江苏省泰州市海陵区2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份江苏省泰州市海陵区2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了抛物线与轴的交点个数为，在中，，，，则的面积等于，若，则锐角，黄金分割能让人产生视觉上的美感等内容，欢迎下载使用。
海陵区2023～2024学年度第一学期期末学业质量监测试卷
九年级数学
（考试时间：120分钟，满分150分）
请注意：1．本试卷分为选择题和非选择题两部分．
2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效．
3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗．
第一部分 选择题（共18分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上）
1．方程的解是（ ）
A．B．C．，D．，
2．已知的半径为3，点到圆心的距离为4，则点在（ ）
A．的内部B．的外部C．上D．的内部或上
3．一组数据：1、2、2、5，若添加一个数据2，则下列统计量中发生变化的是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．极差
4．抛物线与轴的交点个数为 （ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．在中，，，，则的面积等于（ ）
A．12B．30C．37.5D．24
6．如图，在中，，Ⅰ是的内心，连接并延长至点，使．则的度数是（ ）

A．B．C．D．
第二部分 非选择题（共132分）
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．根据气象局统计，年全年泰州地区最高气温，最低气温，则年全年泰州地区气温的极差为 ．
8．若，则锐角
9．已知扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为 ．（结果保留）
10．黄金分割能让人产生视觉上的美感．某本书的宽与长的比为黄金比（长宽），若该书长为，则宽为 cm．（结果精确到）
11．江豚素有“水中大熊猫”之称，为了解洞庭湖现有江豚数量，考察队先从湖中捕捞10头江豚并做上标记，然后放归湖内．经过一段时间与群体充分混合后，再从中多次捕捞，并算得平均每32头江豚中有2头有标记，则估计洞庭湖现有江豚数量约为 头．
12．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ．
13．如图，已知抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，若抛物线上存在点，使得的面积为1，则点的坐标是 ．
14．如图，点是的重心，连接并延长交于点，易得，过点作，分别交于点，则与面积的比值为 ．
15．和均为等腰直角三角形，按如图所示的方式放置，的顶点与斜边的中点重合，边与边相交于点，若，，，则的面积为 ．
16．如图，在矩形中，，，在平面内有一动点，，作，且，连接，为线段上一点，且，连接，则最小值为 ．

三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）解方程：；
（2）计算：．
18．为庆祝“改革开放45周年”，某校九（1）、九（2）两个班联合开展了一次关于改革开放以来国家伟大成就的知识竞赛．并从两个班分别随机抽取了10名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析．抽取的10名学生成绩的部分数据如下：
九（1）班抽取的10名学生成绩从低到高排序后，中间6人成绩为：75，78，81，85，85，85，（其他4人成绩均不相同）；
九（2）班抽取的10名学生的成绩，其中5人成绩为：73，81，83，85，88；另外5人成绩的方差为46．
九（1）、九（2）班分别抽取的10名学生竞赛成绩统计表
(1)填空：______，______，______；
(2)根据以上随机抽取的数据，你认为本次知识竞赛中，哪个班级学生对改革开放以来国家伟大成就的了解情况更好？请说明理由．
19．“泰州太美，顺风顺水”是泰州的文旅宣传标语．小明、小亮准备采用抽签的方式，各自随机选取泰州的3个景点（A：溱湖湿地公园，B：望海楼，C：老街）中1个景点游玩，3支签分别标有A、B、C．
(1)小明恰好选取A景点的概率为______；
(2)若规定其中一人抽完签后，放回，下一个人再抽，请用列表或树状图的方法，求小明、小亮选取同一景点的概率．
20．某校九年级数学兴趣小组开展“测量建筑物高度”的数学活动，他们设计了一种采用无人机测量教学楼高度的方案：如图，将无人机悬停在距离水平地面28米高的点处，无人机测得楼顶处的俯角为，同时测得地面标记点的俯角为，点在同一平面内，且标记点与教学楼的距离为35米，求教学楼的高度．（结果精确到米，参考数据：，）
21．已知：如图，在四边形中，，对角线与相交于点，过点作，交于点．求证：
(1)；
(2)．
22．如图，二次函数的图象与轴交于点，且经过点．
(1)求此二次函数的表达式，并求出顶点坐标；
(2)若将该二次函数图象先向右平移个单位、再向下平移个单位，平移后的抛物线仍然经过点，求的值．
23．某商场销售一种成本为20元/件的商品，根据市场调查发现：一年内该商品在不同月份的销售单价（元/件）关于月份的函数关系为时，对应各月的销量（件）关于月份的函数关系为．（，且为整数）
(1)2月份该商品销售单价为______元/件，销量为______件；
(2)该商场几月份销售该产品恰好盈利7200元？
(3)请直接写出该商场哪些月份销售该产品当月盈利超过6400元．
24．如图，中，，是的外接圆，的平分线交于点．
图1 图2 图3
(1)在图1中，仅使用无刻度的直尺作的外角的平分线，与的交点为；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)如图2，的外角的平分线交于点，过点作的切线交于点，若，的半径为3，求线段的长；
(3)如图3，的外角的平分线交于点，在图3中仅使用无刻度的直尺作的平分线．（不写作法，保留作图痕迹）
25．在平面直角坐标系中，点是抛物线上的一个动点，点是轴上的一点，作直线交轴正半轴于点．过点的直线交轴于点，交轴于点．作轴于点．
(1)当时，求点的坐标；
(2)当时，请结合图像，直接写出的取值范围；
(3)求证：平分．
26．已知：中弦相交于点，连接，作直径，点与点不重合．
初步探索
（1）如图1，当时，解决下列问题：
①与是否相等？请说明理由；
②若，，，求的长；
进一步思考
（2）如图2，若是的2倍，求证：点在线段的垂直平分线上；
拓展应用
（3）如图3，若，上存在一个点，满足是的倍（说明：所对圆周角也是所对圆周角的倍），并且，求的值．

参考答案与解析
1．C
【详解】解：，
，．
故选C．
2．B
【详解】解：∵的半径为3，点到圆心的距离为4，
∴点到圆心的距离大于半径，
∴点在的外部，
故选：B．
3．A
【详解】解：∵1、2、2、5，若添加一个数据2，
∵1、2、2、5平均数为：，
1、2、2、5，2平均数为：，
∴平均数发生变化，
∵原数据中位数为：，现数据中位数也是，并未变化，
∵原数据众数为：，现数据中位数也是，并未变化，
∵原数据极差数为：，现数据极差也是，并未变化，
故选：A．
4．C
【详解】由抛物线与轴的交点个数，可得：，所以抛物线与x轴的交点个数为2个；
故选C．
5．D
【详解】解：过点作，
，
∵，，
∴，即：，
∵，
∴的面积为：，
故选：D．
6．B
【详解】解：连接，
，
∵在中，，Ⅰ是的内心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
7．
【详解】解：极差等于最高气温减去最低气温
故答案为：．
8．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
9．##
【详解】解：扇形的面积为
故答案为：．
10．12.4
【详解】解∶ 设宽为，
∵长为，
∴，解得：
故答案为：12.4．
11．160
【详解】解：依题意可得洞庭湖现有江豚数量约为．
故答案为：．
12．且
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，即：，
，解得：，
故答案为：且．
13．，
【详解】解：过点作轴，设点的坐标为，
，
∴，
∵抛物线与轴交于两点，
∴令，，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为1，
∴，
解得：，
∴点的坐标为：，，
故答案为：，．
14．##
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，即：，
∴与面积的比值为，
故答案为：．
15．
【详解】解：∵，
∴，
∴设，
∵是等腰直角三角形，
∴，是直角三角形，
∴，
则：，
∵，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∵的顶点与斜边的中点重合，
∴，
∵是的外角，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
解得：，
当时，（舍），
当时，，且，
故符合题意，
则：，，
∴，
∴，
∴的高，
∴，
∴的高，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【详解】解：连接，

∵，，，
∴，
由勾股定理得：，
∵，
∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，由勾股定理得：，
在上截取，
∵，
∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图，
连接，
∴当、、三点共线时，有最小值，
∴最小值为，
故答案为：．
17．（1），；
（2）1．
【详解】（1）解：，
，
解得，；
（2）解：原式
．
18．(1)83；85；
(2)在平均数、众数相同的情况下，九（2）班中位数更高，所以九（2）班了解情况更好；
或：在平均数、众数相同的情况下，九（2）班方差更小，成绩更加稳定，所以九（2）班了解情况更好．（回答一条理由即可）
【详解】（1）解：由题意得：，
，
前名同学的成绩的方差，
．
（2）解：在平均数、众数相同的情况下，九（2）班中位数更高，所以九（2）班了解情况更好；
或：在平均数、众数相同的情况下，九（2）班方差更小，成绩更加稳定，所以九（2）班了解情况更好．
19．(1)
(2)
【详解】（1）解：设小明恰好选取A景点为事件E，
根据题意知：；
（2）解：根据题意列表如下：
通过列表得知共有9种可能性，其中符合题意的可能性有3种，
∴设小明、小亮选取同一景点为事件D，
∴小明、小亮选取同一景点的概率．
20．教学楼的高度约米
【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，根据题意构造直角三角形是解题的关键．过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，根据三角函数进行求解．
【详解】解：如图，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点．
在中，，
，
，即，
在中，，
，
即，
答：教学楼的高度约米．
21．(1)详见解析
(2)详见解析
【详解】（1），，
，，
；
（2），
，
，且，
，
，
．
22．(1)；顶点
(2)
【详解】（1）解：将点，代入，得，
，
，
顶点；
（2）解：根据题意，得平移后的抛物线关系式为：，
将代入上式，得，
，，
，
．
23．(1)36；400；
(2)4
(3)3月，4月，5月
【详解】（1）解：根据题意：
将分别代入和中得：
，；
（2）解：根据题意列方程为：
，即：
，
整理得：，
∴，
答：该商场4月份销售该产品恰好盈利7200元；
（3）解：该商场盈利元，
根据题意得：，
根据题意令，即，
∴解得：，
∵当月盈利超过6400元，抛物线，
∴当时，当月盈利超过6400元，
综上所述：该商场3，4，5月份销售该产品当月盈利超过6400元．
24．(1)详见解析
(2)
(3)详见解析
【详解】（1）解：利用平行及等腰三角形性质，将平移至点作交于点，连接，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
作图如下所示；
；
（2）解：平分，平分，
，
是的直径，
是的切线，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，即，
；
（3）解：连接交于点，连接并延长交于点，作射线即为所求；
作图如下所示；
25．(1)
(2)
(3)见解析
【详解】（1）解：∵，点是抛物线上的一个动点，
∴，即：，
∴，
∵过点的直线交轴于点，交轴于点，
∴，
∴将点代入中，得：，即：，
∴，令，即：，
∴点的坐标为：；
（2）解：∵作直线交轴正半轴于点，
①当时，
∵轴，，
∴，即：，
∴，解得：（舍）或，
②当轴时，此时直线与轴无交点，
即：，
∴，解得：（舍）或，
综上所述：当时，；
（3）解：∵点是抛物线上的一个动点，
∴，
∴点，
∵过点的直线交轴于点，交轴于点，
∴将点代入中得：，
解得：，
∴直线解析式为：，
令，则，即：，
∵，
∴，
过点作，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴轴，
∴，
∴，
∴平分．
26．（1）①与相等；理由见解析；②；（2）详见解析；（3）
【详解】解：（1）①与相等．理由是：
如图，连接，

∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴．
②如图，连接，
∵，，，
∴根据勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
根据勾股定理得：；
（2）取的中点，连接交于，再连接，如图所示：

∵是的2倍，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上；
（3）在上取点，使，连接交于，如图所示：

∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
班级
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差（分）
九（1）
82
51.8
九（2）
82
84
85