[数学][期末]山东省济南市章丘区2023-2024学年七年级下学期期末试题(解析版)

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、，原选项计算错误；
B、，原选项计算错误；
C、，正确；
D、，原选项计算错误；
故选：C．
2. 刘禹锡有诗曰：“庭前芍药妖无格，池上芙蕖净少情，唯有牡丹真国色，花开时节动京城．”紫斑牡丹为国家重点一级保护野生植物，在显微镜下可见其花粉粒类圆形或椭圆形，直径为，其中，数据“”换算成米用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】；
故选：B．
3. 以下是一些博物馆的徽标（），下列图案中除文字以外其余的部分是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、B、D选项都不是轴对称图形，C选项是轴对称图形，
故选：C．
4. 如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，分别过点D、E作的平行线，
∵，，
∴，
∴，，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故选：D．
5. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ）
A. 画饼充饥B. 不期而遇C. 水涨船高D. 水中捞月
【答案】B
【解析】A．画饼充饥是不可能事件；
B．不期而遇时随机事件；
C．水涨船高时必然事件；
D．水中捞月是不可能事件；
故选：B．
6. 已知等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则这个三角形的周长为( )
A. 13cm或17cmB. 17cmC. 13cmD. 不确定
【答案】B
【解析】由题意可知，等腰三角形的三条边分别为3cm，3cm，7cm或3cm，7cm，7cm，
当三边分别为3cm，3cm，7cm时，，不满足三边关系，舍去；
当三边分别为3cm，7cm，7cm时，满足三边关系，则周长为=17cm，
故选：B.
7. 甲、乙两人骑车从学校出发，先上坡到距学校6千米的A地，再下坡到距学校16 千米的B地，甲、乙两人行程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．若甲、乙两人同时从B地按原路返回到学校，返回时，甲和乙上、下坡的速度仍保持不变，则下列结论：①乙往返行程中的平均速度相同；②乙从学校出发45 分钟后追上甲；③乙从B地返回到学校用时1小时18分钟；④甲、乙返回时在下坡路段相遇．其中正确的结论有（ ）
A. ②③④B. ②③C. ①②④D. ①④
【答案】A
【解析】由图象可知，甲上坡和下坡的速度相同，均为（千米/小时），
乙上坡速度为：（千米/小时），下坡速度为：（千米/小时），
∵往返时上下坡的长度不同，
∴乙往返时所用时间不同，
∴乙往返行程中的平均速度不相同，故①错误；
当乙从学校出发追上甲时：，解得：，即：所用时间为分钟，故②正确；
乙从地返回学校所用时间为：（小时），即1小时18分钟；故③正确；
甲乙返回时，上坡时甲的速度大于乙的速度，两人的距离越来越大，下坡时，乙的速度大于甲的速度，
∵甲的速度不变，故返回所用总时间仍为时，即1小时20分钟，乙返回时间为1小时18分钟；
∴甲、乙返回时在下坡路段相遇，故④正确；
故选：A．
8. 如图，的面积为36，，点D为边上一点，过点D分别作于E，于F，若，则长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】B
【解析】连接，
∵于E，于F，
∴，
∵的面积为36，，，
∴，
∴．
9. 如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在中，，，
，
由作图可知，平分，垂直平分，
，，
，
，
故选：C．
10. 如图，在长方形中，，动点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，到点C停止；同时动点Q从点B出发，以每秒的速度在B、C间做往复运动，当点P到达终点C时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间是x（秒），则下列结论不正确的是（ ）
A. 点Q运动时间为16秒B. 的长表示为或
C. 当或或时，P、Q两点相遇D. 或
【答案】D
【解析】点Q运动时间为（秒），故A选项正确；
当时，点P在上运动，
∴；；
当时，点P在上运动，
∴；；
故B选项正确，D选项错误；
当P与Q第一次相遇时，根据题意，得，解得：；
当P与Q第二次相遇时，根据题意，得，解得：；
当P与Q第三次相遇时，根据题意，得，解得：；
综上，当或14或时，P、Q两点相遇．故C选项正确；
故选：D．
二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11. 若，互余，则___．
【答案】
【解析】，互余，则；
故答案为：．
12. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______．
【答案】
【解析】由图可知，总面积为9个小正方形的面积，其中阴影区域的面积为3个小正方形的面积，则小球停留在阴影区域的概率是，
故答案为：．
13. 下表给出了距离地面高度与所在位置的温度之间的大致关系，
h表示距离地面的高度，用y表示表示温度，则y与h的之间的关系式是：___．
【答案】
【解析】根据表格可知，每升高1千米，气温下降，
∴；
故答案为：．
14. 在草原上有两条交叉且笔直的公路、，在两条公路之间的点P处有一个草场，如图，，．现在在两条公路上各有一户牧民在移动放牧，分别记为M、N，若存在M、N使得的周长最小，则周长的最小值是___．
【答案】
【解析】如图，作点P关于直线的对称点C，作点P关于直线的对称点D，连接，分别交、于点M、N，
则，，
∴的周长的最小值为，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的周长的最小值为6.5．
故答案为：6.5．
15. 如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿、折叠至点N，M，P，K处，若，则的度数为___．
【答案】或
【解析】①如图，在上方时，
延长，相交于Q点，
由折叠知：，，
，
，
，
，
，
，，
，
由折叠知：，
，
，
；
②如图，在下方时，
延长，交于Q点，
由折叠知：，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，，
，
由折叠知：，
，
．
故答案为：或
三．解答题（本大题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）若规定，已知，，求的值．
解：（1）原式；
（2）由题意，得：，
∵，，
∴原式．
17. 先化简，再求值：，其中．
解：

∴原式
18. 如图所示，于点，于点，，．求证：．
证明：，，
（ ）
（ ）
（ ）
，
（ ）
）
，
（ ）
（ ）
证明：，，
（垂直定义），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）
，
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行），
，
（内错角相等，两直线平行），
（平行于同一直线的两直线互相平行）．
19. “五一”期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有抽奖机会抽奖方式：一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球的倍多个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是，摸中白球中一等奖，摸中红球中二等奖，摸中黄球不中奖．
（1）求袋中红球的个数；
（2）求从袋中摸出一个球是白球的概率；
（3）取走个球（其中没有红球），求从剩余球中摸出红球的概率；
（4）若“五一”期间有人参与抽奖活动，估计获得一等奖人数是多少?
解：（1）红球的个数为： （个）；
（2）设白球有个，则黄球有个，
根据题意得：，
解得：，
摸出一个球是白球的概率为：；
（3）取走个球后，还剩个球，其中红球的个数没有变化，
从剩余的球中摸出一个球是红球的概率是；
（4）获得一等奖的人数：（人）．
20. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：与全等，理由见解析；任务2：
【解析】任务1：由题意，得，，，，，
∴，
又，
∴，
在与中
，
∴；
任务2：∵，
∴，
∴，
即小丽距离地面有高．
21. 如图，已知三角形ABC的位置如图所示，请完成下列各题：

（1）在图中画出关于x轴对称的（点A、B、C的对称点分别为）；
（2）在y轴上找一点Q，使得的周长最短，在图中标记出点Q的位置；
（3）已知P为y轴上一点，若的面积为4，请直接在图中标出点P的坐标，
解：（1）如图，即所求；
（2）如图，点Q即为所求；
（3）∵，
∴，
∴或，
如图，点即为所求；

22. 某同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点B在上，点A和D分别与木墙的顶端重合．
（1）求两堵木墙之间的距离．
（2）如图2，，，点D在线段上，连接，作，交线段于点E，当线段时，请证明．
解：（1）由题意，得：，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
答：两堵木墙之间的距离为；
（2）证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴．
23. 在学习《完全平方公式》时，某数学学习小组发现：已知，，可以在不求a、b的值的情况下，求出的值．具体做法如下：．
（1）若，，则 ．
（2）若满足，求的值．同样可以应用上述方法解决问题，具体操作如下：
解：设，，
则，，
所以．
请参照上述方法解决下列问题：若，求的值；
（3）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为2，请求出图1的阴影部分面积．
解：（1），
故答案为：33；
（2）设，
则，
所以；
（3）设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则，
∴，
∴，
∵点H为的中点，
∴，
∵图2的阴影部分面积，
∴，
∴，
∴图1的阴影部分面积
．
24. 【阅读材料】
小明同学发现一个规律：两个共顶点且顶角相等的等腰三角形，底角顶点连起来，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手模型”．

【材料理解】（1）如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ．
【深入研究】（2）如图2，与都是等腰三角形，，，且，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
【深化模型】（3）如图3，，，求证：
解：（1）∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；；
（2），，理由如下：
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
（3）证明如图，作，，连接，

∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴D、C、H三点共线，
∴，
∵，
∴，又，，
∴，
∴，
∴．
25. 【方法学习】
数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：
如图1，在中，，，边上的中线的取值范围．
小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1），
①延长到，使得；
②连接，通过三角形全等把、、转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（1）如图1，请写出的取值范围是 ．
（2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：；
【问题拓展】
（3）如图3，在四边形中，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．
解：（1）由题意知，，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
故答案为：；
（2）证明：如图，延长到点P，使，连接，
∵E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵与互补，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3），
理由如下：如图③，延长至点H，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∵
∴．
距离地面高度（千米）
所在位置的温度（℃）
荡秋千问题
素材1
如图1，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．
素材2
如图2，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．
问题解决
任务1
与全等吗？请说明理由；
任务2
当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？