15 14、34
15、解 (1)因为f(1)=1,所以lg4(a+5)=1,因此a+5=4,即a=-1,所以f(x)=lg4(-x2+2x+3)。由-x2+2x+3>0,得-1(2)若f(x)的最小值为0,则h(x)=ax2+2x+3应有最小值1,因此应有a>0,3a-1a=1,解得a=12。故实数a的值为12。
16、解 (1)由2sin A=3sin 2∠ACB,得2sin A=3×2sin∠ACBcs∠ACB,即sin A=3sin∠ACBcs∠ACB,由正弦定理和余弦定理得a=3c·a2+b2-c22ab,又c=2b,所以a=322b。所以cs∠ACB=sin A3sin∠ACB=a3c=322b6b=24(或cs∠ACB=a2+b2-c22ab=32b232b2=24),又∠ACB∈(0,π),所以sin∠ACB=1-cs2∠ACB=144。
(2)因为△ABC的面积为12absin∠ACB=372,所以ab=62。又a=322b,c=2b,所以b=2,c=4,a=32。
解法一:cs A=b2+c2-a22bc=18,又AD=12AB=2,所以在△ACD中,CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cs A=7,所以CD=7。
解法二:因为CD=12(CA+CB),
所以CD2=CD2=14(CA+CB)2=14(CA2+2CA·CB+CB2)=14[22+2×2×32cs∠ACB+(32)2]=7,所以CD=7。
17、解 (1)当n≥2时,an+1=Sn+1,an=Sn-1+1,两式相减,得an+1-an=an,an+1=2an,又a1=1,a2=a1+1=2,所以a2a1=2。所以数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,所以an=2n-1。
(2)证明:Sn=1+2+22+…+2n-1=1-2n1-2=2n-1,因为bn=2n-1(2n+1)(2n+1+1)=12×(2n+1+1)-(2n+1)(2n+1)(2n+1+1)=1212n+1-12n+1+1,所以Tn=b1+b2+…+bn=1213-122+1+122+1-123+1+…+12n+1-12n+1+1=1213-12n+1+1=16-12×12n+1+1,因为12n+1+1>0,所以Tn<16。
18、解 由x2-y2=4,y=k(x-1),消去y,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0(*)。当1-k2=0,即k=±1时,直线l与双曲线渐近线平行,方程化为2x=5,故此方程(*)只有一个实数解,即直线l与双曲线相交,且只有一个公共点。当1-k2≠0,即k≠±1时,Δ=(2k2)2-4(1-k2)·(-k2-4)=4(4-3k2)。当4-3k2>0,1-k2≠0,即-233233时,方程(*)无实数解,即直线l与双曲线无公共点。综上所述,(1)当k∈-233,-1∪(-1,1)∪1,233时,直线l与双曲线有两个公共点;
(2)当k∈k|k=±1,或k=±233时,直线l与双曲线有且只有一个公共点;
(3)当k∈-∞,-233∪233,+∞时,直线l与双曲线没有公共点。
19、解 (1)在△ABO中,由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cs α=1+4-2×1×2×12=3,即AB=3,于是四边形OACB的周长为OA+OB+2AB=3+23。
(2)因为OB·AC+OA·BC≥AB·OC,且△ABC为等边三角形,OB=1,OA=2,所以OB+OA≥OC,所以OC≤3,即OC的最大值为3,取等号时∠OBC+∠OAC=180°,所以cs∠OBC+cs∠OAC=0,不妨设AB=x,则x2+1-92x+x2+4-94x=0,解得x=7,所以cs∠AOC=9+4-72×2×3=12,所以∠AOC=60°。
(3)在△ABO中,由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cs α=5-4cs α,所以AB=5-4cs α,0<α<π,于是四边形OACB的面积为S=S△AOB+S△ABC=12OA·OB·sin α+34AB2=sin α+34(5-4cs α)=sin α-3cs α+534=2sin(α-π3)+534,当α-π3=π2,即α=5π6时,四边形OACB的面积取得最大值为2+534。所以,当点B满足∠AOB=5π6时,四边形OACB的面积最大,最大值为2+534。