六年级奥数典型题——冲刺100测评卷19《牛吃草问题》练习

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试卷满分：100分 考试时间：100分钟
姓名：_________班级：_________得分：_________
一．选择题（共7小题，满分19分）
1．（2分）（2014•两岸四地）王奶奶家现有40个鸡蛋，还养了一只每天都要下一个蛋的母鸡，如果王奶奶每天吃3个鸡蛋，那么她可以这样连吃几天？（ ）
A．13B．17C．19D．20
【分析】共有40个鸡蛋，每天都会有一只鸡下一个蛋，每天吃3个，这样每天鸡蛋的数量在40的基础上每天减少2个．
【解答】解：每天数量减少2个，
40÷（3﹣1）＝20（天）
故选：D．
2．（2分）（2008•创新杯）展览会上午9点开门，但早就有人排队等着入场，并且从第一个观众来到之后每分钟来到的人数是一定的，如果开3入场口，9点9分就不再有人排队了；如果开5个入场口，9点5分就没人排队了，问第一个观众来到的时间是（ ）
A．8：15B．8：30C．8：45D．8：50
【分析】以9点为分界线．把“入场口”看成“牛”，“来的人”看成“草”，9点前来的人为原有的草，之后来的人为生长的草．然后再用“牛吃草的公式”来解此题就可以了．
【解答】解：①每分钟来的人数是（3×9﹣5×5）÷（9﹣5）＝2÷4＝0.5（份）
②9点前来的人数是5×5﹣5×0.5＝22.5（份）
③22.5÷0.5＝45（分钟）
9点＝8点60分
8点60分﹣45分＝8点15分＝8：15
故选：A．
3．一艘船发生漏水事故，立即安装两台抽水机向外抽水，此时已漏进水800桶．一台抽水机每分钟抽水18桶，另一台每分钟抽水14桶，50分钟把水抽完，每分钟漏进水（ ）桶．
A．14B．16C．18D．20
【分析】结合题意并运用“工作总量＝工作效率×工作时间”公式，先求得50分钟两台抽水机共抽总水量1600桶，这说明50分钟漏进的水量是1600﹣800＝800桶，然后即可求得答案．
【解答】解：（18+14）×50＝1600（桶）
（1600﹣800）÷50＝16（桶）
故选：B．
4．某超市开3个结账通道，25分钟可结算完，开6个结账通道，15分钟可结算完，现在要5分钟结算完，超市需开（ ）个结账通道．
A．9B．15C．21D．18
【分析】假设每个结帐通道每分可结算1份，3个结帐通道，25分可结算3×25＝75（份），6个结账通道，15分钟可结算6×15＝90（份），多结算了90﹣75＝15（份），恰好是25﹣15＝10（分）减少的；每分就减少15÷10＝1.5（份），75＜90，原来有3×25+1.5×25＝112.5（份）；最后用原来的份数除以5，求出原来的人需要的结账通道的个数是多少，再减去1.5，求出一共需要开多少个即可．
【解答】解：（6×15﹣3×25）÷（25﹣15）
＝15÷10
＝1.5（个）
（3×25+1.5×25）÷5﹣1.5
＝112.5÷5﹣1.5
＝22.5﹣1.5
＝21（个）
答：超市需开21个结账通道．
故选：C。
5．有一片牧场，24头牛6天可以将草吃完，或21头牛8天可以吃完．要使牧草永远吃不完，至多可以放牧（ ）头牛．
A．13B．72C．12D．3
【分析】要使草永远吃不完，必须满足放的牛的头数每天吃掉的草与每天生长的草相等．假设每头牛每天吃的草为1，先求出24头牛6天可吃完；21头牛8天可吃完时，两种情况下牛的吃草量，再根据每天草的生长量＝多吃的草的量÷多吃的天数，求出每天草的生长量，最后根据至多放的牛的头数＝每天草的生长量÷每头牛每天吃的草（也就是1）解答．
【解答】解：（21×8﹣24×6）÷（8﹣6）÷1
＝（168﹣144）÷2÷1
＝24÷2÷1
＝12÷1
＝12（头）
答：要使草永远吃不完，至多放12头牛．
故选：C．
6．一个牧场可供58头牛吃7天，或者可供50头牛吃9天．假设草的生长量每天相等，每头牛每天的吃草量也相等，那么，可供（ ）头牛吃6天．
A．64B．47C．57D．66
【分析】假设每头牛每天吃青草1份，先求出青草的生长速度：（50×9﹣58×7）÷（9﹣7）＝22（份）；然后求出草地原有的草的份数（50﹣22）×9＝252（份）；草地原有的252份草6天需要252÷6＝42头牛吃完，然后再加上22即可．
【解答】解：假设每头牛每天吃青草1份，
青草的生长速度：
（50×9﹣58×7）÷（9﹣7）＝22（份）；
草地原有的草的份数：
（50﹣22）×9＝252（份）；
252÷6+22＝64（头）；
答：可供64头牛吃6天．
故选：A．
7．有一个水池，池底有一个打开的出水口．用5台抽水机20小时可将水抽完，用8台抽水机15小时可将水抽完．如果仅靠出水口出水，那么多长时间将水漏完？（ ）
A．25小时B．30小时C．40小时D．45小时
【分析】可假设每台抽水机每小时抽水量是1份，分别求出用“8台抽水机15小时”的抽水量和“5台抽水机20小时”的抽水量，然后根据这两个结果，可求出水池出水口每小时的漏水量是多少份，即：（8×15﹣5×20）÷（20﹣15）＝4（份），然后再求出水池的原有水量的总份数：15×8+15×4＝180（份），再除以漏水量，就是仅靠出水口出水需要的时间．据此解答．
【解答】解：设每台抽水机每小时可抽水1份，
（8×15﹣5×20）÷（20﹣15）
＝（120﹣100）÷5
＝20÷5
＝4（份）
（15×8+15×4）÷4
＝（120+60）÷4
＝180÷4
＝45（小时）
答：把水漏完需要45小时．
故选：D．
二．填空题（共11小题，满分29分）
8．（2分）（2013•希望杯）有一个温泉游泳池，池底有泉水不断涌出，要想抽干满池的水，10台抽水机需工作8小时，9台抽水机需工作9小时，为了保证游泳池水位不变（池水既不减少，也不增多），则向外抽水的抽水机需 1 台．
【分析】根据题意，只需求出每小时新增水即可，设1台抽水机1小时抽1份水，则每小时新增水：（9×9﹣10×8）＝1，即只需要1台抽水机将新增水抽调就能保证游泳池水位不变．
【解答】解：设1台抽水机1小时抽1份水，
每小时新增水：9×9﹣10×8＝1；
答：向外抽水的抽水机需1台．
9．（2分）王大妈家里原来有24个鸡蛋，而且还养了一只一天能下一个蛋的母鸡．王大妈一天要吃3个鸡蛋，家里的鸡蛋可以连续吃 12 天．
【分析】生蛋量为1只鸡一天下1只蛋，她家一天吃3个鸡蛋，吃的蛋比下的蛋每天多2个，不足的要从原有量里来补，所以，王大妈的鸡蛋能连续吃：24÷（4﹣2）＝12（天）；据此解答即可．
【解答】解：24÷（4﹣2）
＝24÷2
＝12（天）
答：家里的鸡蛋可以连续吃12天．
故答案为：12．
10．（2分）有3片牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它的面积为4亩、8亩和10亩．24头牛6星期吃完第一片牧场上的草；36头牛12星期吃完第二片牧场上的草， 40 头牛9星期才能吃完第二片牧牧场上的草．
【分析】由于两次的亩数不同，所以统一亩数：24头牛6星期吃4亩，看作24×2头牛6星期吃4×2亩，即48头牛6星期吃8亩；假设每头牛每星期吃1份草，48头牛6星期吃48×6＝288份，36头牛12星期吃36×12＝432份，多吃了432﹣288＝144份，恰好是12﹣6＝6星期长的；那么8亩每星期就长144÷6＝24份，则每亩每星期就长24÷8＝3份，原来牧场每亩的草量有48×6÷8﹣3×6＝18份；那么8亩9星期后的草量为：18×8+3×9×8＝360份，所以牛的数量是：360÷9＝40头，据此解答即可．
【解答】解：假设每头牛每周吃1份草；
24头牛6星期吃4亩，也就是48头牛6星期吃8亩；
8亩每星期长草的份数：
（36×12﹣48×6）÷（12﹣6）
＝144÷6
＝24（份）；
每亩每星期就长24÷8＝3（份）；
原来牧场每亩的草量有：
48×6÷8﹣3×6
＝36﹣18
＝18（份）；
8亩9星期后的草量为：18×8+3×9×8
＝144+216
＝360（份）；
所以牛的数量是：360÷9＝40（头）．
答：40头牛9星期才能吃完第二片牧牧场上的草．
故答案为：40．
11．（2分）（2018•陈省身杯）自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个性急的孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上行走，男孩每秒向上走1级楼梯，女孩每3秒向上2级楼梯．结果男孩用50秒到达楼上，女孩用60秒到达楼上．该楼梯共有 100 级．
【分析】据题意可知：他们每个人所走的楼梯级数都比实际楼梯级数要少．所以我们可先求出男孩50秒走的楼梯有1×50＝50级，女孩60秒走的楼梯有2÷3×60＝40级，则男孩比女孩多走的50﹣40＝10级楼梯就是自动扶梯在60﹣50＝10秒内走的级数，这样即可求出自动扶梯行驶的速度为10÷10＝1级/秒．然后根据男孩或女孩的行驶情况便可求出问题答案．
【解答】解：1×50﹣2÷3×60
＝50﹣40
＝10
10÷（60﹣50）
＝10÷10
＝1
（1+1）×50＝100（级）
故答案为：100．
12．（2016•华罗庚金杯）有一片草场，10头牛8天可以吃完草场上的草； 15头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完．那么草场上每天长出来的草够 5 头牛吃一天．
【分析】转换思想，将 15头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完转换成13头牛吃5天即可解决问题．
【解答】解：依题意可知：
10×8﹣（15+14+13+12+11）＝15（份）．
15头牛，如果从第二天开始每天少一头，可以5天吃完可以转换成13头牛吃5天．
15÷（8﹣5）＝5（份）
故答案为：5
13．（2015•陈省身杯）一块均匀生长的草地按照1：2：3的面积比分成三块，一群牛先用12天时间吃完了第一块草地的草，接着又用48天吃完了第二块草地的草．此时，这群牛需要 288 天才能够吃完第三块草地的草．（当牛在某块草地吃草时，其他草地上的草正常生长）
【分析】假设第一块地一天的生长量为1份，那么第二块到第12天的时候，草量可以供这群牛吃12×2＝24（天），因此后48﹣24＝24天吃的量是这块地48天的生长量．48天的生长量是48×2＝96份，因此每天这群牛吃96÷24＝4份．第三块地到第12天的时候，含草量可以供这群牛吃12×3＝36天，接着48天的生长量是48×3＝144份，在此之后这块地每天生长3份，前12天的含草量是12×3×4＝144（份），所以第三块地够牛吃（144+144）÷（4﹣3）＝288天
【解答】解：
12×3＝36（天）
48×2÷（48﹣12×2）＝4
12×3×4＝144（份）
48×3＝144（份）
（144+144）÷（4﹣3）＝288（天）
故填288
14．（2013•陈省身杯）有一块草场，可供14头牛吃8天，或可供8头牛吃20天，如果一群牛16天将这块草场的草吃完，那么这群牛有 9 头．
【分析】先根据“14头牛吃8天或8头生吃20天”求出草的生长量与原有草的量，再由公式“草总量＝原有草量十生长量×相应的天数＝牛的头数×相应的天数”便可求得答案．
【解答】解：①草每天生长量是（8×20﹣14×8）÷（20﹣8）＝48÷12＝4②草原有量是14×8﹣4×8＝80③（80+16×4）÷16＝9（头）故：这群牛有9头．
15．（2018•陈省身杯）在一片均匀生长的牧场上，如果放养7头牛，只需10天就可以将草吃完．为了能多放养几天，牧场主等了20天才将牛投放到草场上，这时这批草可供7头牛吃18天．如果想实现持续放牧（即牧草总不会减少），这片草地至多能放养 2 牛．
【分析】每头牛每天吃青草1份，如果放养7头牛，只需10天就可以将草吃完，那么共吃了7×10＝70份草；牧场主等了20天才将牛投放到草场上，这时这批草可供7头牛吃18天共吃了7×18＝126份草；包括了牧场上原有的草，和20+18天的生长量，由此根据两种吃法的数量差和时间差可以先求出青草的生长速度：（126﹣70）÷（38﹣10）＝2（份）；如果想实现持续放牧（即牧草总不会减少），这片草地至多能放养的牛的头数等于草的生长速度，即这片草地至多能放养2头牛；据此解答即可．
【解答】解：7×10＝70（份）
7×18＝126（份）
20+18＝38（天）
（126﹣70）÷（38﹣10）
＝56÷28
＝2（份）
这片草地至多能放养的牛的头数等于草的生长速度，即这片草地至多能放养2头牛；
故答案为：2．
16．（2018•其他模拟）某游乐场在开门前有300人排队等候，开门后每分钟来的人数是固定的，一个入口每分钟可以进15个游客，如果开放3个入口，20分钟就没有人排队，现在开放4个入口，那么开门后 15 分钟就没有人排队．
【分析】根据“如果开放3个入口，20分钟就没有人排队，”可以求出进入的总人数，即15×3×20＝900人，那么每个入口每分钟增加的人数是（900﹣300）÷3÷20＝10人；又因为现在开放4个入口，则每个入口需要300÷4＝75人排队等候，然后除以（15﹣10）人，就是需要的时间．
【解答】解：15×3×20＝900（人）
（900﹣300）÷3÷20
＝600÷60
＝10（人/分钟）
（300÷4）÷（15﹣10）
＝75÷5
＝15（分钟）
答：现在开放4个入口，那么开门后15分钟就没有人排队．
故答案为：15．
17．（2016•其他杯赛）有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天，那么它可供 14 头牛吃20天．
【分析】设每头牛每天吃一份的草，根据“可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．”，求出草的生长速度为：（12×25﹣24×10）÷（25﹣10）＝4份，原有草的份数为：24×10﹣4×10＝200份，每天生长的4份的草，可供4头牛吃，那么吃原有的200份的草，需要牛200÷20＝10（头），然后再加4即可问题得解解决问题．
【解答】解：（12×25﹣24×10）÷（25﹣10）
＝60÷15
＝4份
24×10﹣4×10
＝240﹣40
＝200份
200÷20+4＝14（头）
答：它可供 14头牛吃20天．
故答案为：14．
18．（2016•其他杯赛）由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少，如果某块草地上的草可供25头牛
吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃 9 天．
【分析】设1头牛1天吃草1份，25头牛4天吃草：25×4＝100（份）：16头牛6天吃草：16×6＝96（份）；青草每天减少：（100﹣96）÷（6﹣4）＝2（份）；牛吃草前牧场有草：100+2×4＝108（份）； 但因每天减少2份草，相当于10+2＝12头牛吃掉；所以只能供牛108÷12＝9（天）．
【解答】解：25×4＝100（份）
16×6＝96（份）
（100﹣96）÷（6﹣4）＝2（份）
100+2×4＝108（份）
108÷（10+2）＝9（天）
故答案为：9．
三．解答题（共11小题，满分52分）
19．（4分）牧场有草180千克，原计划每头羊每天吃草2千克，共10头羊．实际又多了5头羊．这些草现在够吃多少天？
【分析】由题意知，实际供了10+5＝15头羊，每天这些羊要吃草2×15＝30千克，180千克草供15头羊吃180÷30＝6天．
【解答】解：根据题意得
180÷[2×（10+5）]＝6（天）
答：这些草实际够吃6天．
20．（4分）一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，20头牛吃10天，那么可供19头牛吃几天？
【分析】假设每头牛每天吃青草1份，先求出青草的生长速度：（20×10﹣24×6）÷（10﹣6）＝14（份）；然后求出草地原有的草的份数24×6﹣14×6＝60（份）；再让19头牛中的14头吃生长的草，剩下的5头牛吃草地原有的60份草，可吃：60÷5＝12天．
【解答】解：假设每头牛每天吃青草1份，
青草的生长速度：
（20×10﹣24×6）÷（10﹣6）
＝56÷4
＝14（份）；
草地原有的草的份数：
24×6﹣14×6
＝144﹣84
＝60（份）；
每天生长的14份草可供14头牛去吃，那么剩下的19﹣14＝5头牛吃60份草：
60÷（19﹣14）
＝60÷5
＝12（天）；
答：这片草地可供19头牛吃12天．
21．（4分）牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长．这片牧草可供18头牛吃10天，或者可供24头牛吃7天．
（1）可供32头牛吃几天？
（2）多少头牛恰好14天把草吃完？
【分析】本题考察牛吃草问题．
【解答】解：（1）（18×10﹣24×7）÷（10﹣7）＝4（份）
（18﹣4）×10＝140（份）
140÷（32﹣4）＝5（天）
（2）140÷14+4＝14（头）
答：（1）可供32头牛吃5天；
（2）14头牛恰好14天把草吃完．
22．（5分）一片草地，每天都匀速长出青草，这些青草可供21头牛吃5周或供18头牛吃8周，那么这片草地可供15头牛吃几周？
【分析】假设每头牛每周吃青草1份，21头牛5周吃21×5份，18头牛8周吃18×8份，先求出青草的生长速度：（18×8﹣21×5）÷（8﹣5）＝13（份）；然后求出草地原有的草的份数（21﹣13）×5＝40（份）；再让15头牛中的13头吃生长的草，剩下的2头牛吃草地原有的40份草，可吃：40÷2＝20（周）．
【解答】解：假设每头牛每周吃青草1份，
青草的生长速度：
（18×8﹣21×5）÷（8﹣5）
＝39÷3
＝13（份）
草地原有的草的份数：
（21﹣13）×5
＝8×5
＝40（份）
15头牛吃：
40÷（15﹣13）
＝40÷2
＝20（周）
答：这片草地可供15头牛吃20周．
23．（5分）（2012•奥林匹克）一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草16头牛可吃15天，或者可供100只羊吃6天，而4只羊的吃草量相当于1头牛的吃草量，那么8头牛与48只羊一起吃，可以吃多少天？
【分析】根据题意，如果一头牛一天吃草量等于4只羊一天的吃草量；假设一头羊一天吃一份草，那么一头牛一天吃4份，则现在这片青草16头牛可吃15天，相当于16×4头羊可吃15天，则每天新长的草为（16×4×15﹣100×6）÷（15﹣6）＝40（份），然后求出原有草的份数，即100×6﹣40×6＝360（份），所以么8头牛（相当于8×4只羊）与48只羊一起吃，可以吃360÷（8×4+48﹣40）＝9（天），据此解答即可．
【解答】解：（16×4×15﹣100×6）÷（15﹣6）
＝360÷9
＝40（份）
100×6﹣40×6
＝600﹣240
＝360（份）
360÷（8×4+48﹣40）
＝360÷40
＝9（天）
答：8头牛与48只羊一起吃，可以吃9天．
24．（5分）一水库上游突下暴雨，水库的水量超过了历史平均水量1200立方米，工作人员立即打开两个泄洪闸开始泄洪．已知一个泄洪闸每分钟的泄洪量为50立方米，另一个泄洪闸每分钟的泄洪量为60立方米，结果用了40分钟才将水量降到历史平均水量，那么上游每分钟进入水库的水量是多少立方米？
【分析】排完超过了历史平均水量的1200立方米（原有的水量），也用了40分钟，每分钟排出这部分中的1200÷40＝30立方米，然后用两个泄洪闸每分钟的泄洪量50+60＝110立方米减去30即可．
【解答】解：1200÷40＝30（立方米/分钟）
50+60﹣30＝80（立方米/分钟）
答：上游每分钟进入水库的水量是80立方米．
25．（5分）22头牛吃33亩草地上的草，54天可以吃完．17头牛吃28亩同样草地上的草，84天可以吃完．问：同样的牧草40亩可供多少头牛食用24天（每亩草地原有草量相等，草生长速度相等）？
【分析】设“每头牛每天吃草量为1份，每亩地原有草量为x份”，再结合“22头牛吃33亩草地上的草，54天可以吃完．17头牛吃28亩同样草地上的草，84天可以吃完“和“每亩草地草生长速度相等”列出一等式：（22×54﹣33x）÷33÷54＝（17×84﹣28x）÷28÷84并解之，便可得到每亩地原有草量是9份，进而也就用（22×54﹣33x）÷33×54求得每亩每天新长的草量为0.5份；至此也就求出40亩草地24天后草地上有草为40×9+40×24×0.5＝840份，然后用840÷24就可得到问题答案了．
【解答】解：每头牛每天吃草量为1份，每亩原有草量为x份，得
（22×54﹣33x）÷33÷54＝（17×84﹣28x）÷28÷84
（36﹣x）×84＝（51﹣x）×54
30x＝270
x＝9
（22×54﹣33×9）÷33÷54＝0.5（份）
40×9+40×24×0.5＝840（份）
840÷24＝35（头）
答：同样的牧草40亩可供35头牛食用24天．
26．（5分）一艘轮船发生漏水事故，立即启动两台抽水机向外排水，此地已漏进水600桶，一台抽水机每分钟抽水18桶，另一台抽水机每分钟抽水14桶，50分钟把水抽干．每分钟漏水多少桶？
【分析】本题考察牛吃草问题．根据50分钟把水抽干，可以求出两台抽水机50分钟内抽水的桶数，减去原来已经漏进的水量，依此解答即可．
【解答】解：50×（18+14）﹣600＝1000（桶）
1000÷50＝20（桶）
答：每分钟漏水20桶．
27．（5分）（2018•其他模拟）某游乐场在开门前有400人排队等待，开门后每分钟来的人数是固定的．一个入口每分钟可以进入10个游客．如果开放4个入口20分钟就没有人排队，现在开放6个入口，那么开门后多少分钟就没有人排队？
【分析】由题意知：开门后，20分钟来的人数为4×20×10﹣400＝400．进而求得每分钟来400÷20＝20人，这相当于有20÷10＝2（个）入口专门用于新来的人进入游乐场，因此，开放6个入口，开门后400÷（6﹣2）÷10＝10（分钟）就没有人排队了．
【解答】解：4×20×10﹣400＝400（人）
400÷20＝20（人）
20÷10＝2（个）
400÷（6﹣2）÷10＝10（分钟）
答：开门后10分钟就没有人排队了．
28．（5分）（2017•春蕾杯）画展9点才开门，但早就有人来排队入场．从第一个观众来到时算起，若每分钟来的观众一样多，开3个入场口，9点零9分就不再有人排队；开5个入场口，9点零5分就没人排队．第一个观众到达的时间是几点几分．
【分析】9时开门，开3个入场口，9：09就不再有人排队，开5个入场口，9：05就没有人排队，来人的速度为（9×3﹣5×5）÷（9﹣5）＝，开门之前来人为3×9﹣×9＝22，第一个观众来的时间距开门时间：22÷＝45分，再用9时减去45分即可求出答案．
【解答】解：（9×3﹣5×5）÷（9﹣5）＝
3×9﹣×9＝22
22÷＝45（分）
9时﹣45分＝8时15分
答：第一个观众到达的时间是8时15分．
29．（5分）（2015•走美杯）一片牧场，牧草每天生长一样快，已知这片牧场的草可供10只羊吃20天，或可供14只羊吃12天．那么这片牧场每天新长的草够2只羊吃多少天？
【分析】这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量．总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分．牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的．即：每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的．
【解答】解：设1只羊1天吃的草为“1“，由条件可知，
前后两次草的问题相差为：10×20﹣12×14＝32．
每天新长的草：
32÷（20﹣12）
＝32÷8
＝4
4÷2＝2（天）
答：每天新长的草够2只羊吃2天．