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2024-2025学年北京市第十五中学高三上学期8月阶段测试数学试卷（含答案）
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这是一份2024-2025学年北京市第十五中学高三上学期8月阶段测试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合A=xx2+2x<0，B=xx>1，则A∩B=( )
A. x−2C. x02.在等比数列an中，若a1=1，a4=4，则a2a3=( )
A. 2B. ±2C. 4D. ±4
3.若a>b，则下列不等式中正确的是( )
A. 1a<1bB. a2>b2C. a+b>2 abD. a2+b2>2ab
4.下列函数中，是偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递增的为( )
A. y=1xB. y=ln|x|C. y=2xD. y=1−|x|
5.下列求导运算不正确的是( )
A. 1x′=−1x2B. (1+lnx)′=1+1x
C. 2x′=2xln2D. (csx)′=−sinx
6.已知函数fx=x2+1,x≤12x−a,x>1，存在最小值，则实数a的取值范围是( )
A. −∞,1B. −∞,1C. 1,+∞D. 1,+∞
7.(x− x)4的二项展开式中x3的系数为( )
A. 15B. 6C. −4D. −13
8.若函数fx=x−1,x<00,x=0x+1,x>0，则“x1+x2>0”是“fx1+fx2>0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9.设a=t−1t,b=t+1t,c=t2+t，其中−1A. b10.已知e为单位向量，向量a满足a⋅e=2，a−λe=1，则a的最大值为( )
A. 1B. 2C. 5D. 4
11.“CℎatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=L0DGG0，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg2≈0.3)( )
A. 75B. 74C. 73D. 72
12.已知数列an满足an+1=an2n=2k,k∈N∗,an+12n=2k−1,k∈N∗,则( )
A. 当a1<0时，an为递增数列，且存在常数M>0，使得anB. 当a1>1时，an为递减数列，且存在常数M>0，使得an>M恒成立
C. 当0N0时，an−12<1100
D. 当0N0，使得an−12>11000
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.函数y= x+1x−1的定义域是 ．
14.已知复数z=i(2+i)，则|z|= ．
15.已知命题p：若α,β为第一象限角，且α>β，则sinα>sinβ.能说明命题p为假命题的一组α,β的值可以是α= ，β= ．
16.已知向量a，b满足a=2，b=2,0，且a+b=2，则csa,b= ．
17.在数列an中，a1=2,a2=−3.数列bn满足bn=an+1−ann∈N∗.若bn是公差为1的等差数列，则bn的通项公式为bn= ，an的最小值为 ．
18.已知函数f(x)=lg12(1−x),−1≤x≤n22−x−1−3,n三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
在▵ABC中，∠A=30∘，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3．
(1)求cs B与△CBD的面积；
(2)求边AC的长．
20.(本小题12分)
某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表．
高二
规定成绩不低于90分为“优秀”．
(1)估计高一年级知识竞赛的优秀率；
(2)将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率．在高一、高二年级学生中各选出1名学生，记这2名学生中成绩优秀的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列；
(3)在高一、高二年级各随机选取1名学生，用X，Y分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数．写出方差D(X),D(Y)的大小关系．(只需写出结论)
21.(本小题12分)
已知函数fx=sinx−π4．
(1)若fx0=12，x0∈0,2π，求x0的值；
(2)设gx=fx⋅csx，求gx在区间0,π2上的最大值和最小值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex(x2−ax−a)．
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，求实数a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
23.(本小题12分)
已知函数fx=2x3−3x2+x．
(1)若曲线y=fx在点x0,fx0处的切线的斜率为1，求曲线y=fx在点x0,fx0处的切线方程；
(2)定义：若∀x∈a,b，均有fx≤gx，则称函数gx为函数fx的控制函数．
①∀x∈0,1，试问gx=x是否为函数fx=2x3−3x2+x的“控制函数”？并说明理由；
②∀x∈0,3，若gx=x+m为函数fx=2x3−3x2+x的“控制函数”，求实数m的取值范围．
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.B
5.B
6.A
7.B
8.C
9.C
10.C
11.C
12.D
13.{x|x≥−1，且x≠1}
14. 5
15.13π6
π6
16.−12/−0.5
17.n−6
−13
18.[1,2]
19.(1)在△CBD中，由余弦定理得csB=BC2+BD2−CD22BC⋅BD=72+32−522×7×3=1114，
∵0∴S▵CBD=12BD⋅BC⋅sinB=12×3×7×5 314=15 34；
(2)由(1)知sinB=5 314，∵∠A=30∘，∴sinA=12，
在▵ABC中，由正弦定理得BCsinA=ACsinB，
即AC=BC⋅sinBsinA=7×5 31412=5 3．
20.(1)高一年级知识竞赛的优秀率为0.04+0.02×5=0.3．
所以高一年级知识竞赛的优秀率为30%
(2)在高一年级学生中选中成绩优秀学生的概率为0.3，选中成绩不优秀学生的概率为1−0.3=0.7；
在高二年级学生中选中成绩优秀学生的概率为14+240=0.4，选中成绩不优秀学生的概率为1−0.4=0.6．
ξ的所有可能取值为0，1，2；
Pξ=0=0.7×0.6=0.42；
Pξ=1=0.3×0.6+0.7×0.4=0.46；
Pξ=2=0.3×0.4=0.12．
所以随机变量ξ的分布列为：
(3)显然X，Y均符合两点分布，且PX=0=0.7，PX=1=0.3，PY=0=0.6，PY=1=0.4，
所以D(X)=0.3×0.7=0.21,D(Y)=0.6×0.4=0.24
所以D(X)
21.(1)因为fx=sinx−π4，由fx0=12，得到sinx0−π4=12，
解得x0−π4=π6+2kπ(k∈Z)或x0−π4=5π6+2kπ(k∈Z)，
即x0=5π12+2kπ(k∈Z)或x0=13π12+2kπ(k∈Z)，又x0∈0,2π，
所以x0=5π12或13π12．
(2)因为gx=fx⋅csx=sin(x−π4)⋅csx= 22(sinxcsx−cs2x)= 22(12sin2x−1+cs2x2)=12sin(2x−π4)− 24，
令t=2x−π4，因为x∈0,π2，得到t∈−π4,3π4，
由y=sinx的图象与性质知，sint∈[− 22,1]，所以gx∈− 22,12− 24，
所以gx在区间0,π2上的最大值为12− 24，最小值为− 22．
22.(1)由题可得f′(x)=ex[x2+(2−a)x−2a]，
因为f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)=0，
即e(3−3a)=0，解得a=1，经检验a=1符合题意．
(2)因为f′(x)=ex[x2+(2−a)x−2a]，
令f′(x)=0，得x=−2或x=a．
当a<−2时，随x的变化，f′ (x)，f(x)的变化情况如下表所示：
所以f(x)在区间(−∞,a)上单调递增，在区间(a,−2)上单调递减，在区间(−2,+∞)上单调递增．
当a=−2时，因为f′(x)=ex(x+2)2 ≥0，当且仅当x=−2时，f′(x)=0，
所以f(x)在区间(−∞,+∞)上单调递增．
当a>−2时，随x的变化，f′ (x)，f(x)的变化情况如下表所示：
所以f(x)在区间(−∞,−2)上单调递增，在区间(−2,a)上单调递减，在区间(a,+∞)上单调递增．
综上所述，
当a<−2时，f(x)的单调递增区间为(−∞,a)和(−2,+∞)，单调递减区间为(a,−2)；
当a=−2时，f(x)的单调递增区间为(−∞,+∞)，无单调递减区间；
当a>−2时，f(x)的单调递增区间为(−∞,−2)和(a,+∞)，单调递减区间为(−2,a)．
23.(1)f′x=6x2−6x+1，所以f′x0=6x02−6x0+1=1，
解得x0=0或x0=1，可得切点坐标为0,0，或1,0，
所以曲线y=fx在点0,0处的切线方程为y=x，
曲线y=fx在点1,0处的切线方程为y=x−1；
(2)①，是“控制函数”，理由如下，
由fx≤gx得2x3−3x2+x≤x，
可得2x3−3x2≤0，x22x−3≤0，
因为∀x∈0,1时，x22x−3≤0恒成立，
即2x3−3x2+x≤x恒成立，
所以函数gx为函数fx的“控制函数”；
②，若gx=x+m为函数fx=2x3−3x2+x的“控制函数”，
则∀x∈0,3，fx=2x3−3x2+x≤gx=x+m恒成立，
即∀x∈0,3，2x3−3x2≤m恒成立，
令ℎx=2x3−3x2，x∈0,3，
ℎ′x=6x2−6x=6xx−1，
当00，
ℎx在0,1上单调递减，在1,3上单调递增，
所以ℎx在x=1有极小值，ℎ0=0，ℎ3=2×33−3×32=27，
所以m≥27．
成绩分组
频数
75,80
2
80,85
6
85,90
16
90,95
14
95,100
2
P
0
1
2
ξ
0.42
0.46
0.12
x
(−∞,a)
a
(a,−2)
−2
(−2,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
单调递增
f(a)
单调递减
f(−2)
单调递增
x
(−∞,−2)
−2
(−2,a)
a
(a,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
单调递增
f(−2)
单调递减
f(a)
单调递增
1.若集合A=xx2+2x<0，B=xx>1，则A∩B=( )
A. x−2
A. 2B. ±2C. 4D. ±4
3.若a>b，则下列不等式中正确的是( )
A. 1a<1bB. a2>b2C. a+b>2 abD. a2+b2>2ab
4.下列函数中，是偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递增的为( )
A. y=1xB. y=ln|x|C. y=2xD. y=1−|x|
5.下列求导运算不正确的是( )
A. 1x′=−1x2B. (1+lnx)′=1+1x
C. 2x′=2xln2D. (csx)′=−sinx
6.已知函数fx=x2+1,x≤12x−a,x>1，存在最小值，则实数a的取值范围是( )
A. −∞,1B. −∞,1C. 1,+∞D. 1,+∞
7.(x− x)4的二项展开式中x3的系数为( )
A. 15B. 6C. −4D. −13
8.若函数fx=x−1,x<00,x=0x+1,x>0，则“x1+x2>0”是“fx1+fx2>0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9.设a=t−1t,b=t+1t,c=t2+t，其中−1
A. 1B. 2C. 5D. 4
11.“CℎatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=L0DGG0，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg2≈0.3)( )
A. 75B. 74C. 73D. 72
12.已知数列an满足an+1=an2n=2k,k∈N∗,an+12n=2k−1,k∈N∗,则( )
A. 当a1<0时，an为递增数列，且存在常数M>0，使得an
C. 当0
D. 当0
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.函数y= x+1x−1的定义域是 ．
14.已知复数z=i(2+i)，则|z|= ．
15.已知命题p：若α,β为第一象限角，且α>β，则sinα>sinβ.能说明命题p为假命题的一组α,β的值可以是α= ，β= ．
16.已知向量a，b满足a=2，b=2,0，且a+b=2，则csa,b= ．
17.在数列an中，a1=2,a2=−3.数列bn满足bn=an+1−ann∈N∗.若bn是公差为1的等差数列，则bn的通项公式为bn= ，an的最小值为 ．
18.已知函数f(x)=lg12(1−x),−1≤x≤n22−x−1−3,n
19.(本小题12分)
在▵ABC中，∠A=30∘，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3．
(1)求cs B与△CBD的面积；
(2)求边AC的长．
20.(本小题12分)
某学校组织高一、高二年级学生进行了“纪念建国70周年”的知识竞赛．从这两个年级各随机抽取了40名学生，对其成绩进行分析，得到了高一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表．
高二
规定成绩不低于90分为“优秀”．
(1)估计高一年级知识竞赛的优秀率；
(2)将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率．在高一、高二年级学生中各选出1名学生，记这2名学生中成绩优秀的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列；
(3)在高一、高二年级各随机选取1名学生，用X，Y分别表示所选高一、高二年级学生成绩优秀的人数．写出方差D(X),D(Y)的大小关系．(只需写出结论)
21.(本小题12分)
已知函数fx=sinx−π4．
(1)若fx0=12，x0∈0,2π，求x0的值；
(2)设gx=fx⋅csx，求gx在区间0,π2上的最大值和最小值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex(x2−ax−a)．
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，求实数a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
23.(本小题12分)
已知函数fx=2x3−3x2+x．
(1)若曲线y=fx在点x0,fx0处的切线的斜率为1，求曲线y=fx在点x0,fx0处的切线方程；
(2)定义：若∀x∈a,b，均有fx≤gx，则称函数gx为函数fx的控制函数．
①∀x∈0,1，试问gx=x是否为函数fx=2x3−3x2+x的“控制函数”？并说明理由；
②∀x∈0,3，若gx=x+m为函数fx=2x3−3x2+x的“控制函数”，求实数m的取值范围．
参考答案
1.A
2.C
3.D
4.B
5.B
6.A
7.B
8.C
9.C
10.C
11.C
12.D
13.{x|x≥−1，且x≠1}
14. 5
15.13π6
π6
16.−12/−0.5
17.n−6
−13
18.[1,2]
19.(1)在△CBD中，由余弦定理得csB=BC2+BD2−CD22BC⋅BD=72+32−522×7×3=1114，
∵0
(2)由(1)知sinB=5 314，∵∠A=30∘，∴sinA=12，
在▵ABC中，由正弦定理得BCsinA=ACsinB，
即AC=BC⋅sinBsinA=7×5 31412=5 3．
20.(1)高一年级知识竞赛的优秀率为0.04+0.02×5=0.3．
所以高一年级知识竞赛的优秀率为30%
(2)在高一年级学生中选中成绩优秀学生的概率为0.3，选中成绩不优秀学生的概率为1−0.3=0.7；
在高二年级学生中选中成绩优秀学生的概率为14+240=0.4，选中成绩不优秀学生的概率为1−0.4=0.6．
ξ的所有可能取值为0，1，2；
Pξ=0=0.7×0.6=0.42；
Pξ=1=0.3×0.6+0.7×0.4=0.46；
Pξ=2=0.3×0.4=0.12．
所以随机变量ξ的分布列为：
(3)显然X，Y均符合两点分布，且PX=0=0.7，PX=1=0.3，PY=0=0.6，PY=1=0.4，
所以D(X)=0.3×0.7=0.21,D(Y)=0.6×0.4=0.24
所以D(X)
21.(1)因为fx=sinx−π4，由fx0=12，得到sinx0−π4=12，
解得x0−π4=π6+2kπ(k∈Z)或x0−π4=5π6+2kπ(k∈Z)，
即x0=5π12+2kπ(k∈Z)或x0=13π12+2kπ(k∈Z)，又x0∈0,2π，
所以x0=5π12或13π12．
(2)因为gx=fx⋅csx=sin(x−π4)⋅csx= 22(sinxcsx−cs2x)= 22(12sin2x−1+cs2x2)=12sin(2x−π4)− 24，
令t=2x−π4，因为x∈0,π2，得到t∈−π4,3π4，
由y=sinx的图象与性质知，sint∈[− 22,1]，所以gx∈− 22,12− 24，
所以gx在区间0,π2上的最大值为12− 24，最小值为− 22．
22.(1)由题可得f′(x)=ex[x2+(2−a)x−2a]，
因为f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)=0，
即e(3−3a)=0，解得a=1，经检验a=1符合题意．
(2)因为f′(x)=ex[x2+(2−a)x−2a]，
令f′(x)=0，得x=−2或x=a．
当a<−2时，随x的变化，f′ (x)，f(x)的变化情况如下表所示：
所以f(x)在区间(−∞,a)上单调递增，在区间(a,−2)上单调递减，在区间(−2,+∞)上单调递增．
当a=−2时，因为f′(x)=ex(x+2)2 ≥0，当且仅当x=−2时，f′(x)=0，
所以f(x)在区间(−∞,+∞)上单调递增．
当a>−2时，随x的变化，f′ (x)，f(x)的变化情况如下表所示：
所以f(x)在区间(−∞,−2)上单调递增，在区间(−2,a)上单调递减，在区间(a,+∞)上单调递增．
综上所述，
当a<−2时，f(x)的单调递增区间为(−∞,a)和(−2,+∞)，单调递减区间为(a,−2)；
当a=−2时，f(x)的单调递增区间为(−∞,+∞)，无单调递减区间；
当a>−2时，f(x)的单调递增区间为(−∞,−2)和(a,+∞)，单调递减区间为(−2,a)．
23.(1)f′x=6x2−6x+1，所以f′x0=6x02−6x0+1=1，
解得x0=0或x0=1，可得切点坐标为0,0，或1,0，
所以曲线y=fx在点0,0处的切线方程为y=x，
曲线y=fx在点1,0处的切线方程为y=x−1；
(2)①，是“控制函数”，理由如下，
由fx≤gx得2x3−3x2+x≤x，
可得2x3−3x2≤0，x22x−3≤0，
因为∀x∈0,1时，x22x−3≤0恒成立，
即2x3−3x2+x≤x恒成立，
所以函数gx为函数fx的“控制函数”；
②，若gx=x+m为函数fx=2x3−3x2+x的“控制函数”，
则∀x∈0,3，fx=2x3−3x2+x≤gx=x+m恒成立，
即∀x∈0,3，2x3−3x2≤m恒成立，
令ℎx=2x3−3x2，x∈0,3，
ℎ′x=6x2−6x=6xx−1，
当0
ℎx在0,1上单调递减，在1,3上单调递增，
所以ℎx在x=1有极小值，ℎ0=0，ℎ3=2×33−3×32=27，
所以m≥27．
成绩分组
频数
75,80
2
80,85
6
85,90
16
90,95
14
95,100
2
P
0
1
2
ξ
0.42
0.46
0.12
x
(−∞,a)
a
(a,−2)
−2
(−2,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
单调递增
f(a)
单调递减
f(−2)
单调递增
x
(−∞,−2)
−2
(−2,a)
a
(a,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
单调递增
f(−2)
单调递减
f(a)
单调递增
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