甘肃省张掖市部分学校2024-2025学年高一上学期开学联考数学试卷

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(考试时间:120分钟 总分：150分)
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合则
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据集合交集求解即可；
【详解】因为
所以
故选：C
2．已知命题，，则命题的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】利用全称命题的否定形式一一判定选项即可.
【详解】易知，的否定是：，或，即．
故选：B
3．满足的集合M共有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．15个
【答案】B
【分析】根据子集，真子集的关系，一一列举即可.
【详解】，可按元素个数分类依次写出集合M为，，，，，，，共7个.
故选：B.
4．已知为正数，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】由题意，,
所以,
当且仅当，即取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
5．已知集合，则下图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意求得结合，结合阴影部分表示的集合为，即可求解.
【详解】由集合，
又由阴影部分表示的集合为.
故选：C.
6．已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据必要条件的概念得集合之间的包含关系，列不等式组求解即可.
【详解】由得，
即
若是的必要条件,
则，
，解得
故选：A.
7．已知集合，均为的子集，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】如所示，
因为,且不包含集合,
故.
故选：D.
8．已知，则“”是“函数的图象恒在轴上方”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【分析】分别研究由“”推出“函数的图象恒在轴上方”和由“函数的图象恒在轴上方”推出“”，得到答案.
【详解】当时，
函数图象与轴没有交点，
当时，图像恒在轴下方，所以是不充分条件；
当函数的图象恒在轴上方，
取，满足要求，此时，
因此不一定能得到，所以是不必要条件；
故选D项.
【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，二次函数的图像问题，属于简单题.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的的0分。
9．若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小
【分析】采用作差法可知AB正确；通过反例可说明CD错误.
【详解】对于A，，
，，，
，即，A正确；
对于B，，
，，，
，即，B正确；
对于C，当，，，时，，C错误；
对于D，当，，，时，，D错误.
故选：AB.
10．若集合，满足：，，则下列关系可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】
根据子集的定义以及特殊例子一一说明即可；
【详解】
解：若，则，则，故不，，即A一定错误，
若，时，满足“，”，此时，即B正确.
若，时，满足“，”成立，此时，即C正确.
若，时满足条件“，”且有，则D正确.
故选：BCD.
11．下列叙述中不正确的（ ）
A．命题“，总有”的否定是“，使得”
B．设，则“”的充要条件“”；
C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的充分不必要条件；
D．“”是“”的充分不必要条件
【答案】BC
【分析】依据全称量词命题的否定的，以及必要条件､充分条件与充要条件的定义逐项判断.
【详解】解：选项A：依据全称量词命题的否定，可知命题“，总有”的否定是“，使得”，故选项A正确；
选项B：若，，则不成立，选项B不正确；
选项C：当时，一元二次方程根的判别式为，
即方程有两个根，注意到二次函数图像开口向上，
在处取值为，因此方程有一个正根和一个负根，
反之，若方程有一个正根和一个负根，则其解设为，，
有，因此是“方程有一个正根和一个负根”的充要条件，故选项C不正确；
选项D：时，显然，反之，得到或，因此“”是“”的充分不必要条件，故选项D正确.
故选：BC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知全集，集合，则___________.
【答案】
【分析】先求出再求出即可.
【详解】由题意知，
所以.
故答案为：.
13.已知，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】整理，观察和为定值，利用基本不等式直接求解即可．
【详解】，
当且仅当，
即时等号成立，
故答案为：．
14．下列命题：
①存在；
②对于一切实数x<0，都有|x|>x；
③已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N*，an≠bm.
其中，所有真命题的序号为 .
【答案】①②
四､解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知全集，集合，集合.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
16.已知集合，求；
（2）已知集合，是否存在实数，使得?若存在，试求出实数的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，
【分析】（1）根据题意结合交集运算求解；
（2）由题意可得：，根据子集关系分析运算，注意集合的互异性.
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以；
（2）存在，，理由如下：
因为，则，
（i）若，则，此时，不合题意；
（ⅱ）若，则或，
①当时，则，符合题意；
②当时，此时，不合题意；
综上所述：.
17.（15分）已知集合，集合，集合，且．
(1)求实数a的值组成的集合；
(2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由，知，则或或，
当时，所以，
当时，所以，
当时，所以，
所以的取值集合为．
（2）由题意得，，故，
又是的充分不必要条件，
所以是的真子集，于是，
解得：，经检验符合条件，
综上，实数m的取值范围是．
18.（17分）（1）已知，，求证：；
（2）已知，试比较M与N的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【详解】（1）因为，，所以，
当且仅当时取等号．
19．已知集合或，集合.
(1)若，求和；
(2)若记符号，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑，并求当时；
(3)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，或或
(2)或
(3)或
【分析】（1）直接根据交集和并集的概念求解；
（2）所给集合表示除去集合中含有的集合中的元素构成的集合，据此可得画出阴影，进而求出时的；
（3）由得到，根据集合的包含关系列不等式求解即可，注意的情况.
【详解】（1）若，，又或，
则，或或；
（2）若记符号，在图中把表示“集合”的部分用阴影涂黑如下图：
当时，，
则或；
（3）若，则，
当时，，解得，
当时，，解得或.
综上：实数的取值范围为或.