湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高二上学期10月第一次月考数学试题

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时量：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先分别求出集合，再根据并集的运算求解．
【详解】∵集合，
，
∴．
故选:B．
2. 已知复数，则的虚部是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数运算求得，根据虚部定义求得结果.
【详解】 ，∴z的虚部为：2
故选：A
3. 已知向量，，则“，的夹角为锐角”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】若，的夹角为锐角，则且，不同向，可得且，
故“，的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件．
故选：A
4. 已知a，b为两条不同的直线，α为平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若a⊥α，a⊥b，则b//αB. 若a//α，a⊥b，则b⊥α
C. 若a//α，b//α，则a//bD. 若a⊥α，a//b，则b⊥α
【答案】D
【解析】
【分析】根据线线，线面的位置关系，定义以及判断定理，性质定理，即可求解.
【详解】对于A，若a⊥α，a⊥b，则b//α或b⊂α，故A错误；
对于B，若a//α，a⊥b，则b//α或b⊂α，或b与α相交，故B错误；
对于C，若a//α，b//α，则a与b相交、平行或异面，故C错误；
对于D，若a⊥α，a//b，则由直线与平面垂直的判定定理知b⊥α，故D正确．
故选：D．
5. 在中，，M是边的中点，O为的外心，则（ ）
A. 8B. C. 16D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可将向量数量积转化到向量上去，再代入数据即可计算得出结论.
【详解】由题意，取的中点为，连接，如下图所示：

易知，；
可得，
又，同理；
所以
故选：B
6. 已知则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设，则，则化简，由余弦的二倍角公式可得答案.
【详解】设，则，
从而.
故选：D
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数中知值求值的问题，解答本题的关键是设，然后可得，属于中档题.
7. 在平面中，过定点作一直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设直线的截距式，再根据面积公式结合基本不等式求解最小值即可
【详解】易得直线不经过原点，故设直线的方程为，因为直线过定点，
故，所以，故.当时等号成立
故
故选：C
8. 已知函数的定义域均为，且为偶函数，函数满足，对于，均有，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据可知是以6为周期的函数，则，根据函数的对称性可得.由可得.
结合、计算求出和即可.
详解】，
两式相减，得，所以函数是周期函数，周期，
有.
因为为偶函数，图象关于y轴对称，
将的图象上的点横坐标扩大3倍，纵坐标不变，得，图象关于y轴对称，
再向左平移一个单位长度，得，图象关于对称，
有.
又，令，则，即.
当时，，
则①，，
所以，即②，
由①②，得，解得，所以，
又，所以.
故选：A.
【点睛】方法定睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分.
9. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 事件A与事件B互斥
C. 事件A与事件B相互独立D.
【答案】CD
【解析】
【分析】A.利用古典概型的概率求解判断；B.利用互斥事件的定义判断；C.利用独立事件的概率求解判断；D.利用并事件的概率求解判断.
【详解】解：依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有1，2，3，4四个基本事件，
则，A不正确：
事件B含有的基本事件有8个：，，，，，，，，
其中事件，，，发生时，事件A也发生，即事件A，B可以同时发生，B不正确；
抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有16个，，，即事件A与事件B相互独立，C正确；
，D正确.
故选：CD.
10. 如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图（2），（单位：m）表示在时间（单位：s）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.轨道最高点距离地平面50m.最低点距离地平面10m.入口处距离地平面20m.当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点.设，下列结论正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为12
B.
C. 时，过山车距离地平面40m
D. 一个周期内过山车距离地平面低于20m的时间是4s
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意抽象出函数最值，列式求，根据周期求，最后根据求，再根据函数的解析式判断CD.
【详解】由题意可知，周期满足，得，
所以，得，又，解得，.
所以，又，即，得，因为，所以，所以.
对于A，，A正确；对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，由，得，即，，，解得，，
所以一个周期内过山车距离底面低于20m的时间是，D正确.
故选：ACD.
11. 已知圆和圆相交于、两点，下列说法正确的为（ ）
A. 两圆有两条公切线B. 直线的方程为
C. 线段的长为D. 圆上点，圆上点，的最大值为
【答案】AD
【解析】
【分析】
由圆与圆相交可判断A；两圆方程作差可判断B；利用垂径定理可判断C；转化为圆心间的距离可判断D.
【详解】对于A，因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A正确；
对于B，因为圆，圆，
两圆作差得即，
所以直线的方程为，故B错误；
对于C，圆的圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离，
所以，故C错误；
对于D，圆的圆心，半径为1，
所以，故D正确.
故选：AD.
12. 如图，若正方体的棱长为，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）

A. 沿正方体的表面从点到点的最短路程为
B. 过三点作正方体的截面，则截面面积为
C. 三棱锥的体积最大值为
D. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为
【答案】ACD
【解析】
【分析】作出正方体相邻两个侧面的展开图，对比线段的长度即可得到最短路程，知A正确；作出截面，由矩形面积公式可求得B错误；利用体积桥可知当与重合时，体积最大，利用割补法可求得C正确；分析可知点轨迹是以中点为圆心，为半径的圆在正方形内的部分，结合扇形弧长公式可求得D正确.
【详解】对于A，将侧面和侧面沿展成平面，如下图所示，

此时；
将底面和侧面沿展成平面，如下图所示，

此时；
，沿正方体表面从点到点的最短路程为，A正确；
对于B，取中点，连接，
，四点共面，
则过三点作正方体的截面，截面即为四边形，如下图阴影部分所示，

平面，平面，，
，，四边形为矩形，
又，，，B错误；
对于C，，为定值，
当点到平面距离最大时，取得最大值，
又点为侧面（含边界）上的一个动点，
当点与点重合时，点到平面距离最大，

，C正确；
对于D，若，则点在以为球心，为半径的球面上，
取中点，则，，

点的轨迹是以为圆心，为半径的圆在正方形内的部分，即劣弧，如下图所示，

，，劣弧的长度为：，
即点在侧面内运动路径长度为，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上.
13. 已知直线：与：平行，则实数a的值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据直线平行的充要条件计算即可.
【详解】由题意可知：，且，解之得.
故答案为：-1
14. 已知点，，若直线与线段相交，则的取值范围________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求出直线过定点，利用斜率计算公式求出，，再数形结合即可得解．
【详解】解：直线经过定点，
，，
又直线与线段相交，由图可知，即；
故答案为：．

15. 已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是____________
【答案】
【解析】
【分析】明确分段函数两段的性质，进而作出其图像，将方程恰有四个不同的实数解转化为的图象与直线有4个不同的交点，由图象确定，，，的范围，结合对勾函数单调性性质，即可求得答案.
【详解】由题意知，
当时，，
令，则；
当时，；
当时，，
令，则或4；令，则或2；
由此可作出函数的图象如图：

由于方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，
故的图象与直线有4个不同的交点，由图象可知，
不妨设，则，
且关于对称，所以，
又即，则，
故，
由于在上单调递增，故，
所以，
故的取值范围是，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题综合考查函数与方程的应用知识，涉及到知识点较多，综合性强，解答的关键时要明确分段函数的性质，进而作出其图象，数形结合，即可求解.
16. 若圆与圆外切，则的最大值为________________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据两圆外切可得，再根据可知，点的轨迹为圆弧，圆的四分之一，而表示定点与圆弧上的动点连线的斜率，然后数形结合即可求出．
【详解】由题可得圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为.因为两圆外切，可得，，可看作平面直角坐标系中的定点与圆弧上的动点连线的斜率，结合图形可知，当点为时，最大，此时其最大值为．

故答案为：.
【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，以及利用几何意义求最值，意在考查学生的转换能力和数学运算能力，属于基础题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 中，角A，B，C所对的边分别为. 已知.
（1）求的值；
（2）求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据求出，根据求出，根据正弦定理求出；
（2）先求出，再利用面积公式即可求出.
【详解】（1）在中，由题意知，
又因为，所有，
由正弦定理可得.
（2）由得，由,得.
所以.
因此，的面积.
【点睛】本题考查正弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题.
18. 《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.
（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；
（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的测试成绩分别位于和”，求.
【答案】（1）平均数76.2；第57百分位数79；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数及百分位数；
（2）根据分层抽样确定测试成绩分别位于和的人数，按照古典概型计算即可.
【小问1详解】
由频率分布直方图可知测试成绩的平均数
.
测试成绩落在区间的频率为，
落在区间的频率为，
所以设第57百分位数为a，有，
解得；
【小问2详解】
由题知，测试分数位于区间、的人数之比为，
所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间中3人，用，，表示，在区间中2人，用，表示，
从这5人中抽取2人的所有可能情况有：
，，，，，，，，，，共10种，
其中“分别落在区间和”有6种，
所以.
19. 已知圆：.
（1）求过点且与圆相切的直线的方程；
（2）已知点，，是圆上的动点，求面积的最大值.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】（1）将圆化为标准式，求出圆心与半径，讨论直线的斜率存在或不存在，当不存在时，设出点斜式，利用点到直线的距离等于半径即可求解.
（2）将问题转化为求圆上的点到直线距离的最大值即可求解.
【详解】（1）当直线的斜率不存在时：，此时圆心到直线的距离等于半径，满足题意，
当直线的斜率存在时，设直线方程为：，圆：，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，
即，∴
所以直线方程为：.
（2）∵，，
∴，直线的方程为：，
圆心到直线AB的距离为：，
所以点P到直线AB的距离的最大值为，
所以.
20. 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，，是底面的内接正三角形，且，P是线段DO上一点.
（1）若
，求三棱锥P-ABC的体积.
（2）当PO为何值时，直线EP与平面PBC所成的角的正弦值最大.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）应用棱锥的体积公式即可；（2）建立空间直角坐标系，用向量法求解.
【小问1详解】
在，，
，
因为，，
【小问2详解】
如图所示，建立以点O为坐标原点的空间直角坐标系..
设，，
所以，，，，
所以，，，
设平面PBC的法向量为，
所以，
所以
设直线EP与平面PBC所成的角为，
由题意得.
当且仅当时等号成立，此时直线EP与平面PBC所成的角的正弦值最大.
21. 已知函数已知函数，
（1）若的解集，求实数的取值范围；
（2）若在区间内有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）讨论集合是否是空集，从而求解，
（2），首先讨论是否是0，在时，讨论函数的零点的位置，从而确定实数所满足的条件，从而求其范围．
【小问1详解】
若，则，
若，则．
综上可得：．
【小问2详解】
．
若，则，无零点；
若，则在单调，
∴其在内至多有一个零点．
①若，
则，
解得，，
经检验，时不成立，
②若，
由，
解得，，
综上所述，实数的取值范围是．
22. 在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点O的圆M（圆心M在第一象限）与x轴正半轴交于点A（2，0），弦OA将圆M截得两段圆弧的长度比为1：5．
（1）求圆M的标准方程；
（2）设点B是直线l：x+y+20上的动点，BC、BD是圆M的两条切线，C、D为切点，求四边形BCMD面积的最小值；
（3）若过点M且垂直于y轴的直线与圆M交于点E、F，点P为直线x＝5上的动点，直线PE、PF与圆M的另一个交点分别为G、H（GH与EF不重合），求证：直线GH过定点．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由圆弧的长度比为，可得，得为等边三角形，由此求出圆心坐标和半径，则圆的方程可求；
（2）四边形得面积，要使四边形面积最小，则最小即可．此时，再由点到直线的距离公式求解；
（3）设点，，，，，先分析GH斜率存在时，设，根据联立方程，由根与系数关系求出k，b关系即可得出所过定点，再验证斜率不存在情况即可.
【小问1详解】
弦将圆截得两段圆弧的长度比为，
，则为等边三角形，
又，
圆心得坐标为，．
圆的标准方程为；
【小问2详解】
四边形得面积，
在中，，要使四边形面积最小，则最小即可．
此时，
，
．
四边形面积的最小值为；
【小问3详解】
证明：设点，，，，，
由题意知：，，
，．
，
，①
点、在圆上，将和代入①整理得：
，②
当斜率存在时，设直线的方程为，
联立，得．
，．
代入②整理得：．
，解得或．
当时，直线的方程为，过定点；
当时，直线的方程为，过定点．
与不重合，
点不合题意．
当斜率不存在时，
联立，解得，，．
点适合．
综上，直线过定点．