河北省张家口市2023_2024学年高二数学上学期12月阶段测试含解析

这是一份河北省张家口市2023_2024学年高二数学上学期12月阶段测试含解析，共24页。试卷主要包含了本试卷共150分，请将各题答案填在答题卡上， 在抛物线上有三点， 对抛物线，下列描述正确的是等内容，欢迎下载使用。

考试说明：
1.本试卷共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填在答题卡上.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点在抛物线上，则点到抛物线的准线的距离为（）
A. 2B. 4C. 6D. 8
2. 已知两点到直线的距离相等，则（）
A. 1B. -5C. 1或-5D. 1或-8
3. 双曲线经过一､三象限的渐近线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
4. 若方程表示双曲线，则的取值范围是（）
A. 或B.
C. 或D.
5. 四棱锥中，底面是平行四边形，点为棱中点，若，则（）
A1B. 2C. D.
6. 在抛物线上有三点.为其焦点，且为的重心，则（）
A. 6B. 8C. 10D. 12
7. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（）
A. B.
C. D.
8. 已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（）
AB.
C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 对抛物线，下列描述正确的是（）
A. 开口向下，准线方程为
B. 开口向下，焦点为
C. 开口向左，焦点为
D. 开口向左，准线方程为
10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，若椭圆上有4个点使得，则的离心率可以是（）
A. B. C. D.
11. 若是双曲线上一点，为的左､右焦点，则下列结论中正确的是（）
A. 双曲线的实轴长为
B. 若，则三角形周长为
C. 的最小值是
D. 双曲线的焦点到渐近线的距离是2
12. 已知点分别在圆和圆上.则（）
A. 的最小值为3
B. 的最大值为8
C. 若成为两圆的公切线，方程可以是
D. 若成为两圆公切线，方程可以是
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 双曲线的焦点为，点在双曲线上，若，则__________.
14. 已知圆与圆和圆均外切，则点的轨迹方程为__________.
15. 已知抛物线，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上的另一点，则的坐标为__________.
16. 几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段.某同学在画“切面圆柱体”（用不平行于圆柱底面的平面去截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 求满足下列条件的双曲线的标准方程.
（1）经过点，且与双曲线具有相同的渐近线；
（2）与椭圆共焦点，且过点.
18. 菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求对角线所在直线的方程.
19. 数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点，且的欧拉线的方程为，若外接圆圆心记为.
（1）求圆的方程；
（2）过点引圆的切线，求切线的长.
20. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合.
（1）求的方程；
（2）若直线与相交于两点，求.
21. 如图，四棱锥中，底面是矩形，，且.
（1）求证：平面；
（2）若，在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由.
22. 以双曲线的顶点为焦点，离心率倒数的平方为离心率作一椭圆.
（1）求的标准方程；
（2）已知为的左焦点，过的直线与椭圆交于两点（在上方），且，若，求斜率的取值范围.
2023-2024学年第一学期12月高二阶段测试卷
数学
考试说明：
1.本试卷共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填在答题卡上.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点在抛物线上，则点到抛物线的准线的距离为（）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先根据点在抛物线上，求出；再根据抛物线的定义即可得出答案.
【详解】因为在抛物线上，
所以，解得，
故抛物线的准线为，
所以点到抛物线的准线的距离为.
故选：B.
2. 已知两点到直线的距离相等，则（）
A. 1B. -5C. 1或-5D. 1或-8
【答案】C
【解析】
【分析】利用点到直线的距离求解.
【详解】因为两点到直线的距离相等，
所以或，
故选：C.
3. 双曲线经过一､三象限的渐近线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得双曲线的渐近线，进而求得正确答案.
【详解】令，得，经过一､三象限的渐近线方程为，
其倾斜角为.
故选：B
4. 若方程表示双曲线，则的取值范围是（）
A. 或B.
C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由求解.
【详解】解：由题意得，
解得.
故选：B.
5. 四棱锥中，底面是平行四边形，点为棱的中点，若，则（）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算由表示求解.
【详解】解：由题意，
，
又，不共面，
则.
故选：A.
6. 在抛物线上有三点.为其焦点，且为的重心，则（）
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】先根据为的重心，得；再设出的坐标，表示出的坐标，得；最后根据抛物线的定义即可得出结果.
【详解】
为的重心
故.
设抛物线上的点的坐标分别为
抛物线为其焦点
，
.
，即
点在抛物线上
，，，
.
故选：A.
7. 若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用作差法、中点坐标公式及斜率公式求出；再根据点斜式方程即可解答.
【详解】设，
则.
两式作差可得，
即.
又是的中点，
则，
，即.
，
直线的方程为，即.
经检验，符合题意.
故弦所在直线的方程为：.
故选：B.
8. 已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出直线恒过的定点，根据斜率公式即可求解.
【详解】由直线，
变形可得，由，解得，
可得直线恒过定点，
则，
若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为.
故选：A.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 对抛物线，下列描述正确的是（）
A. 开口向下，准线方程为
B. 开口向下，焦点为
C. 开口向左，焦点为
D. 开口向左，准线方程为
【答案】AB
【解析】
【分析】先化为标准方程，求得焦点坐标和准线方程即可判断.
【详解】由题设，抛物线可化为，
开口向下，焦点为，准线方程为.所以AB正确，CD错误.
故选：AB.
10. 已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，若椭圆上有4个点使得，则的离心率可以是（）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】设，则，根据，可得，结合基本不等式可得，结合离心率公式及已知条件即可得解.
【详解】设，依题意有①，
又，所以②，
易知，所以②除以①的平方得，，
所以，即或（舍去），当且仅当时取等号，
这时有2个点使得，故舍去，
又椭圆的离心率，所以.
故选：CD.
11. 若是双曲线上一点，为的左､右焦点，则下列结论中正确的是（）
A. 双曲线的实轴长为
B. 若，则三角形的周长为
C. 的最小值是
D. 双曲线的焦点到渐近线的距离是2
【答案】BC
【解析】
【分析】由双曲线方程可直接得到；由关系和向量垂直得到，再确定周长即可；由双曲线的意义可直接确定C；由渐近线方程和点到直线的距离可确定D.
【详解】对于，由双曲线得，则，即，故双曲线实轴长为，故错误；
对于，由，即，设，因为，
则，所以，解得，则的周长为，故B正确；
对于，易知，故C正确；
对于，由选项知，双曲线焦点为，渐近线为，即，
所以焦点到渐近线的距离为，故错误.
故选：.
12. 已知点分别在圆和圆上.则（）
A. 的最小值为3
B. 的最大值为8
C. 若成为两圆的公切线，方程可以是
D. 若成为两圆的公切线，方程可以是
【答案】BC
【解析】
【分析】先判断两圆的位置关系；再结合图形即可判断选项A、B；采用验证法，根据圆心到直线的距离可判断选项C、D.
【详解】圆的圆心坐标，半径，
圆，即的圆心坐标，半径.
圆心距，所以两圆外离.
又在圆上，在圆上
则的最小值为，最大值为，故选项A错误，选项B正确；
因为到直线的距离，
M到直线的距离，
所以是两圆的公切线，故选项C正确；
因为到直线的距离，所以是圆的切线，
但到直线的距离，故选项D错误.
故选：BC.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 双曲线的焦点为，点在双曲线上，若，则__________.
【答案】21
【解析】
【分析】先根据双曲线方程得；再根据双曲线的定义列出关系式求解即可.
【详解】由，得，得.
因为，
所以5或，
解得（舍去）或.
故答案为：21.
14. 已知圆与圆和圆均外切，则点的轨迹方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据两圆外切时半径与圆心的关系得出，即可得出，根据双曲线的定义得出点的轨迹为双曲线的上支，设出其方程为，根据双曲线的定义列式解出与，即可得出答案.
【详解】当圆与圆均外切时，，
所以，
则点的轨迹为双曲线的上支，设轨迹方程为，
则，
则，
所以轨迹方程为.
故答案为：.
15. 已知抛物线，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上的另一点，则的坐标为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由入射光线平行于轴得点坐标，再由反射光线过焦点，求出反射光线所在直线方程，与抛物线联立求出的坐标.
【详解】光线平行于轴,从点射入，则有，
根据抛物线性质，直线过抛物线焦点，抛物线的焦点为，
直线的斜率为，则直线的方程为，
代入抛物线的方程解得或，可得的坐标为.
故答案为：
16. 几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段.某同学在画“切面圆柱体”（用不平行于圆柱底面的平面去截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】作出辅助线，根据二面角的大小得到，从而求出，得到离心率.
【详解】如图所示：切面与底面的二面角的平面角为，
故，
设圆半径为，则，
设椭圆的长轴长及短轴长分别为，故，
故，所以.
故答案为：
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 求满足下列条件的双曲线的标准方程.
（1）经过点，且与双曲线具有相同的渐近线；
（2）与椭圆共焦点，且过点.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由同渐近线的双曲线方程的关系设要求双曲线的标准方程为，即可代点求得，得出其方程.
（2）根据已知得出焦点坐标为，在轴上，设出所求方程，根据双曲线定义列式解出，即可得到答案.
【小问1详解】
因为所求双曲线与双曲线具有相同的渐近线，
故设要求双曲线的标准方程为，
代入点，得，
则双曲线的方程为
【小问2详解】
椭圆的焦点坐标为，在轴上.
所以设所求双曲线的方程为.
则，解得：，
即所求方程为：.
18. 菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求对角线所在直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据菱形的性质得；再根据相互平行直线斜率相等及斜率公式计算；最后利用点斜式方程即可解答.
（2）先求出线段的中点坐标及；再根据菱形性质、相互垂直直线斜率之间关系及点斜式方程即可解答.
【小问1详解】
由菱形的性质可知:.
边所在直线过点，点坐标为，
则.
又点坐标，
边所在直线方程为，即.
所以边所在直线的方程为.
【小问2详解】
，
线段的中点为，且.
由菱形的几何性质可知：且为的中点.
则.
所以对角线所在直线的方程为，
即.
所以对角线所在直线的方程为：.
19. 数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点，且的欧拉线的方程为，若外接圆圆心记为.
（1）求圆的方程；
（2）过点引圆的切线，求切线的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求得线段AB的中垂线方程，再与欧拉线方程联立求得圆心即可；
（2）利用圆的切线长公式求解.
【小问1详解】
因，则的中点为，
又，则的中垂线方程为.
将其与欧拉线方程联立有，解得
故的外心为，则外接圆半径为，
故圆的方程为.
【小问2详解】
设切点为，由题有，
故切线长.
20. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合.
（1）求的方程；
（2）若直线与相交于两点，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出双曲线的焦点坐标，即可确定抛物线焦点，求得p，即可求得答案；
（2）联立抛物线和直线方程，可得根与系数的关系式，利用弦长公式，即可求得答案.
【小问1详解】
双曲线即，焦点坐标为，
又抛物线的焦点，
，即.
抛物线的方程为；
【小问2详解】
将抛物线方程与直线方程联立得，消去，得，
，设，
则，
故
21. 如图，四棱锥中，底面是矩形，，且.
（1）求证：平面；
（2）若，在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在点满足条件，是上靠近点的三等分点.
【解析】
【分析】（1）由已知条件可证明平面，故，同理可得，可得平面.
（2）建立空间直角坐标系，设，利用向量法求二面角的余弦值，解出得点的位置.
【小问1详解】
，，平面，，
故平面，平面，故，
同理可得，，平面，
故平面
【小问2详解】
如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系.
则
设，则，
有，，
平面的一个法向量是，设平面的一个法向量是，
则，
取得，即
，解得，
即存在点满足条件，是上靠近点的三等分点.
22. 以双曲线顶点为焦点，离心率倒数的平方为离心率作一椭圆.
（1）求的标准方程；
（2）已知为的左焦点，过的直线与椭圆交于两点（在上方），且，若，求斜率的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由焦点坐标和离心率求椭圆标准方程；
（2）设直线的方程，与椭圆联立方程组，由结合韦达定理，把斜率表示为的的函数，利用单调性求取值范围.
【小问1详解】
因为双曲线的顶点为，
所以椭圆的焦点为，
因为双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率为，
设椭圆的标准方程为：，
椭圆的焦距为，则，依题意，则，于是，
因为，所以，
故椭圆的标准方程为：.
【小问2详解】
在椭圆中，，
过的直线与椭圆交于两点（在上方），且，，
当直线斜率不存在时，显然不成立.
当直线斜率存在时设方程为，，
由得①
联立消去得，
，
②
且③.
由①②得：，代入③中得：，
因为当时，不成立，
，
函数，
时，，
由，有，，则，
，，在上单调递减，
则有，得，
由在上方且，所以.
所以斜率的取值范围为.
【点睛】方法点睛：
解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．