2024年湖南省初中学业水平考试中考模拟数学试卷（二）

这是一份2024年湖南省初中学业水平考试中考模拟数学试卷（二），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的绝对值是（ ）
A．2024B．C．D．
2．2023年10月25日，湖南省统计局发布最新数据称，全省经济运行呈现“逐月好转、仍有波动、稳中有进、进中提质”发展态势．根据地区生产总值统一核算结果，前三季度，全省地区生产总值36953.37亿元，同比增长4%．请将36953.37亿用科学记数法表示（ ）
A．B．
C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．据有关消息，截至2023年10月，全球有10个国家的奥委会有兴趣主办2036年夏季奥运会．而在中国就有12个城市有意申报举办2036年夏季奥运会．在电子时钟显示的2036四个数字中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．函数解析式为B．蓄电池的电压是18V
C．当时，D．当时，
6．如图，将一个含角的直角三角板按如图所示的位置摆放在直尺上．若，则的度数为（ ）

A．B．C． D．
7．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C． D．
8．在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将5个标有“北斗”，2个标有“天眼”，3个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ）
A．摸出“北斗”小球的可能性最大B．摸出“天眼”小球的可能性最大
C．摸出“高铁”小球的可能性最大D．摸出三种小球的可能性相同
9．常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准确的数据．的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是．．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是．太阳到地球的平均距离大约为千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为（ ）
A．24.24千米B．72.72千米C．242.4千米D．727.2千米
10．如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
11．因式分解： ．
12．如图是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了数字．若多面体的底面是面③，则多面体的上面是面 ．（填数字序号）

13．年10月日晚，全国和美乡村篮球大赛——“村”总决赛在贵州省台江县台盘村落下帷幕．随着村篮球赛的火遍全国，某班名学生参加定点投篮比赛，每人投篮10次，投中的次数统计如下：．这组数据的中位数和众数分别是 ， ．
14．关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ．
15．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于．若，，则的长为 ．

16．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，例如图（）就是一个幻方，图（）是一个未完成的幻方，则与的积是 ．
三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在中，．

(1)尺规作图：
①作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O；
②在直线上截取，使，连接．（保留作图痕迹）
(2)猜想证明：作图所得的四边形是否为菱形？并说明理由．
20．年5月日点分，袁隆平在湖南长沙逝世；年月3日，袁隆平科研团队培育的超级稻在徐州试种取得成功；超级稻“利两优”完亩产达到750公斤．如图，为该科研团队为了解试验田杂交水稻秧苗的长势，从中随机抽取样本对苗高进行了测量，根据统计结果（数据四舍五入取整），绘制统计图．
(1)本次抽取的样本水稻秧苗为______株；
(2)求出样本中苗高为的秧苗的株数，并完成折线统计图；
(3)根据统计数据，若苗高大于或等于视为优良秧苗，请你估算该试验田株水稻秧苗中达到优良等级的株数．
21．已知：如图，矩形的对角线相交于点O，．

（1）求矩形对角线的长．
（2）过O作于点E，连结BE．记，求的值．
22．【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．

【方案设计】
目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
(3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任务二：确定刻线的位置．
(4)根据任务一，求y关于m的函数解析式；
(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
23．如图，在正方形中，线段绕点C逆时针旋转到处，旋转角为，点F在直线上，且，连接．
(1)如图1，当时，求证：．
(2)如图2，取线段的中点G，连接，已知，请直接写出在线段旋转过程中（）面积的最大值．
24．如图，内接于，AB是的直径，，于点，DE交于点，交AB于点，，连接BD．

(1)求证：是的切线；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)当时，求的长．
25．规定：若函数的图像与函数的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．
(1)下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是________（填写序号）；
(2)若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标．
①求实数a的值；
②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是________、________；
(3)若函数（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，求的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义解答即可．
【详解】解：的绝对值是2024，
故选：A．
2．D
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此解答即可．
【详解】解： 36953.37亿．
故选：D．
3．C
【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，幂的乘方，合并同类项的法则，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算错误，不符合题意；
C、，原选项计算正确，符合题意；
D、不能合并，原选项计算错误，不符合题意；
故选C．
4．A
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
5．C
【分析】将将代入求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C．
【详解】解：设，将代入可得，故A错误；
∴蓄电池的电压是36V，故B错误；
当时，，该项正确；
当当时，，故D错误，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
6．C
【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
由平角的定义可得，由平行线的性质可得．
【详解】如图，
，
，
∵直尺的对边平行，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质，进行计算即可解答，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8．A
【分析】本题考查的是可能性的大小，根据题意求出摸出各种小球的概率是解题的关键．
分别求出摸出三种小球的概率，再比较大小即可．
【详解】解：有5个标有“北斗”，2个标有“天眼”，3个标有“高铁”的小球，
小红从盒中随机摸出1个小球，摸出标有“北斗”的概率是；
摸出标有“天眼”的概率是；
摸出标有“高铁”的概率是，
，
摸出标有“北斗”小球的可能性最大．
故选：A．
9．D
【分析】设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为x毫米，根据顶角相等的两等腰三角形相似，相似三角形的对应边成比例，可列出方程，求解即可．
【详解】解：设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为x毫米，根据题意，得
解得：
∴等腰三角形底边长为毫米千米．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据相似三角形判定与性质列出方程是解题的关键，注意单位换算．
10．C
【分析】连接，BD，作交CD于点，首先根据勾股定理求出的长度，然后利用解直角三角形求出BD、CD的长度，进而得到是等边三角形，，然后根据30°角直角三角形的性质求出的长度，最后根据进行计算即可．
【详解】解：如图所示，连接，BD，作交CD于点

∵在中，，，，
∴，
∵点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，
∴是半圆的直径，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了30°角直角三角形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，扇形面积，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
11．
【分析】本题主要考查提公因式因式分解以及公式法因式分解，熟知完全平方公式的结构特点是解题关键．
先提取公因式，然后运用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
12．⑤
【分析】本题考查了长方体的表面展开图，根据底面与多面体的上面是相对面，则形状相等，间隔1个长方形，且没有公共顶点，即可求解．
【详解】解：依题意，多面体的底面是面③，则多面体的上面是面⑤，
故答案为：⑤.
13．
【分析】本题考查了中位数和众数，根据中位数和众数的定义即可求解，掌握中位数和众数的定义是解题的关键．
【详解】解：把数据按照由小到大的顺序排列为；，
∴中位数为，
∵数据中，出现的次数最多，
∴众数为，
故答案为：，．
14．且
【分析】解分式方程，可用表示，再根据题意得到关于的一元一次不等式即可解答．
【详解】解：解，可得，
的方程的解为非负数，
，
解得，
，
，
即，
的取值范围是且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求值，注意分式方程无解的情况是解题的关键．
15．
【分析】先由垂径定理得到，再由勾股定理建立方程，解得，再解直角三角形得到，则，再由弧长公式求解即可．
【详解】解：，
，
在中，由勾股定理，
又，
，
，
解得：，
，
，
，
的长，
公路的转弯处的长为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，求弧长，解直角三角形，正确求出，是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意得每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，
∴最左下角的数为：，
则最中间的数为： 或，
最右下角的数为：或，
∴，
解得：，
∴与的积为，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂，二次根式的性质化简，特殊角的三角函数值进行计算即可求解．先计算零次幂，代入特殊角的三角函数值，化简二次根式，计算零次幂，再合并即可．
【详解】解：原式．
18．；
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，再根据30度角的正弦值为求出，最后代值计算即可．
【详解】解：
当时，原式．
19．(1)①见解析；②见解析
(2)四边形是菱形，见解析
【分析】（1）①根据垂直平分线的画法作图；②以点O为圆心，为半径作圆，交于点E，连线即可；
（2）根据菱形的判定定理证明即可．
【详解】（1）①如图：直线即为所求；
②如图，即为所求；
；
（2）四边形是菱形，理由如下：
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】此题考查了基本作图－线段垂直平分线，截取线段，菱形的判定定理，熟练掌握基本作图方法及菱形的判定定理是解题的关键．
20．(1)
(2)本次抽取的样本水稻秧苗为株，补全折线统计图见解析
(3)估算该试验田株水稻秧苗中达到优良等级的株数有株
【分析】本题主要考查扇形统计图和折线统计图，样本估计总体，准确找出相关数据，是解题的关键．
（1）用的水稻株数对应的百分数，即可求解；
（2）求出和的水稻株数，进而可补全统计图；
（3）用优良等级的百分比，即可求解．
【详解】（1）本次抽取的样本水稻秧苗为：（株）；
（2）苗高为的秧苗的株数有（株），
苗高为的秧苗的株数有（株），
补全统计图如下：
（3）（株），
答：估算该试验田株水稻秧苗中达到优良等级的株数有株．
21．（1）4；（2）
【分析】（1）根据矩形对角线的性质，得出△ABO是等腰三角形，且∠BOC=120°，即∠AOB=60°，则△ABO为等边三角形，即可求得对角线的长；
（2）首先根据勾股定理求出AD，再由矩形的对角线的性质得出OA=OD,且OE⊥AD，则AE=AD，在Rt△ABE中即可求得．
【详解】解：（1）∵四边形是矩形
，
是等边三角形，
，
所以．
故答案为：4．
（2）在矩形中，．
由（1）得，．
又
在中，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的对角线性质，等边三角形的判定，等腰三角形的三线合一以及在直角三角形中求锐角正切的知识点，灵活应用矩形对角线的性质是解题的关键．
22．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)相邻刻线间的距离为5厘米
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据题意可直接代值求解；
（3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解；
（4）根据（3）可进行求解；
（5）分别把，，，，，，，，，，代入求解，然后问题可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
∴，
∴；
（2）解：由题意得：，
∴，
∴；
（3）解：由（1）（2）可得：，
解得：；
（4）解：由任务一可知：，
∴，
∴；
（5）解：由（4）可知，
∴当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；
∴相邻刻线间的距离为5厘米．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意．
23．(1)见解析
(2)面积的最大值为
【分析】（1）连接，计算得到，利用证明，推出是等腰直角三角形，据此即可证明；
（2）过点作的垂直，交直线于点，连接，相交于点，连接，利用直角三角形的性质推出点在以点为圆心，为半径的一段弧上，得到当点、、在同一直线上时，有最大值，则面积的最大值，据此求解即可．
【详解】（1）解：连接．
，
，
，
，
，．
，
是等腰直角三角形，
；
（2）解：过点作的垂线，交直线于点，连接，相交于点，，连接，
由（1）得是等腰直角三角形，又点为斜边的中点，
，即，
四边形是正方形，
．
，
点在以点为圆心，为半径的一段弧上，
当点、、在同一直线上时，有最大值，则面积的最大值，
．
面积的最大值为．
【点睛】本题考查的是正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)是等腰三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，根据已知得出，根据得出，进而根据对等角相等，以及三角形内角和定理可得，即可得证；
（2）根据题意得出，则，证明，得出，等量代换得出，即可得出结论；
（3）根据，，设，则，等边对等角得出，则．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
即，又AB是的直径，
∴是的切线；
（2）∵，AB是的直径，
∴，，
∴，
∵，，
∵，
∴，
又，
∴，
∴是等腰三角形，
（3）∵，，
设，则，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
25．(1)②
(2)；、
(3)
【分析】（1）在平面直角坐标系中作出；；；图像，结合“兄弟函数”定义即可得到答案；
（2）①根据“兄弟函数”定义，当时，求出值，列方程求解即可得到答案；②联立方程组求解即可得到答案；
（3）根据“兄弟函数”定义，联立方程组，分类讨论，由，按照讨论结果求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：作出；；；图像，如图所示：
与图像有三个不同的公共点，
根据“兄弟函数”定义，与二次函数互为“兄弟函数”的是②，
故答案为：②；
（2）解：①函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标，
，则，解得；
②联立，即，
是其中一个解，
因式分解得，则，解得，
另外两个“兄弟点”的横坐标是、；
（3）解：在平面直角坐标系中作出（m为常数）与图像，如图所示：

联立 ，即，
①当时，，即，当时，；
②当时，，即，由①中，则，；
由图可知，两个函数的交点只能在第二象限，从而，再根据三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，
，，，

，
由得到，即．
【点睛】本题考查函数综合，涉及新定义函数，搞懂题意，按照“兄弟函数”、“兄弟点”定义数形结合是解决问题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
A
C
C
C
A
D
C