中考数学一轮复习满分突破(全国通用)【题型方法解密】专题06分式专题特训(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习满分突破(全国通用)【题型方法解密】专题06分式专题特训(原卷版+解析)，共44页。


【知识要点】
知识点一：分式的基础
概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 QUOTE AB 叫做分式，A为分子，B为分母。
【判断分式的注意事项】
1）条件：①形如的式子； ②A，B为整式；③分母B中含有字母，三者缺一不可。
2）判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断，例如：就是分式。
与分式有关的条件：
考查题型一 分式的意义
题型1．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
题型1-1．（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：，，，……
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
易错点总结：
考查题型二 分式有意义的条件
题型2．（2022·四川凉山·中考真题）分式有意义的条件是（ ）
A．x＝－3B．x≠－3C．x≠3D．x≠0
题型2-1．（2022·湖北恩施·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．
题型2-2．（2022·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．且B．且C．D．且
题型2-3．（2022·广东广州·中考真题）代数式有意义时，应满足的条件为（ ）
A．B．C．D．≤-1
易错点总结：
考查题型三 分式值为0的条件
题型3．（2021·广西桂林·中考真题）若分式的值等于0，则x的值是（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
题型3-1．（2021·四川雅安·中考真题）若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．1B．C．D．0
题型3-2．（2022·广西·中考真题）当______时，分式的值为零．
题型3-3．（2021·湖南湘西·中考真题）若式子的值为零，则＝___．
易错点总结：
知识点二：分式的形式（基础）
基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：AB=A•CB•C，AB=A÷CB÷C，其中A、B、C是整式，C≠0。
【注意】在应用分式的基本性质时，要注意C≠0这个限制条件和隐含条件B≠0。
【拓展】分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，
即：AB=−A−B=−−AB=−A−B
约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。
最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
分式约分步骤：1）提分子和分母公因式（关键）；2）约去公因式；3）观察结果，是否是最简分式或整式。例：x2−9x2+6x+9 =________________
【注意】
1）约分前后分式的值相等.
2）约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式。
通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
最简公分母的定义：各分母所有因式的最高次幂的积。
确定分式的最简公分母的方法：1）因式分解：当分母是多项式时，先因式分解；.
2）找系数：各分式分母系数的最小公倍数；
3）找字母：各分母中所有单个字母因式或多项式字母因式；
4）找指数：各分母所有多项式因式的最高次幂。
考查题型四 求分式的值
题型4．（2021·广西百色·中考真题）当x＝﹣2时，分式的值是（ ）
A．﹣15B．﹣3C．3D．15
题型4-1．（2022·浙江湖州·中考真题）当a＝1时，分式的值是______．
题型4-2．（2022·湖南郴州·中考真题）若，则________．
题型4-3．（2021·福建·中考真题）已知非零实数x，y满足，则的值等于_________．
易错点总结：
考查题型五 约分
题型5．（2022·湖南株洲·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型5-1．（2022·贵州铜仁·中考真题）下列计算错误的是（ ）
A．B．C．D．
题型5-2．（2021·广西梧州·中考真题）计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）．
易错点总结：
知识点三 分式的运算
类型一 分式的乘除
1）分式的乘法法则：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
式子表示为：ab•cd=a•cb•d（bd≠0）
2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。
式子表示为：ab÷cd=ab•dc=a•db•c（bcd≠0）（除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数）
类型二 分式的加减法
1）同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：ac±bc=a±bc
2）异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：ab±cd=ad±bcbd
类型三 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：abn=anbn
【注意】1）分式乘方要把分子、分母分别乘方。
2）分式乘方时，要先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。
类型四 分式混合运算
运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的，先算括号里的。
【注意】分式的运算结果要化为最简分式或整式。
考查题型六 分式的乘除运算
题型6．（2021·湖南湘西·中考真题）下列计算结果正确的是（ ）
A．B． C．D．
题型6-1．（2021·内蒙古呼和浩特·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型6-2．（2021·湖南湘潭·中考真题）先化简，再求值：，其中．
易错点总结：
考查题型七 分式的加减运算
题型7．（2022·天津·中考真题）计算的结果是（ ）
A．1B．C．D．
题型7-1．（2022·浙江杭州·中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A．B．C．D．
题型7-2．（2022·广西玉林·中考真题）若x是非负整数，则表示的值的对应点落在下图数轴上的范围是( )
A．①B．②C．③D．①或②
题型7-3．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．2D．
题型7-4．（2022·四川达州·中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
题型7-5．（2022·浙江温州·中考真题）计算：___________．
题型7-6．（2022·湖北襄阳·中考真题）化简分式：＝_____．
题型7-7．（2022·重庆·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
题型7-8．（2022·甘肃兰州·中考真题）计算：．
题型7-9．（2022·江西·中考真题）以下是某同学化筒分式的部分运算过程：
(1)上面的运算过程中第__________步出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
易错点总结：
考查题型八 分式的加减乘除混合运算
题型8．（2022·四川眉山·中考真题）化简的结果是（ ）
A．1B．C．D．
题型8-1．（2022·山东威海·中考真题）试卷上一个正确的式子（）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( )
A．B．C．D．
题型8-2．（2022·四川南充·中考真题）已知，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
题型8-3．（2022·四川自贡·中考真题）化简： ＝____________．
题型8-4．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__．
题型8-5．（2022·贵州黔东南·中考真题）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
题型8-6．（2022·广西河池·中考真题）先化简,再求值,其中
题型8-7．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中．
题型8-8．（2022·宁夏·中考真题）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
题型8-9．（2021·广东广州·中考真题）已知
（1）化简A；
（2）若，求A的值．
题型8-10．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）先化简，再求值：，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
易错点总结：
考查题型九 分式化简求值
题型9．（2022·河北·中考真题）若x和y互为倒数，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
题型9-1．（2022·山东济南·中考真题）若m－n＝2，则代数式的值是（ ）
A．－2B．2C．－4D．4
题型9-2．（2022·山东菏泽·中考真题）若，则代数式的值是________．
题型9-3．（2022·新疆·中考真题）先化简，再求值：，其中．
题型9-4．（2022·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：，其中
题型9-5．（2022·四川广元·中考真题）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解．
题型9-6．（2022·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中m为满足－1＜m＜4的整数．
题型9-7．（2022·浙江金华·中考真题）计算：．
易错点总结：
整数指数幂
am⋅an=am+n
amn=amn
abn=anbn
am÷an=am−n（a≠0）
abn=anbn
a−n=1an（a≠0）
a0=1（a≠0）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m，n均为整数。
考查题型十 零指数幂
题型10．（2022·重庆·中考真题）计算：_________．
题型10-1．（2022·四川南充·中考真题）比较大小：_______________．（选填＞，＝，＜）
题型10-2．（2022·湖北荆门·中考真题）计算：+cs60°﹣（﹣2022）0＝_____．
题型10-3．（2022·四川德阳·中考真题）计算：．
题型10-4．（2022·湖北十堰·中考真题）计算：．
易错点总结：
考查题型十一 负整数指数幂
题型11．（2022·山东济南·中考真题）计算：．
题型11-1．（2022·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值：，其中．
题型11-2．（2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：
解：
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
①；②；③；
__________________________________________________________________________
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
易错点总结：
考查题型十二 负指数幂与科学记数法
题型12．（2022·广西贵港·中考真题）据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到．已知，则用科学记数法表示是（ ）
A．B．C．D．
题型12-1．（2022·山东青岛·中考真题）我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）
A．B．C．D．
题型12-2．（2021·山东聊城·中考真题）已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（ ）
A．0.77×10﹣5倍B．77×10﹣4倍C．7.7×10﹣6倍D．7.7×10﹣5倍
题型12-3．（2022·四川广元·中考真题）石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034用科学记数法表示为_____________．
易错点总结：
要求
表示
分式有意义
分母≠0
B≠0
分式无意义
分母=0
B=0
分式值为0
分子为0且分母不为0
A=0且B≠0
分式值为正或大于0
分子分母同号
A>0,B>0 或A<0,B<0
分式值为负或小于0
分子分母异号
A>0,B<0或A<0,B>0
分式值为1
分子分母值相等
A=B
分式值为-1
分子分母值互为相反数
A+B=0
解：原式①
②
③
…
解：
专题06 分式
【热考题型】
【知识要点】
知识点一：分式的基础
概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 QUOTE AB 叫做分式，A为分子，B为分母。
【判断分式的注意事项】
1）条件：①形如的式子； ②A，B为整式；③分母B中含有字母，三者缺一不可。
2）判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断，例如：就是分式。
与分式有关的条件：
考查题型一 分式的意义
题型1．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【提示】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．
【详解】分母中含有字母的是，，，
∴分式有3个，
故选：B．
题型1-1．（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：，，，……
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】(1)
(2)见解析
【提示】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为．
（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为，用分式的加法计算式子右边即可证明．
（1）
解：∵第一个式子，
第二个式子，
第三个式子，
……
∴第（n+1）个式子；
（2）
解：∵右边==左边，
∴．
【名师点拨】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，提示、归纳发现其中各分母的变化规律．
考查题型二 分式有意义的条件
题型2．（2022·四川凉山·中考真题）分式有意义的条件是（ ）
A．x＝－3B．x≠－3C．x≠3D．x≠0
【答案】B
【提示】根据分式的分母不能为0即可得．
【详解】解：由分式的分母不能为0得：，
解得，
即分式有意义的条件是，
故选：B．
题型2-1．（2022·湖北恩施·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．
【答案】C
【提示】根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：∵有意义，
∴，
解得且，
故选C．
【名师点拨】本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键．
题型2-2．（2022·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．且B．且C．D．且
【答案】B
【提示】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件提示得出答案．
【详解】解：依题意，
∴且
故选B
【名师点拨】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确掌握二次根式与分式有意义的条件是解题关键．
题型2-3．（2022·广东广州·中考真题）代数式有意义时，应满足的条件为（ ）
A．B．C．D．≤-1
【答案】B
【提示】根据分式分母不为0及二次根式中被开方数大于等于0即可求解．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
故选：B．
【名师点拨】本题考查了分式及二次根式有意义的条件，属于基础题．
考查题型三 分式值为0的条件
题型3．（2021·广西桂林·中考真题）若分式的值等于0，则x的值是（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
【答案】A
【提示】根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0性质即可求解．
【详解】由题意可得：且，解得．
故选A．
【名师点拨】此题主要考查分式为零的条件，解题的关键是熟知分式的性质．
题型3-1．（2021·四川雅安·中考真题）若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．1B．C．D．0
【答案】A
【提示】根据分式的值为0的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得：且，
解得：．
故选：A
【名师点拨】本题主要考查了分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0的条件分子等于0，且分母不等于0是解题的关键．
题型3-2．（2022·广西·中考真题）当______时，分式的值为零．
【答案】0
【提示】根据分式值为零，分子等于零，分母不为零得2x=0，x+2≠0求解即可．
【详解】解：由题意，得2x=0，且x+2≠0，解得：x=0，
故答案为：0．
【名师点拨】本题考查分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件“分子为零，分母不为零”是解题的关键．
题型3-3．（2021·湖南湘西·中考真题）若式子的值为零，则＝___．
【答案】0
【提示】根据分式的值为零的条件可直接进行求解．
【详解】解：由式子的值为零可得：
，
∴且，
∴；
故答案为0．
【名师点拨】本题主要考查分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键．
知识点二：分式的形式（基础）
基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：AB=A•CB•C，AB=A÷CB÷C，其中A、B、C是整式，C≠0。
【注意】在应用分式的基本性质时，要注意C≠0这个限制条件和隐含条件B≠0。
【拓展】分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，
即：AB=−A−B=−−AB=−A−B
约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。
最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
分式约分步骤：1）提分子和分母公因式（关键）；2）约去公因式；3）观察结果，是否是最简分式或整式。例：x2−9x2+6x+9 =________________
【注意】
1）约分前后分式的值相等.
2）约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式。
通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
最简公分母的定义：各分母所有因式的最高次幂的积。
确定分式的最简公分母的方法：1）因式分解：当分母是多项式时，先因式分解；.
2）找系数：各分式分母系数的最小公倍数；
3）找字母：各分母中所有单个字母因式或多项式字母因式；
4）找指数：各分母所有多项式因式的最高次幂。
考查题型四 求分式的值
题型4．（2021·广西百色·中考真题）当x＝﹣2时，分式的值是（ ）
A．﹣15B．﹣3C．3D．15
【答案】A
【提示】先把分子分母进行分解因式，然后化简，最后把代入到分式中进行正确的计算即可得到答案.
【详解】解：
把代入上式中
原式
故选A.
【名师点拨】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算.
题型4-1．（2022·浙江湖州·中考真题）当a＝1时，分式的值是______．
【答案】2
【提示】直接把a的值代入计算即可．
【详解】解：当a=1时，
．
故答案为：2．
【名师点拨】本题主要考查了分式求值问题，在解题时要根据题意代入计算即可．
题型4-2．（2022·湖南郴州·中考真题）若，则________．
【答案】
【提示】由分式的运算法则进行计算，即可得到答案．
【详解】解：
，
；
故答案为：．
【名师点拨】本题考查了分式的运算法则，解题的关键是掌握运算法则进行计算．
题型4-3．（2021·福建·中考真题）已知非零实数x，y满足，则的值等于_________．
【答案】4
【提示】由条件变形得，x-y=xy，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值．
【详解】由得：xy+y=x，即x-y=xy
∴
故答案为：4
【名师点拨】本题是求代数式的值，考查了整体代入法求代数式的值，关键是根据条件，变形为x-y=xy，然后整体代入．
考查题型五 约分
题型5．（2022·湖南株洲·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【提示】根据同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【名师点拨】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
题型5-1．（2022·贵州铜仁·中考真题）下列计算错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【提示】根据绝对值，同底数幂的乘法，负整数指数幂，分式的性质，幂的乘方计算法则求解即可．
【详解】解：A、，计算正确，不符合题意；
B、，计算正确，不符合题意；
C、，计算正确，不符合题意；
D、，计算错误，符合题意；
故选D．
【名师点拨】本题主要考查了绝对值，同底数幂的乘法，负整数指数幂，分式的性质，幂的乘方计算法则，熟知相关知识是解题的关键．
题型5-2．（2021·广西梧州·中考真题）计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）．
【答案】
【提示】首先将原式第三项约分，再把前两项括号展开，最后合并同类项即可得到结果．
【详解】解：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）
=（x﹣2）2﹣x（x﹣1）
=
=．
【名师点拨】此题主要考查了乘法公式和分式的约分，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
知识点三 分式的运算
类型一 分式的乘除
1）分式的乘法法则：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
式子表示为：ab•cd=a•cb•d（bd≠0）
2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。
式子表示为：ab÷cd=ab•dc=a•db•c（bcd≠0）（除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数）
类型二 分式的加减法
1）同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：ac±bc=a±bc
2）异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：ab±cd=ad±bcbd
类型三 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：abn=anbn
【注意】1）分式乘方要把分子、分母分别乘方。
2）分式乘方时，要先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。
类型四 分式混合运算
运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的，先算括号里的。
【注意】分式的运算结果要化为最简分式或整式。
考查题型六 分式的乘除运算
题型6．（2021·湖南湘西·中考真题）下列计算结果正确的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】D
【提示】根据幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算的知识逐项排除即可．
【详解】解：A. ，故A选项错误；
B. ，故B选项错误；
C. ，故C选项错误；
D. ，故D选项正确．
故答案为D．
【名师点拨】本题考查了幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算等知识点，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
题型6-1．（2021·内蒙古呼和浩特·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【提示】根据有理数、整式、分式、二次根式的运算公式运算验证即可．
【详解】，故A错；
当a＞0，，当a＜0，，故B错；
，故C错；
，D正确；
故选：D．
【名师点拨】本题主要考查了有理数、整式、分式、二次根式的运算，熟记运算定理和公式是解决问题的额关键．
题型6-2．（2021·湖南湘潭·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【提示】第一个小括号，先通分再求和，结合平方差公式、完全平方公式将因式分解成，再将分式的除法转化为乘法运算，约分化简，最后代入数值计算即可．
【详解】解：
当时，原式．
【名师点拨】本题考查分式的化简求值，涉及平方差、完全平方公式等因式分解法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
考查题型七 分式的加减运算
题型7．（2022·天津·中考真题）计算的结果是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【提示】利用同分母分式的加法法则计算，约分得到结果即可．
【详解】解：．
故选：A．
【名师点拨】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式加减运算顺序和运算法则．
题型7-1．（2022·浙江杭州·中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【提示】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∴，
故选：C．
【名师点拨】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则．
题型7-2．（2022·广西玉林·中考真题）若x是非负整数，则表示的值的对应点落在下图数轴上的范围是( )
A．①B．②C．③D．①或②
【答案】B
【提示】先对分式进行化简，然后问题可求解．
【详解】解：====1；
故选B．
【名师点拨】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．
题型7-3．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【提示】根据合并同类项，分式的乘除混合运算，分式的加减，分式的乘方运算逐项提示．
【详解】A．，故不符合题意；
B． ，故不符合题意；
C．2，故符合题意；
D． ，故不符合题意；
故选C．
【名师点拨】本题考查了合并同类项，分式的乘除混合运算，分式的加减，分式的乘方运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
题型7-4．（2022·四川达州·中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
【答案】5050
【提示】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可．
【详解】解：，，
，
，
，
…，
故答案为：5050
【名师点拨】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得，找出的规律是本题的关键．
题型7-5．（2022·浙江温州·中考真题）计算：___________．
【答案】2
【提示】利用分式同分母运算法则进行合并，并化简即可得出结果．
【详解】解：，
故答案为：2．
【名师点拨】本题主要考查的是分式加法运算的基础运算，掌握其运算法则是解题的关键．
题型7-6．（2022·湖北襄阳·中考真题）化简分式：＝_____．
【答案】
【提示】根据同分母的分式加法运算法则求解后约分即可得到结论．
【详解】解：
，
故答案为：．
【名师点拨】本题考查分式的化简，掌握同分母的分式求和及约分是解决问题的关键．
题型7-7．（2022·重庆·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【提示】（1）根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可；
（2）先将括号里通分计算，所得的结果再和括号外的分式进行通分计算即可．
(1)
解：
=
=
(2)
解：
=
=
=
【名师点拨】本题考查了平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项、分式的混合运算等知识点，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
题型7-8．（2022·甘肃兰州·中考真题）计算：．
【答案】
【提示】根据分式的加法法则和除法法则计算即可．
【详解】解：===．
【名师点拨】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的加法法则和除法法则是解题关键．
题型7-9．（2022·江西·中考真题）以下是某同学化筒分式的部分运算过程：
(1)上面的运算过程中第__________步出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
【答案】(1)③(2)见解析
【提示】根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可．
（1）第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，
故答案为：③；
（2）解：原式＝
【名师点拨】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
考查题型八 分式的加减乘除混合运算
题型8．（2022·四川眉山·中考真题）化简的结果是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【提示】根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：．故选：B
【名师点拨】本题考查分式的混合运算法则，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
题型8-1．（2022·山东威海·中考真题）试卷上一个正确的式子（）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【提示】根据分式的混合运算法则先计算括号内的，然后计算除法即可．
【详解】解：★=
★=
★=
=，
故选A．
【名师点拨】题目主要考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
题型8-2．（2022·四川南充·中考真题）已知，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】先将分式进件化简为，然后利用完全平方公式得出，，代入计算即可得出结果．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
∵a>b>0，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵a>b>0，
∴，
∴原式=
，
故选：B．
【名师点拨】题目主要考查完全公式的计算，分式化简等，熟练掌握运算法则是解题关键．
题型8-3．（2022·四川自贡·中考真题）化简： ＝____________．
【答案】
【提示】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．
【详解】
=
故答案为
【名师点拨】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键．
题型8-4．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__．
【答案】
【提示】通过探索数字变化的规律进行提示计算．
【详解】解：；
；
；
，
，
当时，
原式
，
故答案为：．
【名师点拨】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
题型8-5．（2022·贵州黔东南·中考真题）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2）
【提示】（1）先每项化简，再加减算出最终结果即可；
（2）先因式分解，化除为乘，通分，化简；再带入数值计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
∵，
∴原式=．
【名师点拨】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
题型8-6．（2022·广西河池·中考真题）先化简,再求值,其中
【答案】
【提示】按照分式的加减乘除混合运算顺序，先算乘除，再算加减，分子分母能够因式分解的要因式分解，能够约分的要约分，将结果化为最简，再把a的值代入进行计算．
【详解】
＝
＝
=
=-a+1；
当a=3时，原式=-3+1=-2．
【名师点拨】本题考查了分式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型8-7．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【提示】分式的混合运算，根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案．
【详解】解：原式
当时，原式，
故答案是： ．
【名师点拨】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则即可，包括完全平方公式，能约分的要约分等，理解和掌握乘法公式，分式的乘法，除法法则是解题的关键．
题型8-8．（2022·宁夏·中考真题）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
【答案】任务一：①一 ，分式的性质； ②二，去括号没有变号；任务二：
【提示】任务一：①根据分式的基本性质提示即可；②利用去括号法则得出答案；
任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】任务一：以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质．
第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．
故答案为：一，分式的性质；②二，去括号没有变号．
任务二：

．
【名师点拨】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质．
题型8-9．（2021·广东广州·中考真题）已知
（1）化简A；
（2）若，求A的值．
【答案】（1）；（2）．
【提示】（1）先通分合并后，因式分解，然后约分化简即可；
（2）先把式子移项求，然后整体代入，进行二次根式乘法运算即可．
【详解】解：（1）；
（2）∵，
∴，
∴．
【名师点拨】本题考查分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算，掌握分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算是解题关键．
题型8-10．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）先化简，再求值：，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
【答案】，10．
【提示】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=1代入计算即可求出值．
【详解】解：原式=
=
=2(x+4)
=2x+8
当-2，0，2时，分式无意义
当x=1时，原式=10．
【名师点拨】本题主要考查了分式的化简和代入求值，关键是代入的时候要根据分式有意义的条件选择合适的值代入．
考查题型九 分式化简求值
题型9．（2022·河北·中考真题）若x和y互为倒数，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【提示】先将化简，再利用互为倒数，相乘为1，算出结果，即可
【详解】
∵x和y互为倒数
∴
故选：B
【名师点拨】本题考查代数式的化简，注意互为倒数即相乘为1
题型9-1．（2022·山东济南·中考真题）若m－n＝2，则代数式的值是（ ）
A．－2B．2C．－4D．4
【答案】D
【提示】先因式分解，再约分得到原式＝2（m-n），然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【详解】解：原式•
＝2（m-n），
当m-n＝2时，原式＝2×2＝4．
故选：D．
【名师点拨】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
题型9-2．（2022·山东菏泽·中考真题）若，则代数式的值是________．
【答案】15
【提示】先按分式混合运算法则化简分式，再把已知变形为a2-2a=15，整体代入即可．
【详解】解：==a(a-2)=a2-2a，
∵a2-2a-15=0,∴a2-2a=15，∴原式=15．故答案为：15．
【名师点拨】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
题型9-3．（2022·新疆·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，1
【提示】根据平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则对原式进行化简，再把a值代入求解即可．
【详解】解：
，
∵，
∴原式．
【名师点拨】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则是解题的关键．
题型9-4．（2022·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：，其中
【答案】，0
【提示】先算括号内的减法，再将除法变成乘法进行计算，然后根据锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质求出a，最后代入计算．
【详解】解：
；
∵，
∴原式．
【名师点拨】本题考查了分式的化简求值，锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
题型9-5．（2022·四川广元·中考真题）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解．
【答案】，当x=2时，原分式的值为
【提示】由题意先把分式进行化简，求出不等式组的整数解，根据分式有意义的条件选出合适的x值，进而代入求解即可．
【详解】解：原式=；
由可得该不等式组的解集为：，
∴该不等式组的整数解为：-1、0、1、2，
当x=-1，0，1时，分式无意义，
∴x=2，
∴把x=2代入得：原式=．
【名师点拨】本题主要考查分式的运算及一元一次不等式组的解法，要注意分式的分母不能为0．
题型9-6．（2022·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中m为满足－1＜m＜4的整数．
【答案】，当时，式子的值为；当时，式子的值为．
【提示】先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法，然后根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可得．
【详解】解：原式
，
，
，
又为满足的整数，
或，
当时，原式，
当时，原式，
综上，当时，式子的值为；当时，式子的值为．
【名师点拨】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
题型9-7．（2022·浙江金华·中考真题）计算：．
【答案】4
【提示】根据零指数幂，正切三角函数值，绝对值的化简，算术平方根的定义计算求值即可；
【详解】解：原式；
【名师点拨】本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题关键．
整数指数幂
am⋅an=am+n
amn=amn
abn=anbn
am÷an=am−n（a≠0）
abn=anbn
a−n=1an（a≠0）
a0=1（a≠0）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m，n均为整数。
考查题型十 零指数幂
题型10．（2022·重庆·中考真题）计算：_________．
【答案】5
【提示】根据绝对值和零指数幂进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：5．
【名师点拨】本题考查了绝对值和零指数幂的计算，熟练掌握定义是解题的关键．
题型10-1．（2022·四川南充·中考真题）比较大小：_______________．（选填＞，＝，＜）
【答案】<
【提示】先计算，，然后比较大小即可．
【详解】解：，，
∵，∴，故答案为：<．
【名师点拨】本题主要考查有理数的大小比较，负整数指数幂的运算，零次幂的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
题型10-2．（2022·湖北荆门·中考真题）计算：+cs60°﹣（﹣2022）0＝_____．
【答案】﹣1
【提示】先计算立方根、特殊角的三角函数值、零指数幂，再进行计算即可解答．
【详解】解：+cs60°﹣（﹣2022）0＝﹣+﹣1＝0﹣1＝﹣1故答案为：﹣1．
【名师点拨】本题考查了立方根、特殊角的三角函数值、零指数幂等知识点，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
题型10-3．（2022·四川德阳·中考真题）计算：．
【答案】
【提示】根据二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则分别化简后再进行实数的加减法运算．
【详解】解：
．
【名师点拨】此题考查实数的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
题型10-4．（2022·湖北十堰·中考真题）计算：．
【答案】
【提示】根据负整数指数幂、乘方、绝对值的性质化简后计算即可．
【详解】解：
=．
【名师点拨】本题考查实数的混合运算，解题的关键是根据负整数指数幂、绝对值的性质化简．
考查题型十一 负整数指数幂
题型11．（2022·山东济南·中考真题）计算：．
【答案】6
【提示】先根据绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根定义进行化简，然后再进行计算即可．
【详解】解：
【名师点拨】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根定义，是解题的关键．
题型11-1．（2022·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【提示】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再利用算术平方根、绝对值、负整数指数幂计算出a的值，代入计算即可求出值．
【详解】解：
=，
当时，
原式==．
【名师点拨】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．还考查了算术平方根、绝对值、负整数指数幂．
题型11-2．（2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：
解：
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
①；②；③；
__________________________________________________________________________
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
【答案】（1）④tan30°=；⑤(-2)-2=，⑥(-2)0=1；28；（2），．
【提示】（1）根据乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数幂、零指数幂的法则计算即可；
（2）先把括号内通分，接着约分得到原式=，然后利用因式分解法解方程x2-2x-3=0得到x1=3，x2=-1，则利用分式有意义的条件把x=-1代入计算即可．
【详解】（1）其他错误，有：④tan30°=；⑤(-2)-2=，⑥(-2)0=1，
正确的计算过程：
解：
=28；
（2）
=，
∵x2-2x-3=0，
∴（x-3）（x+1）=0，
x-3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=-1，
∵x=3分式没有意义，
∴x的值为-1，
当x=-1时，原式==．
【名师点拨】本题考查了实数的运算，解一元二次方程---因式分解法，分式的化简求值．也考查了特殊角的三角函数值、立方根、负整数指数幂、零指数幂．
考查题型十二 负指数幂与科学记数法
题型12．（2022·广西贵港·中考真题）据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到．已知，则用科学记数法表示是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【提示】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：∵，
∴28nm=2.8×10-8m．
故选：C．
【名师点拨】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
题型12-1．（2022·山东青岛·中考真题）我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【提示】绝对值较小的数的科学记数法的一般形式为：a×10-n，在本题中a应为3，10的指数为-7．
【详解】解：0.0000003
故选A
【名师点拨】本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定．
题型12-2．（2021·山东聊城·中考真题）已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（ ）
A．0.77×10﹣5倍B．77×10﹣4倍C．7.7×10﹣6倍D．7.7×10﹣5倍
【答案】C
【提示】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】由题意得：(3.85×10﹣9)÷(5×10﹣4)= 7.7×10﹣6倍，
故选C．
【名师点拨】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
题型12-3．（2022·四川广元·中考真题）石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034用科学记数法表示为_____________．
【答案】3.4×10-10
【提示】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0．00000000034=3.4×10-10．
故答案为：3.4×10-10．
【名师点拨】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
要求
表示
分式有意义
分母≠0
B≠0
分式无意义
分母=0
B=0
分式值为0
分子为0且分母不为0
A=0且B≠0
分式值为正或大于0
分子分母同号
A>0,B>0 或A<0,B<0
分式值为负或小于0
分子分母异号
A>0,B<0或A<0,B>0
分式值为1
分子分母值相等
A=B
分式值为-1
分子分母值互为相反数
A+B=0
解：原式①
②
③
…
解：