山东省青岛市2023_2024学年高一数学上学期期中试题

这是一份山东省青岛市2023_2024学年高一数学上学期期中试题，共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试限定用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、座号、考号分别填写在试卷和答题纸规定的位置.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“”的否定是（）
A. B.
C. D.
2. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
3. 设，则“”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 函数的定义域为（）
A. B. C. D.
5. 已知函数，则 的大致图象是
A. B.
C. D.
6. 已知关于不等式的解集是，则不等式的解集是（）
A. B. C. D.
7. 当生物死亡后，它机体内原有的碳会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组织的碳含量作为一个单位，大约每经过年一个单位的碳衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳的含量不足死亡前的万分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳，那么死亡生物组织内的碳至少经过了（）个“半衰期”.（参考数据）
A. B. C. D.
8. 已知是奇函数，且在上是增函数，又，则解集为（）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若幂函数的图象过，下列说法正确的有（）
A. 且B. 是偶函数
C. 在定义域上是减函数D. 值域为
10. 已知，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 下列说法正确的为（）
A. 对任意实数，函数的图象必过定点
B.
C. 与关于原点对称
D. 函数在上单调递增
12. 设，且，则下列结论正确的是（）
A. 的最小值为B. 的最大值为1
C. 的最小值为D. 的最大值为6
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若，则=___________.
14. 命题：，.若为真命题，则实数的取值范围是_______.
15. 若lg 2＝a，lg 3＝b，则lg512等于________．
16. 已知函数是上单调函数，那么实数的取值范围是___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17化简求值：
（1）；
（2）.
18. 已知函数（且）的图象过点.
（1）求的值及的定义域；
（2）判断的奇偶性，并说明理由.
19. 已知二次函数满足，且.
（1）求的解析式；
（2）解关于的不等式.
20. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求的值；
（2）求函数的解析式；
（3）判断函数在区间上的单调性，并证明.
21. 截至2022年10月，杭州地铁运营线路共12条.杭州地铁经历了从无到有，从单线到多线，从点到面，从面到网，形成网格化运营，分担了公交客流，缓解了城市交通压力，激发出城市新活力.已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车的载客量与发车时间间隔t相关，当时，列车为满载状态，载客量为600人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为502人，记列车载客量为
（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时的载客量；
（2）若该线路每分钟净收益为（单位：元），则当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.
22. 设函数（，且）．
（1）若，证明是奇函数，并判断单调性（不需要证明）；
（2）若，求使不等式恒成立时，实数的取值范围；
（3）若，，且在上的最小值为，求实数的值．
五、附加题（本小题满分10分）
23. （1）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，若，则的值为___________.
（2）已知关于的方程有四个不同的实根，则的取值范围为___________.
青岛十七中2023-2024学年度第一学期期中阶段性检测
数学试题
命题人：李春娟审核人：王克辉、孙安涛
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试限定用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、座号、考号分别填写在试卷和答题纸规定的位置.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“”的否定是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由特称命题否定是全称命题判断.
【详解】由特称命题的否定是全称命题可得，“”的否定为“”.
故选：B
2. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式确定集合后再求交集即可．
【详解】由题意，，
所以．
故选：A．
3. 设，则“”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】求得不等式的解集，由此判断出充分、必要条件.
【详解】由得，即，所以“”是“” 充分不必要条件.
故选A.
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查绝对值不等式的解法，属于基础题.
4. 函数的定义域为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，函数有意义，则满足，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：B
5. 已知函数，则 的大致图象是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用特殊值、、，排除错误选项.
【详解】当时，，排除A，
当时，，排除D，
当时，，排除C，
故选B.
【点睛】从函数解析式结合选项，发现零点、单调性、奇偶性、过特殊点等性质，是求解函数图象问题的常见方法.
6. 已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的解集确定是方程的两个实数根，且，进而得，化简为，即可求得答案.
【详解】由题意关于的不等式的解集是，
可知是方程的两个实数根，且，
则，则，
故即，即或，
即不等式的解集是，
故选：C.
7. 当生物死亡后，它机体内原有的碳会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组织的碳含量作为一个单位，大约每经过年一个单位的碳衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳的含量不足死亡前的万分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳，那么死亡生物组织内的碳至少经过了（）个“半衰期”.（参考数据）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设生物组织内原有的碳含量为，经过n个半衰期后含量为，根据题意建立不等式求解即可.
【详解】由题意可设生物组织内原有的碳含量为，需要经过个半衰期才能不被测到碳，
则，即，
所以，，，
所以.
故选：B
8. 已知是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性以及在上的单调性确定函数值的正负情况，结合可得相应不等式组，即可求得答案.
【详解】因为定义在R上的奇函数在上单调递增，且，
所以在上也是单调递增，且，
所以当时， ，
当时，，
所以由可得或,
即 或，
解得 或 ，即的解集为，
故选：A.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及单调性的综合应用，考查抽象不等式的解法，解答时要明确函数的对称性质，进而判断函数值的正负情况，解答的关键时根据不等式结合函数值情况得到相应不等式组，求得结果.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若幂函数的图象过，下列说法正确的有（）
A. 且B. 偶函数
C. 在定义域上是减函数D. 的值域为
【答案】AB
【解析】
【分析】根据幂函数的定义可得，由经过可得，进而得，结合选项即可根据幂函数的性质逐一求解.
【详解】对于A;由幂函数定义知，将代入解析式得，A项正确；
对于B;函数的定义域为，且对定义域内的任意x满足，故是偶函数，B项正确；
对于C;在上单调递增，在上单调递减，C错误；
对于D;的值域不可能取到0，D项错误.
故选：AB
10. 已知，则下列选项正确的是（ ）
AB. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用可推导出，然后利用不等式的基本性质可判断各选项的正误.
【详解】由可得，，则，由不等式的性质可得，即.
对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，，则，B选项正确；
对于C选项，，则，即，C选项正确；
对于D选项，，由不等式的基本性质可得，D选项正确.
故选：BCD.
11. 下列说法正确的为（）
A. 对任意实数，函数的图象必过定点
B.
C. 与关于原点对称
D. 函数在上单调递增
【答案】BC
【解析】
【分析】根据指数函数图像及性质可判断，；结合奇函数性质可判断；根据复合函数单调性可判断.
【详解】对于，函数过定点，则，即，，故错误；
对于，，，因为，所以,而，
所以，故正确；
对于，令，则，
因为,所以，
同理，当时，也成立，
当时，,
综上所诉，与关于原点对称，故正确；
对于，令，则在上单调递减，
而单调递增，所以在上单调递减，故错误.
故选：.
12. 设，且，则下列结论正确的是（）
A. 的最小值为B. 的最大值为1
C. 的最小值为D. 的最大值为6
【答案】AC
【解析】
【分析】根据，且，结合基本不等式逐项求解最值即可判断正误.
【详解】解：对于A选项：，当成立，故A正确；
对于B选项：，由于，所以，当且仅当成立，故无最大值，故B错误；
对于C选项，，当时，又能取等号，故C正确；
对于D选项，，当成立，故最小值为6，故D错误.
故选：AC.
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若，则=___________.
【答案】1
【解析】
【分析】先求出，继而计算.
【详解】.
故答案为：1.
14. 命题：，.若为真命题，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，分离参数，再由二次函数最值，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，为真命题，
则在上恒成立，
令，，
则，所以，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
15. 若lg 2＝a，lg 3＝b，则lg512等于________．
【答案】
【解析】
【分析】先用换底公式把换成常用对数，再把真数12化为，利用对数运算法则.
【详解】解：
故答案为：.
16. 已知函数是上的单调函数，那么实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】分段函数单调，则每一段均单调，并且注意分界点位置高度判断.
【详解】∵函数是上的单调函数，
①是上的单调递增函数，
则，无解；
②是上的单调递减函数，
则，解得.
综上所述：的取值范围.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 化简求值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据分数指数幂以及根式的运算法则，化简求值，可得答案;
（2）根据对数的运算法则化简求值，可得答案.
【小问1详解】
;
【小问2详解】
.
18. 已知函数（且）的图象过点.
（1）求的值及的定义域；
（2）判断的奇偶性，并说明理由.
【答案】（1）,
（2）奇函数
【解析】
【分析】（1）代点求值，对数真数大于0求定义域.
（2）一求定义域是否关于原点对称，二找的关系.
【小问1详解】
已知函数（且）的图象过点，
∴，即.
又，即,
解得.
∴的定义域为.
【小问2详解】
为奇函数，理由如下：
由（1）知：，
的定义域为，定义域关于原点对称，
又，即，
∴为奇函数.
19. 已知二次函数满足，且.
（1）求的解析式；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】(1)设二次函数的解析式为()，根据题意利用待定系数法求出a、b、c即可；
(2)将原不等式化为，分类讨论，结合一元二次不等式的解法求出不等式当、、时的解集即可.
【小问1详解】
设，
由，得
又
，则，解得，
所以.
【小问2详解】
由已知，即，
即，
①当时，原不等式即为：，解得；
②当时，解得；
③当时，解得
综上，当时，不等式的解集为：，
当时，不等式的解集为：，
当时，不等式的解集为：.
20. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求的值；
（2）求函数的解析式；
（3）判断函数在区间上的单调性，并证明.
【答案】（1）
（2）
（3）在上单调递增；证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据函数解析式及函数是奇函数，先求出，进一步计算即可；
（2）根据函数是奇函数当时，，，求出解析式，根据奇函数的性质知，最后写成分段函数形式；
（3）根据函数性质判断函数的单调性，用单调性定义证明即可.
【小问1详解】
因为函数是定义在上的奇函数，
且当时，，
故，所以，
则
【小问2详解】
依题，当时，，
，
又，
故.
【小问3详解】
当时，
，
故函数在上单调递增，证明如下：
任取且，
则
，
因为且，
所以，
故，即
所以函数在上单调递增.
21. 截至2022年10月，杭州地铁运营线路共12条.杭州地铁经历了从无到有，从单线到多线，从点到面，从面到网，形成网格化运营，分担了公交客流，缓解了城市交通压力，激发出城市新活力.已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车的载客量与发车时间间隔t相关，当时，列车为满载状态，载客量为600人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为502人，记列车载客量为
（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时的载客量；
（2）若该线路每分钟净收益为（单位：元），则当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.
【答案】（1），发车时间间隔为5分钟时的载客量为550人
（2）当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大值为116元
【解析】
【分析】（1）由已知函数模型求出解析式，然后计算时的发车量；
（2）由（1）的函数式求出该线路每分钟净收益，然后分段求最大值，一段利用基本不等式，一段利用函数的单调性求解后比较可得．
【小问1详解】
当时，
当时，设而，，
∴，
，即发车时间间隔为5分钟时的载客量为550人.
【小问2详解】
当时
当且仅当，即时等号成立.
当时，单调递减，当时，取到最大为
当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大值为116元．
22. 设函数（，且）．
（1）若，证明是奇函数，并判断单调性（不需要证明）；
（2）若，求使不等式恒成立时，实数的取值范围；
（3）若，，且在上的最小值为，求实数的值．
【答案】（1）证明见解析，是减函数；
（2）(－3，5)； （3）2﹒
【解析】
【分析】(1)f(x)定义域为R关于原点对称，判断f(－x)与f(x)的关系，以此确定奇偶性；f(x)的单调性可以通过单调性的性质进行判断；
(2)利用条件，得到在R上单调递减，从而将转化为，进而得，研究二次函数得到结论；
(3)令，得到二次函数h(t)，分类讨论研究得到，得到结论．
【小问1详解】
证明：的定义域为，关于原点对称，
且，
∴为奇函数，
∵，∴递减，递减，故是减函数；
【小问2详解】
(且)，
∵，∴，
又，且，
∴，
故在上单调递减，
不等式化为，
∴，即恒成立，
∴，
解得；
【小问3详解】
∵，∴，即，
解得或(舍去)，
∴，
令，由(1)可知为增函数，
∵，∴，
令，
若，当时，，∴；
若时，当时，，解得，无解；
综上，．
五、附加题（本小题满分10分）
23. （1）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，若，则的值为___________.
（2）已知关于的方程有四个不同的实根，则的取值范围为___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据奇函数，为偶函数，可得出对称中心、对称轴，从而求出周期.
（2）分类讨论，方程有四个不同的实根转化为与图象交点问题即可.
【详解】（1）∵为奇函数，
∴即，
∴关于点对称，且即，
∵为偶函数，
∴；
∴关于直线对称，
∴周期为，
又，，则，.
∴，
.
（2）∵有四个不同的实根，
当时，显然在时，有四个不同的实根，
即，
∴，
即，即，
则有四个不同的实数解，
即与的图象有四个不同的交点.
∴，解得，
∴；
当时，无解；
当时，显然在时，有四个不同的实根，
即，
∴，
即，即，
则有四个不同的实数解，
即与的图象有四个不同的交点.
∴，无解；
综上所述：的取值范围为.
故答案为：4046；