雅礼中学2023年下学期高二10月检测试卷数学试卷及参考答案

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时量：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1.已知集合，，则( )
A.B.
C.D.
2.已知复数，则的虚部是( )
A.B.C.D.
3.已知向量，，则“，的夹角为锐角”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知，为两条不同的直线，为平面，则下列命题正确的是( )
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
5.在中，，，是边的中点，为的外心，则( )
A.B.
C.D.
6.已知，则( )
A.B.
C.D.
7.在平面中，过定点作一直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，面积的最小值为( )
A.B.C.D.
8.已知函数，的定义域均为，，且为偶函数，函数满足，对于，均有，则( )
A.B.
C.D.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分.
9.一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字，，，，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为或”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是( )
A.B.事件与事件互斥
C.事件与事件相互独立D.
10.如图(1)是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图(2)，(单位：)表示在时间(单位：)时.过山车(看作质点)离地平面的高度.轨道最高点距离地平面.最低点距离地平面.入口处距离地平面.当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点.设，下列结论正确的是( )
A.函数的最小正周期为
B.
C.时，过山车距离地平面
D.一个周期内过山车距离地平面低于的时间是
11.已知圆和圆相交于，两点，则下列说法正确的是( )
A.两圆有两条公切线
B.直线的方程为
C.线段的长为
D.若圆上有一动点，圆上有一动点，则的最大值为
12.如图，若正方体的棱长为，点是正方体的侧面上的一个动点(含边界)，是棱的中点，则下列结论正确的是( )
A.沿正方体的表面从点到点的最短路程为
B.过，，三点作正方体的截面，则截面面积为
C.三棱锥的体积最大值为
D.若保持，则点在侧面内运动路径的长度为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
13.已知直线与平行，则实数的值为_________.
14.已知点，.若直线与线段相交，则的取值范围是_________.
15.已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是_________.
16.若圆与圆外切，则的最大值为_________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
中，角，，所对的边分别为，，，已知，，.
(1)求的值；
(2)求的面积.
18.(本小题满分12分)
《中华人民共和国民法典》于年月日正式施行.某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试(满分：分)，并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)估计该组测试成绩的平均数和第百分位数；
(2)该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽样，确定了人.若从这人中随机抽取人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的测试成绩分别位于和”，求.
19.(本小题满分12分)
已知圆.
(1)求过点且与圆相切的直线的方程；
(2)已知点，，是圆上的动点，求面积的最大值.
20.(本小题满分12分)
如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，，是底面的内接正三角形，且，是线段上一点.
(1)若，求三棱锥的体积；
(2)当为何值时，直线与平面所成的角的正弦值最大.
21.(本小题满分12分)
已知函数，
(1)若的解集，求实数的取值范围；
(2)若在区间内有两个零点，，求实数的取值范围.
22.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系中，过坐标原点的圆(圆心在第象限)与轴正半轴交于点，弦将圆截得两段圆弧的长度比为.
(1)求圆的标准方程；
(2)设点是直线上的动点，、是圆的两条切线，、为切点，求四边形面积的最小值；
(3)若过点且垂直于轴的直线与圆交于点、，点为直线上的动点，直线、与圆的另一个交点分别为、(与不重合)，求证：直线过定点.