2024年江西省抚州市临川区第四中学数学九年级第一学期开学学业水平测试试题【含答案】

这是一份2024年江西省抚州市临川区第四中学数学九年级第一学期开学学业水平测试试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，在这个问题中：
①a是常量时，y是变量；
②a是变量时，y是常量；
③a是变量时，y也是变量；
④a，y可以都是常量或都是变量．
上述判断正确的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
2、（4分）在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度与下滑的时间的关系如下表：
下列结论错误的是（ ）
A．当时，约秒
B．随高度增加，下滑时间越来越短
C．估计当时，一定小于秒
D．高度每增加了，时间就会减少秒
3、（4分）根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
4、（4分）如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ）
A．点MB．格点NC．格点PD．格点Q
5、（4分）设a，b是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：
①若a@b=0，则a=0或b=0
②a@（b+c）=a@b+a@c
③不存在实数a，b，满足a@b=a2+5b2
④设a，b是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b时，a@b最大．
其中正确的是（ ）
A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③
6、（4分）使等式成立的x的值是（ ）
A．是正数B．是负数C．是0D．不能确定
7、（4分）在□ABCD中，∠A、∠B的度数之比为5∶4，则∠C等于（ ）
A．60°B．80°C．100°D．120°
8、（4分）下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB∥CD，AD = BC；B．∠B = ∠C；∠A = ∠D，
C．AB =CD，CB = AD；D．AB = AD，CD = BC
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若3是关于x的方程x2－x＋c＝0的一个根，则方程的另一个根等于____．
10、（4分）如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，有以下四个结论①MN∥BC；②MN=AM；③四边形MNCB是矩形；④四边形MADN是菱形，以上结论中，你认为正确的有_____________（填序号）．
11、（4分）化简：___________.
12、（4分）已知一次函数y＝﹣2x+4，完成下列问题：
（1）在所给直角坐标系中画出此函数的图象；
（2）根据函数图象回答：
方程﹣2x+4＝0的解是______________；当x_____________时，y＞2；当﹣4≤y≤0时，相应x的取值范围是_______________．
13、（4分）如图，在中，，、分别是、的中点，延长到点，使，则_____________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，平行四边形的顶点分别在轴和轴上，顶点在反比例函数的图象上，求平行四边形的面积．
15、（8分）解分式方程：（1）； （2）.
16、（8分）如图，在□ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G．
（1）求证：BE⊥CF；
（2）若AB=a，CF=b，写出求BE的长的思路．
17、（10分）如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于)两点与x轴，y轴分别交于A、B(0，2)两点，如果的面积为6.
(1)求点A的坐标;
(2)求一次函数和反比例函数的解析式;
(3)如图2，连接DO并延长交反比例函数的图象于点E，连接CE，求点E的坐标和的面积
18、（10分）已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2），
（1）求这两个函数的关系式；
（2）观察图象，写出使得＞ax+b成立的自变量x的取值范围；
（3）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，在平面内有点D，使得以A，O，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出符合条件的所有D点的坐标．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）某种细菌的直径约为0.00 000 002米，用科学记数法表示该细菌的直径约为____米.
20、（4分）如图，在平行四边形中，已知，，，点在边上，若以为顶点的三角形是等腰三角形，则的长是_____．
21、（4分）若一个直角三角形的其中两条边长分别为6和8，则第三边长为_____．
22、（4分）关于 x 的方程 (a≠0)的解 x＝4，则的值为__．
23、（4分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点；若AD=8cm，则OE的长为_______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动.
（1）奋进小组用图1中的矩形纸片ABCD，按照如图2所示的方式，将矩形纸片沿对角线AC折叠，使点B落在点处，则与重合部分的三角形的类型是________.
（2）勤学小组将图2中的纸片展平，再次折叠，如图3，使点A与点C重合，折痕为EF，然后展平，则以点A、F、C、E为顶点的四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
（3）创新小组用图4中的矩形纸片ABCD进行操作，其中，，先沿对角线BD对折，点C落在点的位置，交AD于点G，再按照如图5所示的方式折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M．则EM的长为________cm.
25、（10分）已知弹簧在一定限度内，它的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）是一次函数关系．
下表中记录的是两次挂不同重量重物的质量（在弹性限度内）与相对应的弹簧长度：
求不挂重物时弹簧的长度．
26、（12分）某校要设计一座高的雕像(如图)，使雕像的点(肚脐)为线段(全身)的黄金分割点，上部(肚脐以上)与下部(肚脐以下)的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为______(结果精确到)米． (，结果精确到)．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
由题意得：y=3a，
此问题中a、y都是变量，3是常量，或a，y都是常量，则③④，
故选B.
2、D
【解析】
一个用图表表示的函数，根据给出的信息，对四个选项逐一分析，即可解答．
【详解】
A选项：当h=40时，t约2.66秒；
B选项：高度从10cm增加到50cm，而时间却从3.25减少到2.56；
C选项：根据B中的估计，当h=80cm时，t一定小于2.56秒；
D选项：错误，因为时间的减少是不均匀的；
故选：D．
考查了函数的概念，函数的定义：设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作y=f（x）．
3、A
【解析】
原方程变形为：x²-2x=0，
∵△=(-2)²- 4×1×0=4＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选A．
4、B
【解析】
此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心．
【详解】
解：如图，连接N和两个三角形的对应点；

发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心；
故选B．
熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在．
5、C
【解析】
根据新定义可以计算出啊各个小题中的结论是否成立，从而可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以得到哪个选项是正确的．
【详解】
①根据题意得：a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2 ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=0，
整理得：（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）=0，即4ab=0， 解得：a=0或b=0，正确；
②∵a@（b+c）=（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2=4ab+4ac
a@b+a@c=（a+b）2﹣（a﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2=4ab+4ac， ∴a@（b+c）=a@b+a@c正确；
③a@b=a2+5b2，a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2， 令a2+5b2=（a+b）2﹣（a﹣b）2， 解得，a=0，b=0，故错误；
④∵a@b=（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab， （a﹣b）2≥0，则a2﹣2ab+b2≥0，即a2+b2≥2ab，
∴a2+b2+2ab≥4ab， ∴4ab的最大值是a2+b2+2ab，此时a2+b2+2ab=4ab， 解得，a=b，
∴a@b最大时，a=b，故④正确，
考点：(1)、因式分解的应用；(2)、整式的混合运算；(3)、二次函数的最值
6、C
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0即可得出答案．
【详解】
根据题意有
解得 ，
故选：C．
本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
7、C
【解析】
试题分析：根据平行四边形的性质可得∠A、∠B互补，从而可求得∠A的度数，即可得到结果.
∵□ABCD
∴∠A+∠B =180°
∵∠A、∠B的度数之比为5∶4
∴∠C =∠A=100°
故选C.
考点：平行四边形的性质
点评：解题的关键是熟练掌握平行四边形的邻角互补、对角相等.
8、C
【解析】
根据平行四边形的判定方法逐项判断即可.
【详解】
解：A、AB∥CD，AD = BC，如等腰梯形，不能判断是平行四边形，故本选项错误；
B、∠B = ∠C，∠A =∠D，不能判断是平行四边形，如等腰梯形，故本选项错误；
C、AB=CD，CB = AD，两组对边分别相等，可判断是平行四边形，正确；
D、AB = AD，CD = BC，两组邻边分别相等，不能判断是平行四边形；
故选C.
本题考查的是平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、-1
【解析】已知3是关于x的方程x1-5x+c=0的一个根，代入可得9-3+c=0，解得，c=-6；所以由原方程为x1-5x-6=0，即（x+1）（x-3）=0，解得，x=-1或x=3，即可得方程的另一个根是x=-1．
10、①②④
【解析】
根据四边形ABCD是平行四边形，可得∠B=∠D，再根据折叠可得∠D=∠NMA，再利用等量代换可得∠B=∠NMA，然后根据平行线的判定方法可得MN∥BC；证明四边形AMND是平行四边形，再根据折叠可得AM=DA，进而可证出四边形AMND为菱形，再根据菱形的性质可得MN=AM，不能得出∠B=90°；即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵根据折叠可得∠D=∠NMA，
∴∠B=∠NMA，
∴MN∥BC；①正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DN∥AM，AD∥BC，
∵MN∥BC，
∴AD∥MN，
∴四边形AMND是平行四边形，
根据折叠可得AM=DA，
∴四边形AMND为菱形，
∴MN=AM；②④正确；
没有条件证出∠B=90°，④错误；
故答案为①②④．
本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握翻折变换的性质、平行四边形和菱形以及矩形的判定是解题的关键．
11、
【解析】
根据二次根式的乘法，可得第二个空的答案；
【详解】
；
故答案为：.
此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于掌握运算法则.
12、（1）见解析；（2）x＝2，＜1，2≤x≤1
【解析】
（1）列表，描点，连线即可；
（2）利用函数图象得出y=0时，x的值；观察y＞2时，函数图象对应的x的取值；观察函数图象，即可确定当﹣1≤y≤0时，x对应的取值范围．
【详解】
（1）列表：
描点，连线可得：
（2）根据函数图象可得：
当y=0时，x=2，故方程﹣2x+1＝0的解是x=2；
当x＜1时，y＞2；
当﹣1≤y≤0时，相应x的取值范围是2≤x≤1．
故答案为：x=2；＜1；2≤x≤1．
本题考查的是作一次函数的图象及一次函数与不等式的关系，能把式子与图象结合起来是关键．
13、2
【解析】
连接EF、AE，证四边形AEFD是平行四边形，注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得AE长即可．
【详解】
连接EF，AE.
∵点E，F分别为BC，AC的中点，
∴EF∥AB,EF=AB.
又∵AD=AB，
∴EF=AD.
又∵EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形.
在Rt△ABC中，
∵E为BC的中点，BC=4，
∴AE=BC=2.
又∵四边形AEFD是平行四边形，
∴DF=AE=2.
本题主要考查了平行四边形判定，有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或则直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、3
【解析】
根据题意可知B点的横坐标和纵坐标分别是平行四边形的底和高，根据平行四边形的面积公式及反比例函数系数的几何意义，即可得出.
【详解】
∵平行四边形ABOC定点A、C分别在y轴和x轴上，顶点B在反比例函数y= 的图象上，设B点横坐标为a，则纵坐标为 ，
∴S平行四边形AB0C=AB∙OA=a∙=3，
故本题答案为：3.
本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及平行四边形的面积公式，根据反比例函数系数k的几何意义找出S平行四边形 ABOC=|k|.
15、（1）；（2）原方程无解.
【解析】
（1）先去分母，把分式方程变成整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可；
（2）先去分母，把分式方程变成整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可。
【详解】
解：（1）
方程两边都乘，得
解这个方程，得
经检验，是原方程的根.
（2）
解：方程两边都乘，得
解这个方程，得
经检验，是原方程的增根，原方程无解.
本题考查了解分式方程的应用,能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键.
16、 (1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【分析】（1）由平行四边形性质得AB∥CD， 可得∠ABC+∠BCD=180°，又BE，CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线，所以∠EBC+∠FCB=90°，可得∠BGC=90°；
（2）作EH∥AB交BC于点H，连接AH交BE于点P．证四边形ABHE是菱形，可知AH，BE互相垂直平分，在Rt△ABP中，由勾股定理可求BP，进而可求BE的长．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠ABC+∠BCD=180°．
∵BE，CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线，
∴∠EBC=∠ABC，∠FCB=∠BCD．
∴∠EBC+∠FCB=90°．
∴∠BGC=90°．
即BE⊥CF．
（2）求解思路如下：
a．如图，作EH∥AB交BC于点H，连接AH交BE于点P．
b．由BE平分∠ABC，可证AB=AE，进而可证四边形ABHE是菱形，可知AH，BE互相垂直平分；
c．由BE⊥CF，可证AH∥CF，进而可证四边形AHCF是平行四边形，可求AP=；
d．在Rt△ABP中，由勾股定理可求BP，进而可求BE的长．
【点睛】本题考核知识点：平行四边形，菱形. 解题关键点：熟记平行四边形和菱形的性质和判定.
17、（1）A(﹣4，0)；（2），；（3），8
【解析】
（1）由三角形面积求出OA=4，即可求得A（-4，0）．
（2）利用待定系数法即可求出一次函数的解析式，进而求得C点的坐标，把C点的坐标代入，求出m的值，得到反比例函数的解析式；
（3）先联立两函数解析式得出D点坐标，根据中心对称求得E点的坐标，然后根据三角形的面积公式计算△CED的面积即可．
【详解】
(1)如图1，
∵，
∴，
∴，
∵的面积为6，
∴，
∵，
∴OA＝4，
∴A(﹣4，0)；
(2)如图1，把代入得，
解得，
∴一次函数的解析式为，
把代入得，，
∴，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴m＝2×3＝6，
∴反比例函数的解析式为；
(3)如图2，作轴于F，轴于H，
解，得，，
∴，
∴，
∴＝
此题考查一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形面积的计算，注意数形结合的思想运用．
18、（2）y＝2x+2；（2）x＜﹣2或0＜x＜2；（3）（0，﹣4），（0，4）或（2，4）．
【解析】
（2）首先将A点坐标代入反比例函数，进而计算出k的值，再将B点代入反比例函数的关系式，求得参数m的值，再利用待定系数法求解一次函数的解析式.
（2）根据题意要使＞ax+b则必须反比例函数的图象在一次函数之上，观察图象即可得到x的取值范围.
（3）首先写出A、C的坐标，再根据对角为OC、OA、AC进行分类讨论.
【详解】
解：（2）将A（2，4）代入y＝，得：4＝k，
∴反比例函数的关系式为y＝；
当y＝﹣2时，﹣2＝，解得：m＝﹣2，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）．
将A（2，4），B（﹣2，﹣2）代入y＝ax+b，得： ，
解得：，
∴一次函数的关系式为y＝2x+2．
（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2或0＜x＜2时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴使得＞ax+b成立的自变量x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜2．
（3）∵点A的坐标为（2，4），
∴点C的坐标为（2，0）．
设点D的坐标为（c，d），分三种情况考虑，如图所示：
①当OC为对角线时， ，
解得： ，
∴点D2的坐标为（0，﹣4）；
②当OA为对角线时，
解得：
∴点D2的坐标为（0，4）；
③当AC为对角线时， ，
解得： ，
∴点D3的坐标为（2，4）．
综上所述：以A，O，C，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，点D的坐标为（0，﹣4），（0，4）或（2，4）．
本题主要考查反比例函数和一次函数的综合性问题,这类题目是考试的热点问题，综合性比较强，但是也很容易，应当熟练掌握.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
试题解析：0.00 000 002=2×10-8.
点睛：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
20、2或或
【解析】
分AB=BP，AB=AP，BP=AP三种情况进行讨论，即可算出BP的长度有三个.
【详解】
解：根据以为顶点的三角形是等腰三角形,可分三种情况
①若AB=BP
∵AB=2
∴BP=2
②若AB=AP
过A点作AE⊥BC交BC于E，
∵AB=AP，AE⊥BC
∴BE=EP
在Rt△ABE中
∵
∴AE=BE
根据勾股定理
AE2+BE2=AB2
即2BE2=4
解得BE=
∴BP=
③若BP=AP，则
过P点作PF⊥AB
∵AP=BP，PF⊥AB
∴BF=AB=1
在Rt△BFP中
∵
∴PF=BF=1
根据勾股定理
BP2=BF2+PF2
即BP2=1+1=2，
解得BP=
∵2，，都小于3
故BP=2或BP=或BP=.
本题主要考查了等腰三角形的性质和判定以及勾股定理，能利用分类讨论思想分三类情况进行讨论是解决本题的关键.BC=3在本题中的作用是BP的长度不能超过3，超过3的答案就要排除.
21、10或2
【解析】
本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【详解】
设第三边为x，
（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得，62+82＝x2解得：x＝10，
（2）若8是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得，62+x2＝82，解得．
故第三边长为10或．
故答案为：10或．
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解.
22、4
【解析】
将x=4代入已知方程求得b =4a，然后将其代入所以的代数式求值．
【详解】
∵关于x的方程 (a≠0)的解x=4，
∴，
∴b=4a，
∴= ，
故答案是：4.
此题考查分式方程的解，分式的化简求值，解题关键在于求得b =4a
23、4cm
【解析】
先说明OE是△ACD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解．
【详解】
∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OA=OC，
∵点E是CD的中点，
∴CE=DE，
∴OE是△ACD的中位线，
∵AD=8cm，
∴OE=AD=×8=4cm，
故答案为：4cm．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握相关的性质定理是解题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）等腰三角形（或钝角三角形）；（2）菱形，理由详见解析；（3）.
【解析】
（1）利用折叠的性质和角平分线定义即可得出结论；
（2）利用四边相等的四边形是菱形即可得出结论；
（3）由勾股定理可求BD的长，BG的长，AG的长，利用勾股定理和折叠的性质可得到结果。
【详解】
解：（1）等腰三角形（或钝角三角形）．
提示：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴．
由折叠知，，
∴，
∴重合部分的三角形是等腰三角形.
（2）菱形．
理由：如图，
连接AE、CF，设EF与AC的交点为M，
由折叠知，，，
∴，．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形．
（3）.
提示：∵点D与点A重合，得折痕EN，，，
∴.
在中，，
∴.
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴由勾股定理可得，
由折叠的性质可知，
∵，
∴，
∴，
∴，设，则．
由勾股定理得，即，
解得，即.
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。
25、不挂重物时弹簧的长度为1厘米
【解析】
弹簧总长y=挂上xkg的重物时弹簧伸长的长度+弹簧原来的长度，把相关数值代入即可．
【详解】
设长度y(厘米)与所挂重物质量x(千克)的一次函数关系式是：y=kx+b(k≠0)
将表格中数据分别代入为： ，
解得： ，
∴y=x+1，当x＝0时，y＝1．
答：不挂重物时弹簧的长度为1厘米
此题考查一次函数的应用，解题关键在于列出方程
26、
【解析】
设雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为（2-x）m．根据雕像上部与下部的高度之比等于下部与全部的高度比，列出方程求解即可．
【详解】
解：设雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为（2-x）m．
依题意，得
解得（不合题意，舍去）．
经检验，是原方程的根．
雕像下部设计的高度应该为：1.236m
故答案为：1.236m
本题考查了黄金分割的应用，利用黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
所挂重物质量x（千克）
2.5
5
弹簧长度y（厘米）
7.5
9
x
2
0
y＝﹣2x+1
0
1