2024-2025学年天津市西青区津衡高级中学高三（上）质检数学试卷（9月份）（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市西青区津衡高级中学高三（上）质检数学试卷（9月份）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x−2x+2≤0}，B={x∈Z|−1≤x≤5}，则A∩B=( )
A. [−1,2]B. {−1,0,1,2}C. [−1,2)D. {−1,0,1}
2.“tanx=1”是“x=π4”成立的( )
A. 充分条件B. 必要条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
3.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江省杭州市举行，本届亚运会会徽“潮涌”的主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，其中扇面造型反映江南人文意蕴.已知扇面呈扇环形，内环半径为1，外环半径为3，扇环所对圆心角为2π3，则该扇面的面积为( )
A. 4π3B. 8π3C. 10π3D. 16π3
4.已知tan(π−α)=3，则1sin2α−cs2α的值是( )
A. 2B. −2C. −87D. −107
5.函数f(x)=x32|x|+csx的大致图象为( )
A. B.
C. D.
6.设a=(14)−0.9，b=40.8，c=lg4(sinπ2)，则a，b，c的大小关系为( )
A. a>b>cB. b>a>cC. a>c>bD. b>c>a
7.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=π3,b=4，下面使得△ABC有两组解的a的值可以为( )
A. 3B. 13C. 2D. 2 3
8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=2，A=30°，则△ABC的面积最大值为( )
A. 2+ 3B. 3+2 3C. 4+2 3D. 2+2 3
9.已知f(x)=(lg2x)⋅lg416x2，x∈[12,8]，则f(x)的值域为( )
A. [−3,1]B. [−1,3]C. [0,1]D. [−3,0]
10.已知△ABC外接圆的半径为R，且a2−c22R=(a−b)sinB，sinB=2sinA，c=2，则△ABC的面积为( )
A. 43B. 2 33C. 4 33D. 23
11.设函数f(x)=x|x|，则不等式f(2lg3x)+f(3−lg3x)<0的解集是( )
A. (127,27)B. (0,127)C. (0,27)D. (27,+∞)
12.已知函数f(x)=csωx− 3sinωx(ω>0)的部分图象如图所示，下列不正确的个数有( )
①函数f(x)的图象关于点(7π12,0)中心对称
②函数f(x)的单调增区间为[kπ−2π3,kπ−π6](k∈Z)
③函数f(x)的图象可由y=2sinωx的图象向左平移5π12个单位长度得到
④函数g(x)=f(tωx)在(0,π)上有2个零点，则实数t的取值范围为(76,136]
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.函数f(x)= 2sinx− 3的定义域是______．
14.求值：lg53⋅lg9 5+(18)23−(sinπ11)0= ______．
15.已知sin(α+7π2)=−17，cs(α+β)=−1114，其中α,β∈(0,π2)，则β= ______．
16.已知幂函数y=(m2−3)xm在(0,+∞)上单调递增，则实数m= ；函数y=lg12(−x2+mx)的单调递增区间为 ．
17.设a∈R，b>0，已知函数f(x)= 2sinπx2+2a−1,|x|≤1x+bx,|x|>1是奇函数，则a= ______；若函数f(x)是R上的增函数，则b的取值范围是______．
18.已知函数f(x)=ax2+4x−1，若方程f(x)+|2ax+4|+3=0有2个实数根，则a的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题14分)
已知二次函数f(x)满足f(x+1)=f(x)−4x+2，且f(0)=1．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)=f(x)+ax−1在区间[−2,4]上不单调，求a的取值范围；
(3)若两个不相等的正数m，n满足f(m)=f(n)，求4m+1n的最小值．
20.(本小题14分)
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=4，b=5，csC=18．
(Ⅰ)求△ABC的面积；
(Ⅱ)求边c的值和sinA的值；
(Ⅲ)求cs(2A−π3)的值．
21.(本小题14分)
已知函数f(x)=2 3−2 3sin2x+2sinxcs(−x)．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)图象的对称中心的坐标；
(3)若f(α2)=3 32,α∈(π6,2π3)，求cs(α+π12)的值．
22.(本小题14分)
已知函数f(x)=ex−x−1，g(x)=alnx−x．
(Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值；
(Ⅱ)若ℎ(x)=f(x)−g(x)在[1,2]单调递增，求实数a的取值范围；
(Ⅲ)当a<0时，若对任意的x1∈[1e,1]，总存在x2∈[1e,1]，使得f(x1)≤g(x2)，求实数a的取值范围．
23.(本小题16分)
已知函数f(x)=x2−(a+2)x+alnx，其中a∈R且a≠0．
(1)∀x∈(0,+∞)，f(x)≥alnx−xex恒成立，求实数a的取值范围；
(2)求当a>0时，函数y=f(x)在区间[1,e]上的最小值Q(a)；
(3)记函数F(x)的图象为曲线C，设点A(x1,y1)、B(x2,y2)是曲线C上两个不同点，如果曲线C上存在点M(x0,y0)，满足：①x0=x1+x22；②曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数F(x)存在“中值相依切线”.试问：函数f(x)是否存在“中值相依切线”，请说明理由．
参考答案
1.B
2.B
3.B
4.D
5.C
6.A
7.B
8.A
9.A
10.B
11.B
12.B
13.[π3+2kπ,2π3+2kπ]，k∈Z
14.−12
15.π3
16.2；[1,2)
17.12 [ 2−1,1]
18.(−∞,0)∪(0,2)
19.解：(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，
由f(0)=1，得c=1⇒f(x)=ax2+bx+1，
又f(x+1)−f(x)=a(x+1)2+b(x+1)−(ax2+bx)=2ax+a+b=−4x+2，
则2a=−4a+b=2，解得a=−2b=4，
所以f(x)=−2x2+4x+1；
(2)∵g(x)=f(x)+ax−1，∴g(x)=−2x2+(4+a)x，
若函数g(x)=−2x2+(4+a)x在区间[−2,4]上不单调，
由函数g(x)=−2x2+(4+a)x，其对称轴为x=4+a4，
要使得函数g(x)在区间[−2,4]上不单调，
则满足−2<4+a4<4，解得−12故实数a的取值范围为(−12,12)；
(3)因为f(x)=−2x2+4x+1，则f(x)的对称轴为x=1，
函数f(x)在(−∞,1]单调递增，则函数f(x)在[1,+∞)单调递减，
若m>0，n>0，m≠n，且有f(m)=f(n)，
则m+n=2，
∴4m+1n=12(m+n)(4m+1n)
=12(5+4nm+mn)
≥12(5+2 4nm⋅mn)=92，
当且仅当4nm=mn，即m=43,n=23时，等号成立，
故4m+1n的最小值为92．
20.解：(Ⅰ)因为csC=18，且0所以sinC= 1−cs2C=3 78，
所以S△ABC=12absinC=15 74；
(Ⅱ)由余弦定理有，c2=a2+b2−2abcsC=16+25−5=36，则c=6，
又由正弦定理csinC=asinA，
得sinA=asinCc= 74；
(Ⅲ)由(2)知，sinA= 74，所以csA=± 1−sin2A=±34，
由余弦定理有，csA=b2+c2−a22bc>0，所以csA=34，
所以cs2A=cs2A−sin2A=916−716=18，sin2A=2sinAcsA=2× 74×34=3 78，
所以cs(2A−π3)=cs2Acsπ3+sin2Asinπ3=18×12+3 78× 32=1+3 2116．
21.解：(1)因为f(x)=2 3−2 3sin2x+2sinxcs(−x)
= 3(1−2sin2x)+2sinxcsx+ 3
= 3cs2x+sin2x+ 3
=2( 32cs2x+12sin2x)+ 3
= 3+2sin(2x+π3)，
由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ(k∈Z)，
得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ](k∈Z)．
(2)令2x+π3=kπ(k∈Z)，得x=−π6+kπ2(k∈Z)，
所以f(x)图象的对称中心的坐标为(−π6+kπ2, 3)(k∈Z)．
(3)由f(α2)=3 32，得 3+2sin(α+π3)=3 32，则sin(α+π3)= 34．
因为α∈(π6,2π3)，所以α+π3∈(π2,π)，所以cs(α+π3)=− 134．
所以cs(α+π12)=cs[(α+π3)−π4]=cs(α+π3)csπ4+sin(α+π3)sinπ4
=− 134× 22+ 34× 22= 6− 268．
22.解：(Ⅰ)因为f(x)=ex−1，
所以f′(x)=ex−1，
令f′(x)=0，得x=0，
所以在(−∞,0)上f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(0,+∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)在x=0处取得极小值，且极小值为f(0)=0，无极大值．
(Ⅱ)ℎ(x)=f(x)−g(x)=ex−x−1−alnx+x=ex−alnx−1，(x>0)，
则ℎ′(x)=ex−ax=ex−ax=xex−ax，(x>0)，
因为ℎ(x)在[1,2]上单调递增，
所以ℎ′(x)≥0在[1,2]上恒成立，
所以xex≥a在[1,2]上恒成立，
所以只需a≤(xex)min，x∈[1,2]，
设H(x)=xex，x∈[1,2]，
H′(x)=(x+1)ex，
所以在[1,2]上H′(x)>0，H(x)单调递增，
所以H(x)min=H(1)=e，
所以a≤e，
所以a的取值范围为(−∞,e]．
(Ⅲ)若对任意的x1∈[1e,1]，总存在x2∈[1e,1]，使得f(x1)≤g(x2)，
则当x∈[1e,1]时，f(x)max≤g(x)max，
因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以当x∈[1e,1]时，f(x)max=f(1)=e−2，
因为g(x)=alnx−x，(a<0,x>0)，
所以g′(x)=ax−1=a−xx，(x<0)，
因为a<0，
所以当x∈[1e,1]时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以当x∈[1e,1]时，g(x)max=g(1e)=−a−1e，
所以e−2≤−a−1e，
所以a≤2−e−1e，
所以a的取值范围为(−∞,2−e−1e].
23.解：(1)∀x∈(0,+∞)，f(x)≥alnx−xex⇔x2−(a+2)x≥−xex⇔x+ex−2≥a，
而函数y=x+ex−2在(0,+∞)上单调递增，x+ex−2>e0−2=−1恒成立，则a≤−1，
所以实数a的取值范围是(−∞,−1]．
(2)当x∈[1,e]时，函数f(x)=x2−(a+2)x+alnx，
求导得f′(x)=2x−(a+2)+ax=(2x−a)(x−1)x，
当a2≥e，即a≥2e时，f′(x)≤0，函数f(x)在[1,e]上单调递减，Q(a)=f(e)=e2−2e−(e−1)a；
当10，得a2即函数f(x)在[1,a2)上单调递减，在(a2,e]上单调递增，Q(a)=f(a2)=−14a2−a+alna2；
当0所以Q(a)=−a−1,0(3)假设函数f(x)存在“中值相依切线”，设A(x1,y1)，B(x2,y2)是曲线y=f(x)上不同两点，0则y1=x12−(a+2)x1+alnx1，y2=x22−(a+2)x2+alnx2，
直线AB的斜率kAB=y2−y1x2−x1=a⋅lnx2−lnx1x2−x1+(x2+x1)−(a+2)，
由(2)知，f′(x0)=2x0−(a+2)+ax0=(x2+x1)−(a+2)+2ax2+x1，由f′(x0)=kAB，
得(x2+x1)−(a+2)+2ax2+x1=a⋅lnx2−lnx1x2−x1+(x2+x1)−(a+2)，
于是lnx2−lnx1x2−x1=2x2+x1，即lnx2x1−2(x2−x1)x2+x1=0⇔lnx2x1−2(x2−1)x2x1+1=0，
令t=x2x1>1，令ℎ(t)=lnt−2(t−1)1+t，求导得ℎ′(t)=1t−4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0，
因此函数ℎ(t)在(1,+∞)上单调递增，则ℎ(t)>ℎ(1)=0，
从而方程ℎ(t)=0在(1,+∞)上无解，即lnx2−lnx1x2−x1=2x2+x1不成立，则假设不成立，
所以函数f(x)不存在“中值相依切线”．