广东省九校2025届高三上学期9月联合教学质量检测数学试卷（原卷及解析版）

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本试卷4页 满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得集合或，，结合交集与补集的运算，即可求解.
【详解】由集合或，
所以，可得.
故选：.
2. 已知平面向量满足：，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由投影向量的定义可得，再由向量的夹角公式，代入计算，即可求解.
【详解】因为在上的投影向量为，即，所以，
又，
，
所以，
且，则.
故选：C
3. 已知相互啮合的两个齿轮，大轮有45齿，小轮有30齿.如果大轮的转速为180（转/分），小轮的半径为10cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是（ ）cm.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过大轮的速，得到小轮的转速，从而求出小轮上每一点的转速，再根据弧长公式计算可得.
【详解】大轮有45齿，小轮有30齿，…当大轮转动一周时小轮转动周，
当大轮的转速为180时，小轮转速为，
小轮周上一点每1s转过的弧度数为：.
又小轮的半径为10cm，所以小轮周上一点每1s转过的弧长为：.
故选：B
4. 为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（ ）种.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】采用分类与分步计数原理，先排丙共有种分法，再分为甲、丙在同一所学校和甲、丙不在同一所学校两类，每类分别讨论，最后相加得到结果.
【详解】先将丙安排在一所学校，有种分法；
若甲、丙在同一所学校，那么乙就有种选法，
剩下3名教师可能分别有3、2、1人在最后一所学校（记为X校），
分别对应有1（3人均在X校）、（2人在X校，另1人随便排）、
（1人在X校，另2人分在同一所学校或不在同一所学校），
共种排法；
若甲、丙不在同一所学校，则甲有种选法，
若乙与丙在同一所学校，则剩下3名教师按上面方法有19种排法；
若乙与丙不在同一所学校，则有剩下3人可分别分1、2、3组，
分别有、、种排法，故共有：
种排法.
故选：B.
5. 已知数列满足，且，则的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】给两边同时加一个数，构造成等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解的通项公式即可.
【详解】设，即，
所以，解得，
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以．
故选：C.
6. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算即可得到答案.
【详解】因为为与的交点，
所以
.
故选：D.
7. 已知是数列的前项和，若，数列的首项，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项式定理可知，再根据二项式系数的性质可得，再根据递推公式可得，利用分组求和的方法可得解.
【详解】由已知，
则，
则，
再根据二项式的展开式中二项式系数的性质可知，
则，
又，可得，且，
则，
所以当为奇数时，，当为偶数时，，
则
.
故选：A.
8. 已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】不等式可化为，利用导数分析函数的单调性，作函数，的图象，由条件结合图象列不等式求的取值范围.
【详解】函数的定义域为，
不等式化为：．
令，，，
故函数在上单调递增，在上单调递减．
当时，gx>0，当时，gx=0，
当时，gx<0，
当时，，当，且时，，
画出及hx的大致图象如下，
因为不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，
故正整数解为．
故，
即．
故.
故选：C.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（为自然对数的底数，i为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（ ）
A. 复数为纯虚数B. 复数对应的点位于第二象限
C. 复数的共轭复数为D. 复数的模长为1
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定的公式，结合复数的相关概念逐项分析判断即得.
【详解】A选项：是纯虚数，A选项正确；
B选项：而，即，则复数对应的点在第二象限，B 选项正确；
C 选项：，则复数的共轭复数为，C 选项错误；
D 选项：D选项正确；
故选：ABD.
10. 已知，为正实数，且，，，则（ ）
A. 的最大值为4B. 的最小值为
C. 的最小值为2D. 的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】对A：利用基本不等式判断；对B：利用基本不等式结合“1”的代换判断；对C：利用因式分解结合基本不等式判断；对D：利用基本不等式结合“1”的代换判断.
【详解】由，，，即有；
对A：，即，即，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为4，故A错误；
对B：由，故，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，故B正确；
对C：由，故，
则，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对D：，
当且仅当时，等号成立，故D错误.
故选：BC
11. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ）
A. 的斜率为
B. 是锐角三角形
C. 四边形的面积是
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意分析可知为等边三角形，即可得直线的倾斜角和斜率，进而判断A；可知直线的方程，联立方程求点的坐标，求相应长度，结合长度判断BD；根据面积关系判断C.
【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，即，

设，
则，可得，
因为，即，
可知为等边三角形，即，
且∥x轴，可知直线的倾斜角为，斜率为，故A正确；
则直线，
联立方程，解得或，
即，，则，
可得，
在中，，且，
可知为最大角，且为锐角，所以是锐角三角形，故B正确；
四边形的面积为，故C错误；
因为，所以，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题求解方法
（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；
（2）面积问题常采用底高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；
（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知数列的首项为，，则数列的前2024项和为________________.
【答案】
【解析】
【分析】结合三角函数性质分奇偶讨论可得数列的通项公式，再利用错位相减法求和即可得解.
【详解】化简知，，
当，时，，，
∴，，即为奇数时，数列是常数列，，
∴当为奇数时，；
又∵当为偶数时，为奇数，，
∴，
综上所述，数列的通项公式为，
∴数列的通项公式为，
设数列的前项和为，
则，
即有，
两式相减可得，
则，
故.
故答案为：
13. 已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦AB的中点为，则直线l的方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】设出A，B两点的坐标，代入双曲线方程，然后利用点差法得到直线l的斜率即可求解直线方程．
【详解】设Ax1,y1，Bx2,y2，
则，，
又， ，
两式相减，得，
即，整理得，
直线l的斜率为，
直线l的方程为，
化简得，经检验满足题意.
故答案为：.
14. 一段路上有100个路灯一开始它们都是关着的，有100名行人先后经过这段路，对每个，当第名行人经过时，他将所有下标为的倍数的路灯的开关状态改变.问当第100名行人经过后，有______个路灯处于开着的状态.
【答案】10
【解析】
【分析】将最终“灯开”转化为“当且仅当的正约数个数为奇数”，由此求得开启的路灯数量.
【详解】固定每个，考察路灯.
根据题意，被第名行人改变开关状态，
当且仅当为的正约数（注意的正约数都不超过100，故每个正约数均可对应到某一名行人）.
所以最终为开，当且仅当的正约数个数为奇数.以下证明这等价于为平方数.
事实上，的每个正约数均可对应到正约数，
其中，对应到自身当且仅当，即，
这意味着，的正约数个数为奇数当且仅当是的正约数，即为平方数.
因此，当所有人都经过后，恰好那些下标为平方数1，4，9，…，100的路灯是开着的，
所以共有10个路灯处于开着状态.
故答案为：
【点睛】思路点睛：将路灯最终是开着的，转化为“的正约数个数为奇数”；重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用题意.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 记的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，，求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用正弦定理得到，再利用余弦定理，即可求解；
（2）根据条件，利用辅助角公式得到，进而得到，从而有，再利用正弦定理，即可求出结果.
【小问1详解】
在中，由正弦定理得.
因为，所以，.
化简得.
在中，由余弦定理得.
又因为，所以.
【小问2详解】
由，可得，
又B∈0,π，所以，得到，即，
所以，
，又，
由正弦定理得，得到，
解得，，
故的周长为.
16. 足球比赛积分规则为：球队胜一场积分，平一场积分，负一场积分．常州龙城足球队年月将迎来主场与队和客场与队的两场比赛．根据前期比赛成绩，常州龙城队主场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为；客场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且两场比赛结果相互独立．
（1）求常州龙城队月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分的概率；
（2）用表示常州龙城队月与队和队比赛获得积分之和，求的分布列与期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望为
【解析】
【分析】（1）找出所有符合题意的情况及其对应概率后求和即可得；
（2）得到的所有可能取值及其对应概率后即可得其分布列，利用分布列即可得其期望.
【小问1详解】
设事件“常州龙城队主场与队比赛获得积分为分”，
事件“常州龙城队主场与队比赛获得积分为分”，
事件“常州龙城队主场与队比赛获得积分为分”，
事件“常州龙城队客场与队比赛获得积分为分”，
事件“常州龙城队客场与队比赛获得积分为分”，
事件“常州龙城队客场与队比赛获得积分为分”，
事件“常州龙城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分”，
，
，
，
则，
∴常州龙城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分的概率为；
【小问2详解】
由题意可知的所有可能取值为，
，
，
，
，
，
，
∴的分布列为：
∴
17. 如图，平面，，点分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值；
（3）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，证得，利用用线面判定定理，即可得到平面.
（2）以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.求得平面和平面法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．
（3）设，则，从而，由（2）知平面的法向量为，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，即可求解．
【小问1详解】
连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形.
由点和分别为和的中点，可得且，
因为为CD的中点，所以且，
可得且，即四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
因为平面，，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.
依题意可得，.
，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得，.
，于是.
所以，二面角的正弦值为.
【小问3详解】
设，即，则.
从而.
由（2）知平面的法向量为，
由题意，，即，
整理得，解得或，
因为所以，所以.
则N到平面的距离为.
【点睛】
18. 已知点在抛物线上，按照如下方法依次构造点，过点作斜率为的直线与抛物线交于另一点，令为关于轴的对称点，记的坐标为．
（1）求的值；
（2）求证：数列是等差数列，并求；
（3）求的面积．
【答案】（1）1 （2）证明见解析；，
（3）16
【解析】
【分析】（1）由点在抛物线上，代入即可求解；
（2）方法一：求得过，且斜率为的直线方程， ，联立方程组，求得方程的两根，得到，结合等差数列的定义，即可得证；
方法二：由点在抛物线上，得到方程组，两式相减，结合向量公式，得到，即可得证；
（3）由（2）得到，结合梯形和的面积，求得的面积，即可求解.
【小问1详解】
解：因为点在抛物线上，可得，解得．
【小问2详解】
证明：由（1）知：，即，
方法一：因为点在抛物线上，则，且，
过，且斜率为的直线，
联立方程组，可得，
解得或，所以，可得，
所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列，
所以，．
方法二：因为点在抛物线上，
所以，两式相减得：．
所以：可得，
所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列，
所以，．
【小问3详解】
解：由（2）知：，
可得梯形的面积为：
即，同理可得，
又由梯形的面积为：
，
即，则的面积为：
．
【点睛】数列与函数、不等式综合问题的求解策略：
1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；
2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.
19. 已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有.
（1）证明函数在上单调递增；
（2）解不等式；
（3）若对所有，，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）不等式的解集为
（3）实数的取值范围
【解析】
【分析】（1）设且，再利用函数的奇偶性和已知的条件，结合单调性定义即可证得结论；
（2）利用函数的单调性解不等式即可得解；
（3）将已知变形为恒成立，设,对，恒成立，即,解不等式组求得的取值范围.
【小问1详解】
且，
则，
因为，，
由已知可得，，
所以，所以，
所以函数在上单调递增；
【小问2详解】
因，又在上为增函数，
所以，解得，
所以不等式的解集为；
【小问3详解】
由在上为增函数，所以，，
所以对所有，，恒成立，
等价于对任意恒成立，
设，对，恒成立，
所以，解得，
所以或或，
所以实数的取值范围.
【点睛】方法点睛：二次函数的“轴动区间定”求参数范围问题，可转化为关于参数的一次函数问题，借用一次函数的图象和性质去分析问题更简便.