2024-2025学年广东省深圳市第三高级中学高三（上）第一次调研数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市第三高级中学高三（上）第一次调研数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|lgx5}，集合B={−2,−1,0,1,2}，则A∩B=( )
A. {−2}B. {−2,−1,0}C. {2}D. {0,1}
2.某高校要求学生除了学习第二语言英语，还要求同时进修第三语言和第四语言，其中第三语言可从A类语言：日语，韩语，越南语，柬埔寨语中任选一个，第四语言可从E类语言：法语，德语，俄语，西班牙语，意大利语，则学生可选取的语言组合数为( )
A. 20B. 25C. 30D. 35
3.已知a=0.91.2，b=lg34，c=ln0.1，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. b>c>a
4.已知直线kx−y+2=0和以M(3,−2)，N(2,5)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为( )
A. (−∞,−43]B. [32,+∞)
C. [−43,32]D. (−∞,−43]∪[32,+∞)
5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 3，则圆锥的体积为( )
A. 2 3πB. 3 3πC. 6 3πD. 9 3π
6.设F为抛物线C：y=ax2的焦点，若点P(1,2)在C上，则|PF|=( )
A. 3B. 52C. 94D. 178
7.已知随机事件A，B满足P(A)=13，P(A|B)=34，P(B|A)=716，则P(B)=( )
A. 14B. 316C. 916D. 4148
8.已知直线y=ax−a与曲线y=x+ax相切，则实数a=( )
A. 0B. 12C. 45D. 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a=(csx,sinx),b=(csx, 3csx)，函数f(x)=a⋅b，则下列选项正确的是( )
A. 函数f(x)的值域为[−12,32]
B. 将函数y=sinx+12图象上各点横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π12个单位长度，可得函数f(x)图象
C. 函数f(x)是奇函数
D. 函数f(x)在区间[0,2π]内所有零点之和为14π3
10.已知椭圆C1：x2m2+y2=1(m>0且m≠1)与双曲线C2：x2n2−y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为椭圆C1，双曲线C2的离心率，则( )
A. 0nD. 当n=1时，m=3
11.如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB//ED，AB=ED=2FB.记三棱锥E−ACD，F−ABC，F−ACE的体积分别为V1，V2，V3，则( )
A. V3=2V2
B. V3=V1
C. V3=V1+V2
D. 2V3=3V1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知i为虚数单位，复数z，满足|z|=5，z在复平面中的第一象限，且实部为3，则z−为______
13.现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ=2)= ，E(ξ)= ．
14.已知函数f(x)=x2+mex−1有两个极值点x1，x2，且x2≥2x1，则实数m的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表．
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2)依据小概率值α=0.010的独立性检验，分析甲机床的产品质量是否与乙机床的产品质量有差异．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
16.(本小题15分)
如图，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=2 2，PB=PC= 6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO．
(1)求证：EF//平面ADO；
(2)若∠POF=120°，求三棱锥P−ABC的体积．
17.(本小题15分)
已知曲线C上任意一点P到点F(2,0)的距离比它到直线l：x=−1的距离大1．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l：x+my−8=0与曲线C交于A，B两点，求证：OA⊥OB．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex+3ax2−2(e+b)x+b−a+1(a>0,b∈R)，且f(0)>0，f(1)>0．
(1)若a=2，函数f(x)在区间[12,1]上单调递增，求实数b的取值范围；
(2)证明：对于任意实数x∈R，f(x)+2f(0)+3f(1)>0.参考数据：e≈2.7182818．
19.(本小题17分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，若存在常数λ(λ>0)，使得λan≥Sn+1对任意n∈N∗都成立，则称数列{an}具有性质P(λ)．
(1)若数列{an}为等差数列，且S3=−9，S5=−25，求证：数列{an}具有性质P(3)；
(2)设数列{an}的各项均为正数，且{an}具有性质P(λ)．
①若数列{an}是公比为q的等比数列，且λ=4，求q的值；
②求λ的最小值．
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.C
5.B
6.D
7.A
8.C
9.ABD
10.BC
11.CD
12.3−4i
13.1635；127
14.[−ln2,0)
15.解：(1)甲机床生产的产品中一级品的频率为150200=34；
乙机床生产的产品中一级品的频率为120200=35．
(2)k2=400×(150×80−120×50)2270×130×200×200≈10.256>6.635，
依据小概率值α=0.010的独立性检验，甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
16. (1)证明：在Rt△ABC中，作FH⊥AB，垂足为H，设AH=x，则HB=2−x，
因为FH//CB，所以Rt△AHF∽Rt△ABC，所以AHAB=HFBC，即x2=HF2 2，解得HF= 2x，
又因为∠BFH=∠FBO，所以∠AOB=∠FBH，且∠BHF=∠OBA=90°，
所以Rt△BHF∽Rt△OBA，所以HFBH=ABBO，即 2x2−x=2 2，解得x=1，
即AH=1，所以H是AB的中点，F是AC的中点，
又因为E是PA的中点，所以EF/​/PC，同理，DO/​/PC，所以EF//DO，
又因为EF⊄平面ADO，DO⊂平面ADO，
所以EF/​/平面ADO；
(2)解：过P作PM垂直FO的延长线交于点M，因为PB=PC，O是BC中点，所以PO⊥BC，在Rt△PBO中，PB= 6，BO=12BC= 2，所以PO= PB2−OB2= 6−2=2，
因为AB⊥BC，OF/​/AB，所以OF⊥BC，又PO∩OF=O，PO，OF⊂平面POF，所以BC⊥平面POF，
又PM⊂平面POF，所以BC⊥PM，
又BC∩FM=O，BC，FM⊂平面ABC，
所以PM⊥平面ABC，即三棱锥P−ABC的高为PM，
因为∠POF=120°，所以∠POM=60°，
所以PM=POsin60°=2× 32= 3，
△ABC的面积为S△ABC=12×AB×BC=12×2×2 2=2 2，
所以三棱锥P−ABC的体积为V三棱锥P−ABC=13×2 2× 3=2 63．
17.解：(1)设动点P(x,y)，动点P到点F(2,0)的距离比它到直线x=−1的距离大1，
即动点P到点F(2,0)的距离等于它到直线x=−2的距离，
所以 (x−2)2+y2=|x+2|，两边平方(x−2)2+y2=(x+2)2，
化简可得y2=8x．
(2)证明：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，由x+my−8=0y2=8x，消去x得y2+8my−64=0，
则Δ=64m2+256>0，所以y1+y2=−8m，y1y2=−64，
所以x1x2=y128⋅y228=(y1y2)264=64，
所以OA⋅OB=x1x2+y1y2=0，即OA⊥OB．
18.解：(1>a=2时，f(x)=ex+6x2−2(e+b)x+b−1，
由题知f′(x)=ex+12x−2(e+b)≥0对任意x∈[12,1]恒成立，
因为f′(x)=在[12,1]上单调递增，
则f′(x)min=f′(12)= e+6−2(e+b)≥0，得b≤ e2+3−e，
又f(0)=b>0，f(1)=−b−e+5>0，得02+6aln2−2(2a+1)=(6ln2−4)a>0，
故00，
命题得证．
法2：
由题f(0)=b−a+2>0，f(1)=2a−b−e+1>0，
则a−21，
所以ℎ(x0)≥ℎ(34)=3a⋅916−2(e+b+3a)⋅34+3a+2b+8−e
=316a+12b+8−52e>316a+12(a−2)+8−52e=1116a+7−52e>0，
命题得证．
19.(1)证明：因为数列{an}为等差数列，且S3=−9，S5=−25，
所以3a1+3d=−9，5a1+10d=−25，
解得a1=−1，d=−2，
所以an=−1+(n−1)(−2)=−2n+1，Sn=(−1−2n+1)n2=−n2，
所以3an−Sn+1=3(−2n+1)+(n+1)2=(n−2)2≥0，
即3an≥Sn+1，
所以数列{an}具有性质P(3)．
(2)①：由题意得：数列{an}具有性质P(4)，即4an≥Sn+1，
若0