[数学]重庆市西北狼教育联盟2024-2025学年高一上学期开学学业调研试题(解析版)

这是一份[数学]重庆市西北狼教育联盟2024-2025学年高一上学期开学学业调研试题(解析版)，共22页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分.）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的.
1. 下列四个数中，最小的数是（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B．
2. 下列图形中属于轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形.
故选：D.
3. 若反比例函数的图象经过点，则的值是（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】反比例函数的图象经过点，，解得.
故选：D．
4. 如图，两条平行线被第三条直线所截，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据两条平行线被第三条直线所截同位角相等，所以，
再根据对等角相等可知，所以.
故选：A.
5. 如图，与关于点位似，位似比为3：4，已知，则的长等于（ ）
A. 3B. C. D. 4
【答案】D
【解析】因为与关于点位似，位似比为3：4，所以，
又，所以.
故选：D.
6. 如图是用◆摆放而成的图案，其中第①个图中有2个◆，第②个图中有个◆，第③个图中有10个◆，第④个图中有个◆，……按此规律排列下去，则第⑦个图案中◆的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设第个图中有个◆，
由题有，，，，
按此规律有，
所以，，.
故选：C.
7. 估计的值在（ ）
A. 9和10之间 B. 10和11之间 C. 11和12之间 D. 12和13之间
【答案】B
【解析】，
∵，∴，∴，
即，∴的值在和之间．
故选：B．
8. 如图，在中，，以点为圆心，为半径画弧与交于点，以点为圆心，以为半径画弧与交于点.若，则图中阴影部分面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，连接，
在中，，，
，，
是等边三角形，，
.
故选：C.
9. 如图，在正方形中，点分别是和边的中点，连接交于点，连接和，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】延长交于，如图：
因为四边形是正方形，则，
又因为是中点，则，
可得，则，
因为，即，
可得，
且，
可得，则，即，
可知为斜边上的中线，则，可得，
因为，则，
所以.
故选：A．
10. 已知两个整式，用整式与整式求和后得到整式，称为第一次操作；将第一次操作的结果加上结果记为，称为第二次操作；将第二次操作的结果加上，结果记为，称为第三次操作；将第三次操作的结果，加上，结果记为，称为第四次操作，…，以此类推.以下四个说法正确的个数是（ ）
①当时，则第5次操作的结果；
②当时，则有；
③；
④当时，.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】对于①中，由，
，
，
，
当时，可得，所以①正确；
对于②中，由①归纳可得，第次操作的结果为，
所以，
当时，可得，
所以，所以②正确；
对于③中，由，
可得，所以③正确；
对于④中，当时，可得，
所以，
则
，所以，所以④正确.
故选：D.
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分.）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上
11. 计算：______.
【答案】
【解析】原式==.
12. 如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为__________.
【答案】8
【解析】.
13. 重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源.甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从四个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人恰好选择同一景点的概率为______.
【答案】
【解析】甲、乙选择的景点可能为：
共16种可能；
甲、乙两人恰好选择同一景点的可能为共4种可能；
因此甲、乙两人恰好选择同一景点的概率为.
14. 重庆在低空经济领域实现了新的突破，某低空飞行航线今年第一季度安全运行了100架次，预计第三季度安全运行将达到400架次.该低空飞行航线这两季度安全运行架次的平均增长率是______.
【答案】
【解析】设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，
由题意得，，解得x=1（舍负），
所以第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为.
15. 如图，在中，点分别是的中点，与相交于点，若，则的长是__________.
【答案】
【解析】由于点分别是的中点，所以,
所以，所以.
16. 若关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值的和是______.
【答案】
【解析】化简不等式组可得：，即，
由于至少有3个整数解，可得：，解得：.
化简分式方程可得：，
由于分式方程有非负整数解，可得：，
解得：且.
综上，且.
故满足条件整数的值有：，，，，，0，1，2，3，4共10个，
和为.
17. 如图，已知，角的一边与相切于点，另一边交于两点，于，的半径为，则__________，__________.
【答案】
【解析】因为的半径为，，
所以.
如图，作交于，连接，作于点，
则，所以为等腰直角三角形，
因为为切线，所以，得到，所以，
由，知，得到，
所以，得到.
18. 若一个四位自然数，它的各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称为“启明数”.把启明数的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数.规定.例如：是“启明数”.则.若“启明数”，则______.已知四位自然数是“启明数”，（，且均为正整数），若恰好能被7整除，则满足条件的数的最大值是______.
【答案】12 3253
【解析】第一空：，则
第二空：
因为，且均为正整数，所以当恰好能被7整除时，
此时为了使取最大值，又
当时，不成立，
当可以被整除.故为：
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分.）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19. 计算：
（1）；
（2）.
解：（1）.
（2）.
20. 随着新能源电动汽车的推广，人们对电动汽车的电池续航能力非常关注.某店为了解车主对甲､乙两款电动汽车电池续航能力的满意程度，从该店销售的甲､乙两款车中各随机抽取10名车主对其所使用车辆的电池续航能力进行评分（单位：分），并对数据进行整理､描述和分析（评分用表示，共分为三组：），下面给出了部分信息：
甲款电动汽车10名车主的评分是：.
乙款电动汽车10名车主的评分在组的数据是：.
抽取的甲、乙两款电动汽车车主的评分统计表
抽取的乙款电动汽车车主的评分扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中__________，__________，__________；
（2）根据以上数据，你认为哪款电动汽车的电池续航能力的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该店甲款电动汽车的车主有600人，乙款电动汽车的车主有400人.若评分不低于90分为“非常满意”，估计这些车主中对其所使用车辆的电池续航能力“非常满意”的总共有多少人？
解：（1）从甲款电动汽车10名车主的评分数据中，80出现的次数最多，故众数为80，
即，
乙款电动汽车车主的评分扇形统计图中A组占，B组占，
C组占，所以，
所以A组有两个最大的数据，同时B组的数据有5个是：85，85，85，80，80，
所以最中间的数为85，80，
所以中位数为，
即.
（2）乙款电动汽车的电池续航能力的满意度更好，理由如下：
甲款和乙款的平均数相等，但乙款的众数和中位数都比甲款的大，所以乙款的满意度更好.
（3）甲款电动汽车的车主“非常满意”的有两人，占比为，
乙款电动汽车的车主“非常满意”的占比为，
所以满足题意的总人数为：（人）．
21. 小南在学习矩形的判定之后，想继续研究判定一个平行四边形是矩形的方法，他的想法是作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边相交，如果这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则可论证该平行四边形是矩形.
（1）用直尺和圆规，作射线平分交于点；
（2）已知：如图，在平行四边形中，平分交于点平分交于点，且.求证：平行四边形是矩形.
证明：分别平分，
四边形为平行四边形，__________①，
，
__________②，
，，
在和中，，
，
，
__________③.
平行四边形是矩形.
小南再进一步研究发现，若这组邻角的角平分线与公共边的对边延长线相交，结论仍然成立.因此，小南得出结论：作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边（或对边延长线）相交，若这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则__________④.
解：（1）以为圆心，为半径画圆，交于，连接即可.
（2）证明：分别平分，
四边形为平行四边形，，
，
，
，，
在和中，，
，
，
平行四边形是矩形.
小南再进一步研究发现，若这组邻角的角平分线与公共边的对边延长线相交，结论仍然成立.因此，小南得出结论：作平行四边形两相邻内角的角平分线，与两内角公共边的对边（或对边延长线）相交，若这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等，则平行四边形是矩形.
22. 某汽车工厂现有一批汽车配件订单需交付，若全部由1个工人生产需要150天才能完成.为了快速完成生产任务，现计划由一部分工人先生产3天，然后增加6名工人与他们一起再生产5天就能完成这批订单的生产任务.假设每名工人的工作效率相同.
（1）前3天应先安排多少名工人生产？
（2）增加6名工人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产600个A型配件或650个B型配件，如果3个A型配件和2个B型配件配套组成一个零件系统，要使每天生产的A型和B型配件刚好配套，应安排生产A型配件和B型配件的工人各多少名？
解：（1）设前3天应先安排x名工人生产，每名工人的工作效率为a，
根据题意得，即，解得，
故前3天应先安排15名工人生产.
（2）设应安排y名工人生产A型配件，则安排名工人生产B型配件，
由题意得，解得，则，
所以应安排生产A型配件的工人13名，生产B型配件的工人8名.
23. 如图1，中，在线段上，且.动点从点出发，以每秒2.5个单位长度的速度沿折线运动.动点从点出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿折线运动，点同时从点出发，当点运动到点时，两点同时停止运动.设点的运动时间为秒，点的距离为.
（1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；
（2）若函数，请在图2的平面直角坐标系中分别画出函数的图象，并根据图象写出函数的一条性质；
（3）根据函数图象，直接估计当时取值（结果保留1位小数，误差不超过0.2）.
解：（1）∵中，，，，∴，
∵，则，
∴，即当点运动到点时，点运动到点，
当时，，
当时，，，
，，∴，
∵，∴，
∴，即，整理得：，
综上分析，关于的函数表达式为.
（2）函数的性质：当时，随增大而增大，
当时，随的增大而减小.
（3）由图象可知，当时，或.
24. 六一儿童节快到了，阳光大草坪举行露营活动，如图为草坪的平面示意图.入口在点，露营基地在点.经勘测，入口在点的正北方向，点在入口的南偏东方向处，且在点的正东方向，点在点的东北方向，点在点的北偏东方向处，且在点的正南方向.（参考数据）
（1）求的长度（结果保留根号）；
（2）小聪从入口A处进入前往露营基地点.小聪可以选择鹅卵石步道①，步行速度为50米/分，也可以选择塑胶步道②，步行速度为60米/分，请通过计算说明他选择哪一条步道所用时间较少？请通过计算说明.
解：（1）在中，因为，，所以，
在中，因为，所以，
，所以，
因为，，
所以，.
（2）因为，
，
则选择鹅卵石步道①的长度为
，
所以选择鹅卵石步道①的时间为分，
选择塑胶步道②的长度为，
所以选择塑胶步道②的时间为分，
，
所以选择塑胶步道②所用的时间较少.
25. 在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在直线下方的抛物线上有一点，作轴交于点，作于，求的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在轴的正半轴上有一点，在新抛物线上是否存在点，使得？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由.
解：（1）将点代入，
得，解得，
所以抛物线的解析式为.
（2）延长交于点，由轴，得，
当时，，即，，
因为，所以，则，
由，得，即.
设直线的解析式为，则，解得，
所以直线的解析式为；
设直线的解析式为，则，解得，
所以直线的解析式为.
设，则，
所以，，
所以，
当时，有最大值，此时.
（3）存在点，使得.理由如下：
因为抛物线沿射线方向平移个单位长度，
所以抛物线向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，则，
在上取一点，使得，过作于，过作轴于，
所以，又，
所以为等腰三角形，故，则，
在中，由等面积可得，得，
所以，则，
由题设，所以.
设且m>0，则，解得或（舍）
点关于轴对称的点，则，此时的横坐标为.
综上，点的横坐标为或.
26. 在中，为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接与相交于点.
（1）如图1，若为的中点，，连接，求线段的长；
（2）如图2，是线段延长线上一点，在线段上，连接，若，，证明；
（3）如图3，若为等边三角形，，点为线段上一点，且，点是直线上的动点，连接，请直接写出当最小时的面积.
解：（1）因为为的中点，，
所以，由勾股定理得，
作，交于，如图：
由题意可知，，所以，
所以，又，所以，
所以，则，
由勾股定理得.
（2）由旋转可知，为等腰直角三角形，
所以，因为，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
在和中，，所以，
所以，则，
因为，所以，即，
所以，又因为，又，
所以，所以，
作，交延长线于H，连接HG，如图，
所以为等腰直角三角形，所以，
因为，所以，所以四边形是平行四边形，
所以，即，所以.
（3）作，交于H，因为为等边三角形，
所以，平分，则，
将BC绕点B逆时针旋转，则，，
所以，所以，
所以，且，
所以，作点M关于BC的对称点N，连接，如图，
由对称易知，，，，所以，
当最小时，即最小，也即在同一直线，且，如图，
作，交于T，则，
所以，因为，
所以，所以四边形为矩形，
则，，即，
由轴对称可知，所以为等边三角形，则，
因为，所以，，
所以，得，
因为，所以QH为NE与AC之间的距离，所以，
即的高为，所以，
所以.车型
平均数
中位数
众数
甲
83
80
乙
83
85