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    江苏省2023_2024学年高二数学上学期11月期中试题含解析

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    江苏省2023_2024学年高二数学上学期11月期中试题含解析

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    这是一份江苏省2023_2024学年高二数学上学期11月期中试题含解析,共20页。
    2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上(使用机读卡的用2B铅笔在机读卡上填涂),非选择题一律在答题卡上作答,在试卷上答题无效.
    3.考试结束后,请将机读卡和答题卡交监考人员.
    一.单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项是最符合题意的.(请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.)
    1. 经过、两点的直线的倾斜角为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】求出直线的斜率,利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出结果.
    【详解】设直线的倾斜角为,则,且,故.
    故选:B.
    2. 抛物线的准线方程是,则实数的值为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据抛物线的准线求得的值
    【详解】由题意可得:,则
    故选:B
    3. 已知是椭圆上的点,则的值可能是()
    A. 13B. 14C. 15D. 16
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据题意,可设,得到,求得的取值范围,即可求解.
    【详解】由椭圆,可设,其中,
    则,其中,
    因为,所以,
    即的取值范围为,结合选项,可得A符合题意.
    故选:A.
    4. 若点在圆的外部,则a的取值范围是()
    AB. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算.
    【详解】依题意,方程可以表示圆,则,得;
    由点在圆的外部可知:,得.
    故.
    故选:C
    5. 已知是椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于两点,则的周长为()
    A. 10B. 16C. 20D. 26
    【答案】C
    【解析】
    【分析】由椭圆的定义可得,,代入即可求出答案.
    【详解】由椭圆的定义可得:,,
    则的周长为:
    .
    故选:C.
    6. 已知抛物线,直线与交于A,两点,是射线上异于A,的动点,圆与圆分别是和的外接圆(为坐标原点),则圆与圆面积的比值为( )
    A. 小于1B. 等于1
    C. 大于1D. 与点的位置有关
    【答案】B
    【解析】
    【分析】求出的坐标,由对称性可得,,设,的外接圆半径为,由正弦定理得到,,故,故面积比值为1.
    【详解】由题意得,抛物线的焦点坐标为,
    将代入中,,不妨令,
    由对称性可知两点关于轴对称,,,
    设,的外接圆半径为,
    当点在点上方时,,
    当点在点上方时,,
    同理,
    因为,所以,
    所以圆圆面积的比值为1.
    故选:B
    7. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studi设计的南非双曲线大教堂惊艳世界,该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线​​下支的一部分,且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2,离心率为2,则该双曲线的方程为()
    A. ​B. ​
    C. ​D. ​
    【答案】B
    【解析】
    【分析】首先根据题意得到,再解方程组即可.
    【详解】设双曲线的一个焦点为,一条渐近线方程为,
    则焦点到渐近线的距离,
    所以,即双曲线方程为:.
    故选:B
    8. 已知点,若过点的直线与圆交于、两点,则的最大值为()
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】设中点,根据垂径定理可得点的轨迹方程,进而可得的取值范围,又,即可得解.
    【详解】设中点,则,,
    所以,
    即,
    所以点的轨迹为以为圆心,为半径的圆,
    所以,,
    所以,
    又,
    所以的最大值为,
    故选:A.
    二.多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.(请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中. )
    9. 已知直线,其中,则( )
    A. 直线过定点
    B. 当时,直线与直线垂直
    C. 当时,直线在两坐标轴上的截距相等
    D. 若直线与直线平行,则这两条平行直线之间的距离为
    【答案】ABD
    【解析】
    【分析】坐标代入方程检验判断A,根据垂直的条件判断B,求出两坐标轴上截距判断C,求出平行线间距离判断D.
    【详解】选项A,把坐标代入直线方程而立,A正确;
    选项B,时直线方程为,斜率是1,直线斜率是,两直线垂直,B正确;
    选项C,时直线方程为,在轴上截距为,在轴上截距为,不相等,C错;
    选项D,即或时,直线方程为与直线平行,距离为,D正确.
    故选:ABD.
    10. 已知椭圆的两个焦点分别为,与轴正半轴交于点,下列选项中给出的条件,能够求出椭圆标准方程的选项是()
    A
    B. 已知椭圆的离心率为,短轴长为2
    C. 是等边三角形,且椭圆的离心率为
    D. 设椭圆的焦距为4,点在圆上
    【答案】ABD
    【解析】
    【分析】逐项代入分析即可求解.
    【详解】根据之间的关系即可求解,故选项A正确;
    根据即可求解,故选项B正确;
    是等边三角形,且椭圆的离心率为,只能确定,不能求椭圆标准方程,故选项C不正确;
    设椭圆的焦距为4,点在圆上,所以,即可求出椭圆标准方程,故选项D正确.
    故选:ABD.
    11. 抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F,一束平行于x轴的光线从点射入,经过抛物线上的点反射后,再经抛物线上另一点反射后,沿直线射出,则下列结论中正确的是( )
    A. B.
    C. D. 与之间的距离为4
    【答案】BC
    【解析】
    【分析】由抛物线的光学性质可知,直线过焦点,设直线,代入,由韦达定理得,进而求得,可判断B;先求点的坐标,再结合可得点的坐标,然后利用斜率公式即可判断A;根据抛物线的定义可知,可判断C;由于与平行,所以与之间的距离,可判断D.
    【详解】由抛物线的光学性质可知,直线过焦点,设直线,
    代入得,则,所以,
    所以,故B正确;
    点与均在直线上,则点的坐标为,由得,
    则点的坐标为,则,故A错误;
    由抛物线的定义可知,,故C正确;
    与平行,与之间的距离,故D错误.
    故选:BC.
    12. 已知双曲线的左、右焦点分别为,点是双曲线的右支上一点,过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于,则( )
    A. 的最小值为8
    B. 为定值
    C. 若直线与双曲线相切,则点的纵坐标之积为;
    D. 若直线经过,且与双曲线交于另一点,则的最小值为.
    【答案】AB
    【解析】
    【分析】设,由,可判定A正确;化简,可判定B正确;设直线的方程为,联立方程组,结合,得到,在化简,可判定C不正确;根据通经长和实轴长,可判定D错误.
    【详解】由题意,双曲线,可得,则,
    所以焦点,且,
    设,则,且,即,
    双曲线的两条渐近线的方程为,
    对于A中,由,
    所以A正确;
    对于B中,
    (定值),所以B正确;
    对于C中,不妨设,直线的方程为,
    联立方程组,整理得,
    若直线与双曲线相切,则,
    整理得,
    联立方程组,解得,即点的纵坐标为,
    联立方程组,解得,即点的纵坐标为,
    则点的纵坐标之积为
    所以C不正确;
    对于D中,若点在双曲线的右支上,则通经最短,其中通经长为,
    若点在双曲线的左支上,则实轴最短,实轴长为,所以D错误.
    故选:AB.
    三.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.(请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.)
    13. 若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为____.
    【答案】
    【解析】
    【分析】由,可求出,即可求出双曲线的渐近线方程.
    【详解】因为双曲线的离心率为,
    ,所以,所以,
    双曲线渐近线方程为:.
    故答案为:
    14. 若在抛物线y2=-4x上存在一点P,使其到焦点F的距离与到A(-2,1)的距离之和最小,则该点的坐标为________.
    【答案】##
    【解析】
    【分析】作出图象,结合题意可知A,P及P到准线的垂足三点共线时,所求距离之和最小,此时P点的纵坐标为1,代入抛物线即可求得P点的坐标.
    【详解】根据题意,由y2=-4x得p=2,焦点坐标为(-1,0),作出图象,如图,
    .
    因为等于到准线的距离,所以,
    可知当A,P及P到准线垂足三点共线时,点P与点F、点P与点A的距离之和最小,
    此时点P的纵坐标为1,将y=1代入抛物线方程求得,
    所以点P的坐标为.
    故答案为:.
    15. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆(a>b>0)的右焦点为,过F作直线l交椭圆于A、B两点,若弦中点坐标为,则该椭圆的面积为_____________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程,再结合即可求解出、,进而求出面积.
    【详解】设,,记的中点为,即,
    因为的中点为,所以由中点坐标公式得,
    因为直线过椭圆焦点,所以直线斜率为,
    又因为,在椭圆上,
    所以,两式相减得,
    整理得,代值化简得,
    因为椭圆的焦点为,
    所以,得,,
    由题意可知,椭圆的面积为.
    故答案为:.
    16. 已知圆和圆与轴和直线相切,两圆交于两点,其中点坐标为,已知两圆半径的乘积为,则的值为___________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据题意可设,,,由在两圆上,将坐标代入对应圆的方程整理,易知是的两个根,进而求直线的斜率,再根据直线、倾斜角的关系求值.
    【详解】由题设,圆和圆与轴和直线相切,且一个交点,
    ∴和在第一象限,若分别是圆和圆的半径,可令,,,
    ∴,易知:是的两个根,又,
    ∴,可得,则,而直线的倾斜角是直线的一半,
    ∴.
    故答案为:.
    【点睛】关键点点睛:分析圆心的坐标并设,,结合已知确定为方程的两个根,应用韦达定理求参数m,进而求斜率,由倾斜角的关系及二倍角正切公式求k值.
    四.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.)
    17. 已知方程(且)
    (1)若方程表示焦点在上椭圆,且离心率为,求的值;
    (2)若方程表示等轴双曲线,求的值及双曲线的焦点坐标.
    【答案】(1)
    (2),
    【解析】
    【分析】(1)根据题中条件及离心率公式直接计算即可;
    (2)根据题中条件得,进一步计算得到的值,即可求解.
    【小问1详解】
    因为方程为焦点在轴上的椭圆,所以
    则离心率,解得

    【小问2详解】
    由题意得,
    故焦点坐标为
    18. 已知直线经过直线的交点.
    (1)若直线经过点,求直线的方程;
    (2)若直线与直线垂直,求直线的方程.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)联立方程求得交点坐标,再由两点式求出直线方程.
    (2)根据直线垂直进行解设方程,再利用交点坐标即可得出结果.
    【小问1详解】
    由得,
    即直线和的交点为.
    直线还经过点,
    的方程为,即.
    【小问2详解】
    由直线与直线垂直,
    可设它的方程为.
    再把点的坐标代入,可得,解得,
    故直线的方程为.
    19. 已知圆C经过两点,且在x轴上的截距之和为2.
    (1)求圆C的标准方程;
    (2)圆M与圆C关于直线对称,求过点且与圆M相切的直线方程.
    【答案】(1)
    (2)或
    【解析】
    【分析】(1)根据题意,设圆的一般式方程,代入计算,即可得到结果;
    (2)根据题意,分直线的斜率存在与不存在讨论,结合点到直线的距离公式列出方程,即可得到结果.
    【小问1详解】
    设圆的方程为,
    令,可得,则,
    将代入可得,,
    解得,所以圆方程为,
    即.
    【小问2详解】
    圆C的圆心,圆的圆心与关于对称,
    ∴设圆的圆心为
    则,解得,
    圆的标准方程为:,
    若过点的直线斜率不存在,则方程为,
    此时圆心到直线的距离为,满足题意;
    若过点且与圆相切的直线斜率存在,
    则设切线方程为,即,
    则圆心到直线的距离为,解得,
    所以切线方程为,即,
    综上,过点且与圆相切的直线方程为或.
    20. 已知双曲线:的一个焦点与抛物线:的焦点重合.
    (1)求抛物线的方程;
    (2)若直线:交抛物线于A、B两点,O为原点,求证:以为直径的圆经过原点O.
    【答案】(1)
    (2)见解析.
    【解析】
    【分析】(1)根据双曲线方程求出其焦点坐标,即也是抛物线焦点,得到抛物线方程.
    (2)直线l与抛物线联立后,利用韦达定理求出即可得证.
    【小问1详解】
    由双曲线方程知其焦点在x轴上且焦点坐标为,,所以为抛物线:的焦点,得,
    所以抛物线的方程为.
    【小问2详解】
    设,
    联立,
    由韦达定理得,
    所以
    所以,
    所以以为直径的圆经过原点O.得证
    21. 已知直线,与双曲线的左支交于A,B两点.
    (1)求实数的取值范围;
    (2)若的面积为(O为坐标原点),求此时直线的斜率的值.
    【答案】(1)
    (2)
    【解析】
    【分析】(1)设点坐标,联立方程组,根据根与系数的关系求解;
    (2)通过面积求解出,从而求解出的值.
    【小问1详解】
    依题意,设,
    联立方程组,整理得:
    因为直线,与双曲线的左支交于A,B两点,
    所以,解得,故,
    【小问2详解】
    设点O到直线的距离为,则,

    又因为,所以
    又因为,
    代入,得,
    整理得,又,解得,
    此时直线的斜率的值为.
    22. 已知椭圆过点,且离心率为.
    (1)求椭圆方程;
    (2)点分别为椭圆的上下顶点,过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点,探究直线的交点是否在一条定直线上,若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由.
    【答案】(1)
    (2)存在,
    【解析】
    【分析】(1)由椭圆离心率可得,再将代入椭圆的方程可得,即可求出椭圆的方程;
    (2)设,直线的方程为:,联立直线和椭圆的方程求出两根之积和两根之和,设直线的方程和直线的方程,两式联立求得交点的纵坐标的表达式,将两根之积和两根之和代入可证得交点在一条定直线上.
    【小问1详解】
    因为椭圆的离心率为,即,
    所以,所以,
    又因为椭圆过点,
    所以,解得:,所以椭圆方程为.
    【小问2详解】
    因为,设,
    直线的方程为:,
    联立方程,得,


    直线的方程为:,
    直线的方程为:,
    联立两直线方程消元:
    法1:由解得:,
    代入化简,

    解得:,即直线的交点在定直线上.
    法2:由韦达定理得代入化简
    ,得,
    即直线的交点在定直线上.
    法3:由,得
    代入化简,得,
    即直线的交点在定直线上.
    法4:代点进椭圆方程得化简得
    进而得到,代入化简
    转化为韦达定理代入
    ,得,
    即直线的交点在定直线上.
    【点睛】思路点睛:本题考查直线与椭圆综合应用中的定直线问题的求解,求解此类问题的基本思路如下:
    ①假设直线方程,与椭圆方程联立,整理为关于或的一元二次方程的形式;
    ②利用求得变量之间的关系,同时得到韦达定理的形式;
    ③利用韦达定理表示出已知的等量关系,化简整理得到所求定直线.

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