2024-2025学年河南省漯河高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省漯河高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知A(3,−3)，B(0,2)，则AB边所在直线的方程为( )
A. 5x+3y−6=0B. 3x−5y+15=0
C. x+13y+5=0D. 3x+8y+15=0
2.l1：(a+sin30°)x+y+1=0，l2：x+( 3tan120°)y+2=0，若l1⊥l2，则实数a的值为( )
A. −72B. −56C. 52D. 16
3.设椭圆C：x2a2+y23=1(a> 3)的左、右焦点为F1，F2.若点A(1,32)在C上，则△AF1F2的周长为( )
A. 4B. 6C. 8D. 10
4.已知直线l：y=kx−k与圆C：(x−4)2+(y− 3)2=3有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. [π6,π2)B. [0,π6]C. [0,π3]D. [π3,π2)
5.方程x24+m+y22−m=1表示椭圆的充要条件是( )
A. −4−1
C. −46.已知直线l1：x+y+C=0与直线l2：Ax+By+C=0交于(1,1)，则原点到直线l2距离的最大值为( )
A. 2B. 2C. 22D. 1
7.若两条直线l1：x+ky−m=0，l2：kx−y+n=0与圆C：x2+y2−2x−2y+1=0的四个交点能构成正方形，则m+n=( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
8.已知A(2,−1)，B(−2,−1)，圆(x−a)2+(y−2a+4)2=1上存在点P，使得PA⋅PB=0，则a的最大值为( )
A. 65B. 125C. 2D. 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一光线过点(2,4)，经倾斜角为135°的且过(0,1)的直线l反射后过点(5,0)，则反射后的光线还经过下列哪些点( )
A. (1,−12)B. (2,−38)C. (3,−14)D. (4,18)
10.设F1，F2是椭圆x216+y212=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|−|PF2|=2.则下列说法中正确的是( )
A. |PF1|=5，|PF2|=3B. △PF1F2为直角三角形
C. △PF1F2的面积为6D. △PF1F2的面积为12
11.已知点A是椭圆C：x2+2y2=8上一点，B是圆P：2x2+2y2−4x+1=0上一点，则( )
A. 椭圆C的离心率为 32B. 圆P的圆心坐标为(1,0)
C. 圆P上所有的点都在椭圆C的内部D. |AB|的最小值为 3− 22
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.求过两条直线x−2y+4=0和x+y−2=0的交点，且与3x−4y+2=0平行的直线方程______．
13.点M在椭圆x225+y29=1上，F是椭圆的一个焦点，N为MF的中点，|ON|=3，则|MF|= ______．
14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点M(x,y)到两个定点A(1,0)，B(−2,0)的距离之比为2，则yx−1的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题14分)
已知圆C过三点(1,3)，(1,−7)，(4,2)．
(1)求圆C的方程；
(2)斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若△CMN为等腰直角三角形，求直线l的方程．
16.(本小题14分)
已知直线l：y=kx+1−k(k∈R)交⊙M：(x−3)2+y2=9于A，B两点．
(1)若|AB|=2 5，求直线l的方程；
(2)若AB的中点为Q，O为坐标原点，求|OQ|的最大值．
17.(本小题15分)
已知△ABC的顶点A(5,1)，边AB上的高线CH所在的方程为x−y−1=0，角B的角平分线交AC边于点M，BM所在的直线方程为x+2y−2=0．
(1)求点B的坐标；
(2)求直线BC的方程．
18.(本小题16分)
为迎接第十四届中国双黄鸭蛋节，组委会设计了鸭蛋型图徽．图徽外框由半圆和半椭圆组成(如图)，半圆的直径为10，椭圆的离心率为 32，且短轴与半圆的直径重合，图徽内有一矩形区域ABCD用于绘画图案，矩形关于椭圆的长轴对称，且顶点在图徽外框上．
(Ⅰ)建立适当的直角坐标系，求出半圆的方程和半椭圆的方程；
(Ⅱ)根据美学知识，当ADAB=0.6时达到最佳美观的效果，求达到最佳美观的效果时AB的长．
19.(本小题18分)
已知点A(1,0)，B(4,0)，曲线C上任意一点M均满足|MB|=2|MA|．
(1)求C的轨迹方程；
(2)过点A的直线l与C交于P，Q两点，证明：∠PBA=∠QBA．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.C
5.D
6.B
7.B
8.B
9.ABC
10.ABC
11.BCD
12.3x−4y+8=0
13.4
14.[− 33, 33]
15.解：(1)因为圆过点(1,3)，(1,−7)，故圆心在y=−2上，
设圆心坐标(x,−2)，则(x−1)2+25=(x−4)2+16，解得x=1．
故其半径r= (x−1)2+25=5．
故圆的方程为：(x−1)2+(y+2)2=25；
(2)设直线l的方程为：x−y+c=0，
因为△CMN为等腰直角三角形，
∴圆心到直线的距离d=5⋅ 22=|c+3| 2，
即|c+3|=5，解得c=2或−8，
所以l：x−y+2=0或x−y−8=0．
16.解：(1)由题意知，圆心M(3,0)到直线l的距离为 32−( 5)2=2，
故|3k+1−k| 1+k2=2，
故k=34，
故直线l的方程为y=34x+14，即3x−4y+1=0；
(2)设Q(x0,y0)，因为Q是AB的中点，所以MQ⊥AB，所以AB⋅MQ=0，
又直线l：y=k(x−1)+1过定点(1,1)，
故(x0−1,y0−1)⋅(x0−3,y0)=0，
整理得(x0−2)2+(y0−12)2=54，
故点Q的轨迹是以(2,12)为圆心， 52为半径的圆，
故|OQ|的最大值为 22+(12)2+ 52= 17+ 52．
17.解：(1)设B(x0,y0)，则由题意可知x0+2y0−2=0①，
又AB⊥CH，所以kAB⋅kCH=y0−1x0−5×1=−1②，
联立①②方程解得x0=10，y0=−4，即B(10,−4)；
(2)
设A关于直线BM的对称点A′(a,b)，则有AA′⊥BM，AA′的中点在直线BM上，
即kAA′⋅kBM=b−1a−5×(−0.5)=−1a+52+2×b+12−2=0，解之得a=3b=−3⇒A′(3,−3)，
显然直线BM为∠ABA′的角平分线，即直线A′B与BC重合，
则kA′B=−4−(−3)10−3=−17，所以直线BC的方程为y+3=−17(x−3)⇒x+7y+18=0．
18.解：(Ⅰ)以半圆的直径所在直线为x轴，圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系，则半圆的方程为x2+y2=25(y≤0)，
椭圆的短半轴b=5，ca= 32，b2=a2−c2，所以a2=100，b2=25．
所以半椭圆方程为x225+y2100=1 (y≥0)．
(Ⅱ)设第一象限内的点A的横坐标为m(0AD= 25−m2+ 100(1−m225)=3 25−m2，
由ADAB=0.6得3 25−m22m=35，
解得m=25 2929，
此时AB=50 2929．
答：达到最佳美观的效果时AB为50 2929．
19.解：(1)不妨设M(x,y)，
因为|MB|=2|MA|，
所以 (x−4)2+y2=2 (x−1)2+y2，
整理得3x2+3y2=12，
即x2+y2=4，
则C的轨迹方程为x2+y2=4；
(2)证明：当直线l与x轴重合时，∠PBA=∠QBA=0，
当直线l与x轴不重合时，
不妨设直线l的方程为x=my+1，P(x1,y1)Q(x2,y2)，
联立x=my+1x2+y2=4，消去x并整理得(m2+1)y2+2my−3=0，
由韦达定理得y1+y2=−2mm2+1，y1y2=−3m2+1，
此时直线PB，QB的斜率之和为kPB+kQB=y1x1−4+y2x2−4，
由x1=my1+1，x2=my2+1，
所以kPB+kQB=2my1y2−3(y1+y2)(my1−3)(my2−3)，
即2my1y2−3(y1+y2)=−6m+6mm2+1=0，
则kPB+kQB=0，
所以直线PB，QB的倾斜角互补，
此时∠PBA=∠QBA，
综上，∠PBA=∠QBA．