_湖北省武汉市六中上智中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份_湖北省武汉市六中上智中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
A. 2cm，3cm，5cmB. 4cm，4cm，10cm
C. 3cm，1cm，3cmD. 3cm，4cm，9cm
2.下列是四个同学画△ABC的高，其中正确的是( )
A. B.
C. D.
3.已知三角形的两边分别为4和10，则此三角形的第三边可能是( )
A. 4B. 5C. 6D. 9
4.两个同样大小的直角三角板按如图所示摆放，其中两条一样长的直角边交于点M，另一直角边BE，CD分别落在∠PAQ的边AP和AQ上，且AB=AC，连接AM，则在说明AM为∠PAQ的平分线的过程中，理由正确的是( )
A. SASB. SSAC. HLD. SSS
5.正n边形的每一个外角都不大于40°，则满足条件的多边形边数最少为( )
A. 七边形B. 八边形C. 九边形D. 十边形
6.如图，已知∠ABC=∠ABD，则下列条件中，不能判定△ABC≌△ABD的是( )
A. AC=ADB. BC=BD
C. ∠C=∠DD. ∠CAB=∠DAB
7.如图，直线l1//l2，线段AB交l1，l2于D，B两点，过点A作AC⊥AB，交直线l1于点C，若∠1=15°，则∠2=( )
A. 95°
B. 105°
C. 115°
D. 125°
8.在△ABC内找一点P，使P到A、C两点的距离相等，并且P到AC的距离等于P到BC的距离.下列尺规作图正确的是( )
A. B.
C. D.
9.如图所示，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD=2DC，S△GEC=3，S△GDC=4，则△ABC的面积是( )
A. 25
B. .30
C. 35
D. 40
10.如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②PF=PA；③AH+BD=AB；④S△ABP=S△AEP+S△DBP，其中正确的个数是( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图，AB=AC，点D，E分别在AB与AC上，CD与BE相交于点F.只填一个条件使得△ABE≌△ACD，添加的条件是：______．
12.一副直角三角板ABC与DEF按如图所示位置摆放，直角顶点B在斜边EF上，点A、C、D、F在一条直线上，则∠CBF的度数为______．
13.如图，BD，CD分别是△ABC的一条内角平分线与一条外角平分线，∠D=20°，则∠A的度数为______．
14.在△ABC中，若AB=5，AC=7，则中线AD的最小整数值是______．
15.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求底角的度数 ．
16.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AB=5cm，AD=BC=3cm，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动．设运动时间为t(s)，当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为______cm/s．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如果一个三角形的一边长为9cm，另一边长为2cm，若第三边长为x cm．
(1)求第三边x的范围；
(2)当第三边长为奇数时，求三角形的周长．
18.(本小题8分)
如图，C是AB的中点，AD=CE，CD=BE.求证：△ACD≌△CBE．
19.(本小题8分)
如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，若∠B=35°，∠E=25°.求∠BAC的度数．
20.(本小题8分)
如图，正方形ABCD的四个顶点都是格点，E点是格点，且在BC边上.仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图．
(1)找到格点F，并连接AF，使AF=AE，且AF⊥AE；
(2)连接EF，过A作AG⊥EF于G点．
21.(本小题8分)
在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AC、AB上，CE=BD．
(1)如图(1)，若∠BAC=90°，求证：AE=AD.(2)如图(2)，若∠BAC=α(90°<α<180°)，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．
22.(本小题8分)
如图1，在△ABC中，∠BAC=75°，∠ACB=35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．
(1)求证：△BCD为等腰三角形；
(2)若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD=AB+BE；
(3)若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究(2)中的结论是否仍然成立？若不成立直接写出正确的结论．
23.(本小题8分)
新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条段线叫做该平面图形的二分线．
解决问题：
(1)①三角形的中线、高线、角平分线中，一定是三角形的二分线的是______；
②如图1，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，DC上，连接EF，与AD交于点G.若S△AEG=S△DGF，则EF______(填“是”或“不是”)△ABC的一条二分线．
(2)如图2，四边形ABCD中，CD平行于AB，点G是AD的中点，射线CG交射线BA于点E，取EB的中点F，连接CF.求证：CF是四边形ABCD的二分线．
(3)如图3，在△ABC中，AB=CB=CE=7，∠A=∠C，∠CBE=∠CEB，D，E分别是线段BC，AC上的点，且∠BED=∠A，EF是四边形ABDE的一条二分线，求DF的长．
24.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，点A(0,5)，B(12,0)，在y轴负半轴上取点E，使OA=EO，作∠CEF=∠AEB，直线CO交BA的延长线于点D．
(1)根据题意，可求得OE=______；
(2)求证：△ADO≌△ECO；
(3)动点P从E出发沿E-O-B路线运动速度为每秒1个单位，到B点处停止运动；动点Q从B出发沿B-O-E运动速度为每秒3个单位，到E点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM⊥CD于点M，QN⊥CD于点N.问两动点运动多长时间△OPM与△OQN全等？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、2+3=5，故A不符合题意；
B、4+4<10，故B不符合题意；
C、1+3>3，故C符合题意；
D、3+4<9，故D不符合题意．
故选：C．
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
2.【答案】B
【解析】解：A、BD不是△ABC的高，不符合题意；
B、BD是△ABC的高，符合题意；
C、BD不是△ABC的高，不符合题意；
D、BD不是△ABC的高，不符合题意；
故选：B．
根据三角形的高的定义判断即可．
本题考查了三角形的高，过三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，这个点与垂足之间的线段叫做三角形的高．
3.【答案】D
【解析】解：设此三角形第三边的长为x，则10-4故选：D．
设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．
本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4.【答案】C
【解析】解：由题意得：∠ABM=∠ACM=90°，
在Rt△ABM与Rt△ACM中，
AM=AMAB=AC，
∴Rt△ABM≌Rt△ACM(HL)，
∴∠BAM=∠CAN，
∴AM是∠PAQ的平分线．
故选：C．
由题意可得∠ABM=∠ACM=90°，则利用HL可判定Rt△ABM≌Rt△ACM，则有∠BAM=∠CAN，即可说明AM是∠PAQ的平分线．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．
5.【答案】C
【解析】解：∵360÷40=9
∴每个外角都等于40°的正多边形为正九边形，
∴若存在正n边形的每一个外角都不大于40°，
则满足条件且边数最少的多边形为正九边形．
故选：C．
本题需先求出每个外角都等于40°的正多边形为正九边形，即可得出满足条件且边数最少的多边形为正九边形，即可得出答案．
本题主要考查了多边形的内角和外角，在解题要能灵活应用多边形的内角和外角的关系是本题的关系．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.根据全等三角形的判定方法进行分析即可．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【解答】
解：A、添加AC=AD不能判定△ABC≌△ABD，故此选项符合题意；
B、添加BC=BD可利用SAS判定△ABC≌△ABD，故此选项不符合题意；
C、添加∠C=∠D可利用AAS判定△ABC≌△ABD，故此选项不符合题意；
D、添加∠CAB=∠DAB可利用ASA判定△ABC≌△ABD，故此选项不符合题意；
故选：A．
7.【答案】B
【解析】解：∵AC⊥AB，
∴∠A=90°，
∵∠1=15°，
∴∠ADC=180°-90°-15°=75°，
∵l1/​/l2，
∴∠3=∠ADC=75°，
∴∠2=180°-75°=105°，
故选：B．
利用垂直定义和三角形内角和定理计算出∠ADC的度数，再利用平行线的性质可得∠3的度数，再根据邻补角的性质可得答案．
此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
8.【答案】D
【解析】解：由题意得，点P是线段AC的垂直平分线与∠ACB的平分线的交点，
对于A选项，点P是∠ACB的平分线与边AB的交点，
故A选项错误；
对于B选项，点P是线段AC的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点，
故B选项错误；
对于C选项，点P是线段BC的垂直平分线上一点，
故C选项错误；
对于D选项，点P是线段AC的垂直平分线与∠ACB的平分线的交点，
故D选项正确．
故选：D．
由题意得，点P是线段AC的垂直平分线与∠ACB的平分线的交点，再根据各选项的尺规作图判断即可．
本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质以及作图方法是解答本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：BD=2DC，
∴S△ABD=2S△ACD，
∴S△ABC=3S△ACD，
∵E是AC的中点，
∴S△AGE=S△CGE，
又∵S△GEC=3，S△GDC=4，
∴S△ACD=S△AGE+S△CGE+S△CGD=3+3+4=10，
∴S△ABC=3S△ACD=3×10=30．
故选：B．
由于BD=2DC，那么结合三角形面积公式可得S△ABD=2S△ACD，而S△ABC=S△ABD+S△ACD，可得出S△ABC=3S△ACD，而E是AC中点，故有S△AGE=S△CGE，于是可求S△ACD，从而易求S△ABC．
本题考查了三角形的面积公式、三角形之间的面积加减计算．注意同底等高的三角形面积相等，面积相等、同高的三角形底相等．
10.【答案】B
【解析】解：∵在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD=12∠BAC，∠ABE=12∠ABC
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠BAD+∠ABE=12(∠BAC+∠ABC)=45°，
∴∠APB=180°-(∠BAD+∠ABE)=135°，故①正确；
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABP=∠FBP，
∵BP=BP，
∴△ABP≌△FBP(AAS)，
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正确；
∵AD平分∠BAC，
∴∠PAH=∠BAP，
∴∠PAH=∠BAP=∠BFP，
∵∠APH=∠FPD=90°，PA=PF，
∴△APH≌△FPD(ASA)，
∴AH=FD，
又∵AB=FB，
∴AB=FD+BD=AH+BD.故③正确；
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APH=S△FPD，S△ABP=S△FBP=S△DBP+S△FPD=S△DBP+S△APH，
∵S△APH>S△AEP，
∴S△ABP=S△DBP+S△APH>S△DBP+S△AEP，故④不正确；
综上，正确的有①②③，共3个，
故选：B．
根据三角形内角和定理以及角平分线定义可判断①；由PF⊥AD结合①的结论可得∠APB=∠FPB=135°，利用角平分线和公共边可证得△ABP≌△FBP(AAS)，可得∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，可判断②；由∠BAP=∠BFP，结合AD平分∠BAC，可知∠PAH=∠BAP=∠BFP，可证得△APH≌△FPD(ASA)，可得AH=FD，由AB=FD+BD=AH+BD可判断③；由全等三角形的性质可得S△APH=S△FPD，S△ABP=S△FBP=S△DBP+S△FPD=S△DBP+S△APH，进而可判断④．
本题考查了三角形全等的判定方法，角平分线与三角形内角和定理．根据三角形内角和定理以及角平分线定义∠APB=135°，再由此证明△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，是解决问题的关键．
11.【答案】∠B=∠C(答案不唯一)
【解析】解：∵∠B=∠C，AB=AC，∠A=∠A，
∴△ABE≌△ACD(ASA)，
故答案为：∠B=∠C(答案不唯一)．
根据题意，已经有一组边相等，一个公共角，结合图形，根据两个三角形全等的判定定理，添加一组角相等，构成ASA，即可得到两个三角形全等．根据其他的判定定理，也可添加其他的条件．
本题主要考查的是全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理添加条件即可．
12.【答案】75°
【解析】解：∵一副直角三角板ABC与DEF按如图所示位置摆放，
∴∠BFC=45°，∠ABC=90°，
∴∠ABF=45°-30°=15°，
∴∠CBF=∠ABC-∠ABF=90°-15°=75°．
故答案为：75°．
先根据三角板的摆放位置得出∠BFC=45°，∠ABC=90°，结合三角形的外角性质得∠ABF=45°-30°=15°，即可作答．
本题考查了三角形的外角性质，直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13.【答案】40°
【解析】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠DBC=12∠ABC，∠DCE=12∠ACE．
∵∠ACE是△ABC的外角，∠DCE是△DBC的外角，
∴∠ACE=∠A+∠ABC，∠DCE=∠D+∠DBC，
∴12∠ACE=∠D+∠DBC，
∴12(∠A+∠ABC)=∠D+∠DBC，
∴12∠A+12∠ABC=∠D+∠DBC，
∴12∠A+∠DBC=∠D+∠DBC，
∴∠A=2∠D=2×20°=40°．
故答案为：40°．
由BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，利用角平分线的定义，可得出∠DBC=12∠ABC，∠DCE=12∠ACE，由∠ACE是△ABC的外角，∠DCE是△DBC的外角，利用三角形的外角性质，可得出∠ACE=∠A+∠ABC，∠DCE=∠D+∠DBC，进而可得出∠A=2∠D，再代入∠D=20°，即可求出∠A的度数．
本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，找出∠A=2∠D是解题的关键．
14.【答案】2
【解析】解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ADC与△EDB中，
BD=CD∠ADC=∠BDEAD=DE，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴EB=AC，
根据三角形的三边关系得：BE-AB∴2∵AE=2AD，
∴1中线AD的最小整数值是2，
故答案为：2．
延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出EB=AC，根据三角形的三边关系求出即可．
本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出2<2AD<12是解此题的关键．
15.【答案】65°或25°
【解析】【分析】
本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握等边对等角和三角形内角和为180°是解题的关键．
分三角形为钝角三角形和锐角三角形两种情况，结合条件可求得顶角或顶角的外角，再结合三角形内角和定理可求得其底角．
【解答】
解：当该三角形为锐角三角形时，如图1，
可求得其顶角为50°，
则底角为12×(180°-50°)=65°；
当该三角形为钝角三角形时，如图2，
可求得顶角的外角为50°，则顶角为130°，
则底角为12×(180°-130°)=25°．
综上可知该三角形的底角为65°或25°．
故答案为：65°或25°．
16.【答案】1或1.2
【解析】解：设点F的运动速度为x cm/s，则AE=t cm，BE=(5-t)cm，BF=xt cm，
∵∠DAB=∠ABC，
∴当AD=BE，AE=BF时，根据“SAS”判断△ADE≌△BEF，
即5-t=3，t=xt，解得t=2，x=1；
当AD=BF，AE=BE时，根据“SAS”判断△ADE≌△BFE，
即xt=3，t=5-t，解得t=2.5，x=1.2，
综上所述，点F的运动速度为1或1.2cm/s．
故答案为：1或1.2．
设点F的运动速度为x cm/s，则AE=t cm，BE=(5-t)cm，BF=xt cm，由于∠DAB=∠ABC，则当AD=BE，AE=BF时，根据“SAS”判断△ADE≌△BEF，即5-t=3，t=xt；当AD=BF，AE=BE时，根据“SAS”判断△ADE≌△BFE，即xt=3，t=5-t，然后分别解方程求出x即可．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
17.【答案】解：(1)∵三角形的一边长为9cm，另一边长为2cm，
∴9-2即7(2)由(1)知，7∵第三边的长为奇数，
∴第三边的长为9cm，
∴三角形的周长为20cm．
【解析】(1)根据三角形的三边关系得到有关第三边x的取值范围即可；
(2)根据(1)得到的取值范围确定第三边的值，从而求出三角形的周长．
本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是能够根据三角形的三边关系列出有关x的取值范围．
18.【答案】证明：∵C是AB的中点，
∴AC=BC，
∵AD=CE，CD=BE，
∴△ACD≌△CBE(SSS)．
【解析】根据三角形全等的判定定理SSS可证得△ACD≌△CBE．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
19.【答案】解：∵∠B=35°，∠E=25°，
∴∠DCE=∠B+∠E=60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠DCE=120°，
∵∠ACD=∠B+∠BAC，
∴∠BAC=120°-35°=85°．
【解析】先根据三角形外角的性质得到∠DCE=∠B+∠E=60°，再由角平分线的定义得到∠ACD=2∠DCE=120°，则由三角形外角的性质可得∠BAC=120°-35°=85°．
本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】解：(1)点F即为所求；
(2)点G即为所求．

【解析】(1)根据网格线的特征和和全等三角形的判定及性质作图；
(2)根据网格线的特征作图．
本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特征和和全等三角形的判定及性质是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵∠BAC=90°，
∴△BAD，△CAE均为直角三角形，
又∵AB=AC，CE=BD，
∴Rt△BAD≌Rt△CAE(HL)，
∴AE=AD．
(2)解：相等，理由如下：
如图所示，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点B作BN⊥CA交CA的延长线于N．

∵∠M=∠N=90°，∠CAM=∠BAN，CA=BA，
∴△CAM≌△BAN(AAS)，
∴CM=BN，AM=AN，
∵∠M=∠N=90°，CE=BD，CM=BN，
∴Rt△CME≌Rt△BND(HL)，
∴EM=DN，
∵AM=AN，
∴AE=AD．
【解析】(1)根据直角三角形的全等判定证明即可．
(2)过点C作CM⊥BA交BA的延长线于M，过点B作BN⊥CA交CA的延长线于N.仿照(1)证明直角三角形全等即可．
本题考查了直角三角形的全等判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
22.【答案】证明：(1)如图1，在△ABC中，∠BAC=75°，∠ACB=35°，
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=70°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=12∠ABD=35°，
∴∠DBC=∠ACB=35°，
∴BD=CD，
∴△BCD为等腰三角形；
(2)证法一：如图2，在AC上截取AH=AB，连接EH，
由(1)得：△BCD为等腰三角形，
∴BD=CD，
∴BD+AD=CD+AD=AC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAB=∠EAH，
∴△ABE≌△AHE(SAS)，
∴BE=EH，∠AHE=∠ABE=70°，
∴∠HEC=∠AHE-∠ACB=35°，
∴EH=HC，
∴AB+BE=AH+HC=AC，
∴BD+AD=AB+BE；
证法二：如图3，在AB的延长线上取AF=AC，连接EF，
由(1)得：△BCD为等腰三角形，且BD=CD，
∴BD+AD=CD+AD=AC，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAF=∠EAC，
∴△AEF≌△AEC(SAS)，
∴∠F=∠C=35°，
∵∠ABC=70°，
∴∠BEF=35°，
∴∠BFE=∠BEF，
∴BF=BE，
∴AB+BE=AB+BF=AF，
∴BD+AD=AB+BE；
(3)探究(2)中的结论不成立，正确结论：BD+AD=BE-AB，理由是：

如图4，在BE上截取BF=AB，连接AF，
∵∠ABC=70°，
∴∠AFB=∠BAF=35°，
∵∠BAC=75°，
∴∠HAB=105°，
∵AE平分∠HAB，
∴∠EAB=12∠HAB=52.5°，
∴∠EAF=52.5°-35°=17.5°=∠AEF=17.5°，
∴AF=EF，
∵∠AFC=∠C=35°，
∴AF=AC=EF，
∴BE-AB=BE-BF=EF=AC=AD+CD=AD+BD．
【解析】(1)如图1，先根据三角形内角和得：∠ABC=70°，由角平分线及已知角可得：∠DBC=∠ACB=35°，可得结论；
(2)证法一：如图2，在AC上截取AH=AB，连接EH，证明△ABE≌△AHE，则BE=EH，∠AHE=∠ABE=70°，所以EH=HC，得AB+BE=AH+HC=AC=AD+CD=BD+AD；
证法二：如图3，在AB的延长线上取AF=AC，连接EF，证明△AEF≌△AEC，则∠F=∠C=35°，得BF=BE，可得结论；
(3)正确画图4，作辅助线，构建等腰三角形，根据角的大小证明：AF=AC=EF，由线段的和与差可得结论．
本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理及外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)①三角形的中线；②是 ；
(2)∵EB的中点F，
∴S△CBF=S△CEF，
∵AB/​/DC，
∴∠E=∠DCG，
∵G是AD的中点，
∴DG=AG，
在△EAG和△CDG中，
∠E=∠DCG∠EGA=∠CGDAG=DG
∴△EAG≌△CDG(AAS)，
∴S△AEG=S△DCG，
∴S四边形AFCD=S△CEF，
∴S四边形AFCD=S△CBF，
∴CF是四边形ABCD的二分线．
(3)如图，延长CB使BH=CD，连接EH，
AB=CB=CE=7，∠A=∠C，∠CBE=∠CEB，D，E分别是线段BC，AC上的点，且∠BED=∠A，
∵BC=7
∴BD+CD=7
∴BD+BH=7=HD
∵∠BED=∠A，∠BED+∠DEC=∠A+∠ABE
∴∠ABE=∠CED，且AB=CE=7，∠A=∠C
∴△ABE≌△CED(ASA)
∴AE=CD，BE=DE，∠AEB=∠EDC，S△ABE=S△EDC，
∴AE=BH，
∵∠CBE=∠CEB
∴∠AEB=∠EBH
∴∠EBH=∠EDC，且BE=DE，BH=CD
∴△BEH≌△DEC(SAS)、
∴S△BEH=S△DEC，
∴S△BEH=S△DEC=S△ABE，
∴S△HED=S四边形ABDE，
∵EF是四边形ABDE的一条二分线，
∴S△DEF=12S四边形ABDE=12S△HED，
∴DF=12DH=72
【解析】解：(1)①∵三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；
∴三角形的中线是三角形的二分线，
故答案为三角形的中线
②∵AD是BC边上的中线
∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC，
∵S△AEG=S△DGF，
∴S四边形BDGE+S△AEG=S四边形BDGE+S△DGF，
∴S△BEF=S△ABD=12S△ABC，
∴EF是△ABC的一条二分线
故答案为：是
(2)(3)见答案．
(1)①由平面图形的二分线定义可求解；
②由面积的和差关系可得S△BEF=S△ABD=12S△ABC，可得EF是△ABC的一条二分线；
(2)根据EB的中点F，所以S△CBF=S△CEF，由AB//DC，G是AD的中点，证明△CDG≌△EAG，所以S四边形AFCD=S△CEF，所以S四边形AFCD=S△CBF，可得CF是四边形ABCD的二分线；
(3)延长CB使BH=CD，连接EH，通过全等三角形的判定可得S△BEH=S△DEC=S△ABE，可得S△HED=S四边形ABDE，即可得DF=12DH=72．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，平行线的性质，理解新定义是本题的关键．
24.【答案】5
【解析】解：(1)∵A(0,5)，
∴OE=OA=5，
故答案为5．
(2)如图1中，
∵OE=OA，OB⊥AE，
∴BA=BE，
∴∠BAO=∠BEO，
∵∠CEF=∠AEB，
∴∠CEF=∠BAO，
∴∠CEO=∠DAO，
在△ADO与△ECO中，
∠CEO=∠DAOOA=OE∠COE=∠AOD，
∴△ADO≌△ECO(ASA)．
(2)设运动的时间为t秒，当PO=QO时，易证△OPM≌△OQN．
(i)当点P、Q分别在y轴、x轴上时PO=QO得：
5-t=12-3t，解得t=72(秒)，
(ii)当点P、Q都在y轴上时PO=QO得：
5-t=3t-12，解得t=174(秒)，
(iii)当点P在x轴上，Q在y轴上时，
若二者都没有提前停止，则PO=QO得：
t-5=3t-12，解得t=72(秒)不合题意；
当点Q运动到点E提前停止时，
有t-5=5，解得t=10(秒)，
综上所述：当两动点运动时间为72、174、10秒时，△OPM与△OQN全等．
(1)根据OA=OE即可解决问题．
(2)根据ASA证明三角形全等即可解决问题．
(2)设运动的时间为t秒，(i)当点P、Q分别在y轴、x轴上时(ii)当点P、Q都在y轴上时，(iii)当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，当点Q提前停止时，列方程即可得到结论．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．