2024年江苏省无锡市各地九年级数学第一学期开学检测模拟试题【含答案】

这是一份2024年江苏省无锡市各地九年级数学第一学期开学检测模拟试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）将直线y＝﹣4x向下平移2个单位长度，得到的直线的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣4x﹣2B．y＝﹣4x+2C．y＝﹣4x﹣8D．y＝﹣4x+8
2、（4分）甲队修路120 m与乙队修路100 m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是
A．B．C．D．
3、（4分）在直角坐标系中，线段是由线段平移得到的，已知则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）有一组数据：3，3，5，6，1．这组数据的众数为（ ）
A．3B．5C．6D．1
5、（4分）如图，已知AB=10，点C，D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是（ ）．
A．6B．5C．4D．3.
6、（4分）下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
7、（4分）已知甲，乙两组数据的折线图如图所示，设甲，乙两组数据的方差分别为，，则与大小关系为（ ）
A．B．
C．D．不能确定
8、（4分）下列说法中正确的是（ ）
A．在△ABC中，AB2+BC2＝AC2
B．在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2
C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB2+BC2＝AC2
D．AB、BC、AC是△ABC的三边，若AB2+BC2＝AC2，则△ABC是直角三角形
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）化简：______.
10、（4分）化简：______．
11、（4分）点P（m+2，2m+1）向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上，则m＝_____．
12、（4分）计算的结果等于__________．
13、（4分）若一个正多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）计算：
（1）；
（2）；
（3）先化简再求值，其中，.
15、（8分）已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过O点的两直线OE、OF互相垂直，分别交AB、BC于E、F，连接EF．
（1）求证：OE=OF；
（2）若AE=4，CF=3，求EF的长；
（3）若AB=8cm，请你计算四边形OEBF的面积．
16、（8分）感知：如图①，在平行四边形中，对角线、交于点．过点的直线分别交边、于点、．易证：（不需要证明）．

探究：若图①中的直线分别交边、的延长线于点、，其它条件不变，如图②．
求证：．
应用：在图②中，连结．若，，，,则的长是__________，四边形的面积是__________．
17、（10分）如图，梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE.求证AC=CE.
18、（10分）长沙市的“口味小龙虾”冠绝海内外，如“文和友老长沙龙虾馆”订单排队上千号．某衣贸市场甲、乙两家农贸商店售卖小龙虾，甲、乙平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“中非贸易博览会”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲，y乙（单位：元）与原价x（单位：元）之间的函数关系如图所示．
（1）请求出y甲，y乙关于x的函数关系式；
（2）“中非贸易博览会”期间，如果你是龙虾馆采购员，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，是用形状、大小完全相同的等腰梯形镶嵌的图案，则这个图案中的等腰三角形的底角（指锐角）的度数是_____.
20、（4分）定义运算“★”：对于任意实数 ，都有 ，如：．若，则实数 的值是_____．
21、（4分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上，若CE=，且∠ECF=45°，则CF的长为__________．
22、（4分）已知一次函数与的图象交于点P，则点P的坐标为______．
23、（4分）将直线y=2x-3向上平移5个单位可得______直线．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)每分钟进水、出水各多少升？
25、（10分）如图1，在正方形和正方形中，边在边上，正方形绕点按逆时针方向旋转
（1）如图2，当时，求证：；
（2）在旋转的过程中，设的延长线交直线于点．①如果存在某一时刻使得，请求出此时的长；②若正方形绕点按逆时针方向旋转了，求旋转过程中，点运动的路径长．
26、（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°， AC＝4.5cm． M是边AC上的一个动点，连接MB，过点M作MB的垂线交AB于点N． 设AM=x cm，AN=y cm．（当点M与点A或点C重合时，y的值为0）
探究函数y随自变量x的变化而变化的规律．
（1） 通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组对应值，如下表：
（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系xOy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AN=AM时，AM的长度约为 cm（结果保留一位小数）．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
上下平移时k值不变，b值是上加下减，依此求解即可．
【详解】
解：将直线y＝﹣4x向下平移2个单位长度，得到直线y＝﹣4x﹣2；
故选：A．
此题考查了一次函数图象与几何变换．要注意求直线平移后的解析式时k的值不变，只有b发生变化．
2、A
【解析】
甲队每天修路xm，则乙队每天修（x－10）m，因为甲、乙两队所用的天数相同，
所以，.
故选A.
3、B
【解析】
根据点A和点A′的坐标判断出平移方式，根据平移方式可得点的坐标．
【详解】
解：∵点A的坐标为（−2，3），A′的坐标为（3，4），
∴线段AB向上平移1个单位，向右平移5个单位得到线段A′B′，
∵点B的坐标为（−3，1），
∴点B′的坐标为（2，2），
故选：B．
此题主要考查了坐标与图形变化—平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
4、A
【解析】
根据众数的概念进行求解即可得答案．
【详解】
解：这组数据中3出现的次数最多，出现了2次，
则众数为3，
故选A．
本题考查了众数的概念，熟练掌握“一组数据中出现次数最多的数据叫做众数”是解题的关键．
5、D
【解析】
分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出G为PH中点，则G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出MN的长度即可．
【详解】
如图，分别延长AE、BF交于点H．
∵∠A=∠FPB=60°，
∴AH∥PF，
∵∠B=∠EPA=60°，
∴BH∥PE，
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分．
∵G为EF的中点，
∴G也正好为PH中点，
即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，
所以G的运行轨迹为三角形HCD的中位线MN．
∵CD=10-2-2=6，
∴MN=1，即G的移动路径长为1．
故选D．
本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，以及中位线的性质，确定出点G的运动轨迹是解答本题的关键．
6、D
【解析】
结合中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可．
【详解】
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
D、既是中心对称图形，又是轴对称图形．故本选项正确；
故选：D．
本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
7、A
【解析】
通过折线统计图中得出甲、乙两个组的各个数据，进而求出甲、乙的平均数，甲、乙的方差，进而做比较得出答案．
【详解】
甲的平均数：（3+6+2+6+4+3）÷6=4，乙的平均数：（4+3+5+3+4+5）÷6=4，[（3﹣4）2+（6﹣4）2+（2﹣4）2+（6﹣4）2+（4﹣4）2+（3﹣4）2]≈2.33，[（4﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2]≈0.1．
∵2.33＞0.1，∴．
故选A．
本题考查了折线统计图、平均数、方差的计算方法和各个统计量的所反映数据的特征，掌握平均数、方差的计算公式是正确解答的前提．
8、D
【解析】
根据勾股定理即可解答
【详解】
A、在△ABC中，不一定能够得到AB2+BC2＝AC2，故选项错误；
B、在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB2+BC2＝AC2，故选项错误；
C、在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB2+BC2＝AC2，故选项错误；
D、AB、BC、AC是△ABC的三边，若AB2+BC2＝AC2，则△ABC是直角三角形，故选项正确．
故选：D．
此题考查勾股定理，解题关键在于掌握勾股定理的内容
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
根据二次根式的性质化简即可．
【详解】
．
故答案为．
本题考查了二次根式的化简．注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式．
10、3
【解析】
分析：根据算术平方根的概念求解即可.
详解：因为32=9
所以=3.
故答案为3.
点睛：此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方.
11、-3
【解析】
点P（m+2，2m+1）向右平移1个单位长度后 ，正好落在y轴上，则
12、1
【解析】
分析：先运用用平方差公式把括号展开，再根据二次根式的性质计算可得．
详解：原式=（）2-（）2
=6-1
=1，
故答案为：1．
点睛：本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键．
13、8
【解析】
解：设边数为n，由题意得，
180（n-2）=3603
解得n=8.
所以这个多边形的边数是8.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）；（2）；（3），2.
【解析】
（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果；
（3）原式利用平方差公式，多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：（1）
；
（2）
；
（3）
当，时，
原式.
故答案为：（1）；（2）；（3），2.
本题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
15、（1）见解析；（2）EF=5；（3）16cm2
【解析】
（1）根据正方形的性质可得OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，再利用同角的余角相等得到∠BOE=∠COF，从而推出△OBE≌△OCF，即可得OE=OF；
（2）由（1）中的全等三角形可得BE=CF=3，由正方形的性质可知AB=BC，推出BF=AE=4，再根据勾股定理求出EF即可；
（3）由（1）中的全等三角形可将四边形OEBF的面积转化为△OBC的面积，等于正方形面积的四分之一．
【详解】
（1）∵四边形ABCD为正方形
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，BD⊥AC
∴∠BOF+∠COF=90°，
∵OE⊥OF
∴∠BOF+∠BOE=90°
∴∠BOE=∠COF
在△OBE和△OCF中，
∵∠OBE=∠OCF，OB=OC，∠BOE=∠COF
∴△OBE≌△OCF（ASA）
∴OE=OF
（2）∵△OBE≌△OCF
∴BE=CF=3，
∵四边形ABCD为正方形
∴AB=BC
即AE+BE=BF+CF
∴BF=AE=4
∴EF=
（3）∵△OBE≌△OCF
∴S四边形OEBF=S△OBE+S△OBF
=S△OCF+ S△OBF
=S△BOC
=S正方形ABCD
=
=16cm2
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握正方形的性质得出全等三角形的条件是解题的关键．
16、探究：证明见解析；应用：10，26
【解析】
探究：根据平行四边形的性质得到AB∥CD，OB=OD，根据AAS可证明△BOE≌△DOF．
应用：根据平行四边形的性质、梯形的面积公式计算即可．
【详解】
探究：如图②．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OD=OB，∴∠ODF=∠OBE，∠E=∠F．
在△BOE和△DOF中，∵，∴△BOE≌△DOF（AAS）．
应用：
∵∠ADB=90°，AB=10，AD=6，∴BD1．
∵BE=BC，BC=AD=6，∴BE=2．
∵AD∥BE，∴BD⊥CE．在Rt△OBE中，OBBD=4，BE=2，∴OE=5，由探究得：△BOE≌△DOF，∴OE=OF=5，∴EF=10，四边形AEBD的面积26．
故答案为：10，26．
本题是四边形的综合题，考查的是平行四边形的性质、勾股定理、梯形的面积计算，掌握平行四边形的性质定理是解题的关键．
17、证明见解析
【解析】
本题主要考查了等腰梯形的性质及全等三角形的判定方法. 根据等腰梯形的性质利用SAS判定△ADC≌△CBE，从而得到AC=CE
证明：在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠CDA=∠BCD．
又∵DC∥AB，
∴∠BCD=∠CBE，
∵AD=BC，DC=BE，
∴△ADC≌△CBE，
故AC=CE．
18、 (1) y甲＝0.8x；y乙＝；（2）见解析
【解析】
（1）结合图象，利用待定系数法即可求出y甲，y乙关于x的函数关系式即可；（2）当0＜x＜2000时，显然到甲商店购买更省钱；当x≥2000时，分三种情况进行讨论求解即可．
【详解】
（1）设y甲＝kx，把（2000，1600）代入，
得2000k＝1600，解得k＝0.8，
所以y甲＝0.8x；
当0＜x＜2000时，设y乙＝ax，
把（2000，2000）代入，得2000a＝2000，解得a＝1，
所以y乙＝x；
当x≥2000时，设y乙＝mx+n，
把（2000，2000），（4000，3400）代入，得
，
解得，
．
所以y乙＝；
（2）当0＜x＜2000时，0.8x＜x，到甲商店购买更省钱；
当x≥2000时，若到甲商店购买更省钱，则0.8x＜0.7x+600，解得x＜6000；
若到乙商店购买更省钱，则0.8x＞0.7x+600，解得x＞6000；
若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8x＝0.7x+600，解得x＝6000；
故当购买金额按原价小于6000元时，到甲商店购买更省钱；
当购买金额按原价大于6000元时，到乙商店购买更省钱；
当购买金额按原价等于6000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样．
本题考查了一次函数的实际应用，正确求得付款金额y甲，y乙与原价x之间的函数关系式是解决问题的关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、60°
【解析】
本题主要考查了等腰梯形的性质，平面镶嵌（密铺）．关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
【详解】
解：由图可知，铺成的一个图形为平行四边形，而原图形为等腰梯形，则现铺成的图形的底角为：180°÷3=60°．
故答案为60°．
20、3或﹣1．
【解析】
根据新定义运算法则得到关于x的方程，通过解方程来求x的值．
【详解】
解：依题意得：（x﹣1）2+3=7，
整理，得（x﹣1）2=4，
直接开平方，得x﹣1=±2，
解得x1=3，x2=﹣1．
故答案是：3或﹣1．
本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握新定义a★b=a2+b，此题难度不大．
21、
【解析】
如图，延长FD到G，使DG=BE；
连接CG、EF；
∵四边形ABCD为正方形，
在△BCE与△DCG中，
，∴△BCE≌△DCG(SAS)，
∴CG=CE，∠DCG=∠BCE，∴∠GCF=45°，
在△GCF与△ECF中，
，∴△GCF≌△ECF(SAS)，∴GF=EF，
∵CE=3，CB=6，∴BE=，∴AE=3，
设AF=x,则DF=6−x,GF=3+(6−x)=9−x，
∴EF= ，∴(9−x)²=9+x²，∴x=4，即AF=4，
∴GF=5，∴DF=2，
∴CF= = ,
故答案为：.
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的知识点，构建三角形，利用方程思想是解答本题的关键.
22、 (3,0)
【解析】
解方程组，可得交点坐标.
【详解】
解方程组
，
得
，
所以，P(3,0)
故答案为(3,0)
本题考核知识点：求函数图象的交点. 解题关键点：解方程组求交点坐标.
23、y=1x+1
【解析】
根据平移前后两直线解析式中k值相等，b的值上加下减即可得出结论．
【详解】
解：原直线的k=1，b=-3；向上平移5个单位长度，得到了新直线，
那么新直线的k=1，b=-3+5=1．
∴新直线的解析式为y=1x+1．
故答案是：y=1x+1．
此题考查的是求直线平移后的解析式，掌握直线的平移规律是解决此题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）；（2）每分钟进水、出水各5L，L．
【解析】
（1）根据题意和函数图象可以求得y与x的函数关系式；
（2）根据函数图象中的数据可以求得每分钟进水、出水各多少升．
【详解】
解：（1）当0≤x≤4时，设y关于x的函数解析式是y＝kx，
4k＝20，得k＝5，
即当0≤x≤4时，y与x的函数关系式为y＝5x，
当4＜x≤12时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，
，得，
即当4≤x≤12时，y与x的函数关系式为，
由上可得，；
（2）进水管的速度为：20÷4＝5L/min，
出水管的速度为： L/min，
答：每分钟进水、出水各5L， L．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
25、（1）见详解;(2) ;.
【解析】
（1）由正方形的性质得出AD＝AB，AG＝AE，∠BAD＝∠EAG＝90°，由∠BAE＋∠EAD＝∠BAD，∠DAG＋∠EAD＝∠EAG，推出∠BAE＝∠DAG，由SAS即可证得△DAG≌△BAE；
（2）①由AB＝2，AE＝1，由勾股定理得AF＝AE＝，易证△ABF是等腰三角形，由AE＝EF，则直线BE是AF的垂直平分线，设BE的延长线交AF于点O，交AD于点H，则OE＝OA＝，由勾股定理得OB=，由cs∠ABO＝，cs∠ABH＝，求得BH＝，由勾股定理得AH＝=，则DH＝AD−AH＝2−，由∠DHP＝∠BHA，∠BAH＝∠DPH＝90°，证得△BAH∽△DPH，得出，即可求得DP；
②由△DAG≌△BAE，得出∠ABE＝∠ADG，由∠BPD＝∠BAD＝90°，则点P的运动轨迹为以BD为直径的，由正方形的性质得出BD＝AB＝2，由正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转了60°，得出∠BAE＝60°，由AB＝2AE，得出∠BEA＝90°，∠ABE＝30°，B、E、F三点共线，同理D、F、G三点共线，则P与F重合，得出∠ABP＝30°，则所对的圆心角为60°，由弧长公式即可得出结果．
【详解】
解答：（1）证明：在正方形ABCD和正方形AEFG中，AD＝AB，AG＝AE，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∵∠BAE＋∠EAD＝∠BAD，∠DAG＋∠EAD＝∠EAG，
∴∠BAE＝∠DAG，
在△DAG和△BAE中，
，
∴△DAG≌△BAE（SAS）；
∴BE＝DG；
（2）解：①∵AB＝2AE＝2，
∴AE＝1，
由勾股定理得，AF＝AE＝，
∵BF＝BC＝2，
∴AB＝BF＝2，
∴△ABF是等腰三角形，
∵AE＝EF，
∴直线BE是AF的垂直平分线
，设BE的延长线交AF于点O，交AD于点H，如图3所示：
则OE＝OA＝，
∴OB=，
∵cs∠ABO＝，cs∠ABH＝，
∴BH＝，
AH＝=，
∴DH＝AD−AH＝2−，
∵∠DHP＝∠BHA，∠BAH＝∠DPH＝90°，
∴△BAH∽△DPH，
∴，
即
∴DP＝；
②
∵△DAG≌△BAE，
∴∠ABE＝∠ADG，
∵∠BPD＝∠BAD＝90°，
∴点P的运动轨迹为以BD为直径的，
BD＝AB＝2，
∵正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转了60°，
∴∠BAE＝60°，
∵AB＝2AE，
∴∠BEA＝90°，∠ABE＝30°，
∴B、E、F三点共线，
同理D、F、G三点共线，
∴P与F重合，
∴∠ABP＝30°，
∴所对的圆心角为60°，
∴旋转过程中点P运动的路线长为：.
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、三角函数等知识，综合性强，难度大，知识面广．
26、（1）1.1； （2）详见解析；（3）3.1．
【解析】
（1）如图，作辅助线：过N作NP⊥AC于P，证明△NPM∽△MCB，列比例式可得结论；
（2）描点画图即可；
（3）同理证明△NPM∽△MCB，列比例式，解方程可得结论．
【详解】
解：（1）如图，过N作NP⊥AC于P，
Rt△ACB中，∠CAB＝30°， AC＝1.5cm．
∴BC=
当x=2时，即AM=2，
∴MC=2.5，
∵∠NMB=90°，
易得△NPM∽△MCB，
∴ = ，
设NP=5a，PM=9a，则AP=15a，AN=10a，
∵AM=2，
∴15a+9a=2，
a= ，
∴y=AN=10×1.73×≈1.1；
故答案为1.1；
（2）如图所示：
（3）设PN=a，则AN=2a，AP=a，
∵AN=AM，∴AM=1a,
如图，由（1）知：△NPM∽△MCB，
∴，即 ，
解得：a≈0.81，
∴AM=1a=1×0.81=3.36≈3.1（cm）．
故答案为（1）1.1； （2）详见解析；（3）3.1．
本题是三角形与函数图象的综合题，主要考查了含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，函数图象的画法，直角三角形的性质，勾股定理，并与方程相结合，计算量比较大．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
x/cm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
y/cm
0
0.4
0.8
1.2
1.6
1.7
1.6
1.2
0
x/cm
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
1
1.5
y/cm
0
0.1
0.8
1.2
1.1
1.6
1.7
1.6
1.2
0