高考数学一轮复习课时质量作业(二十五)含答案

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1．为了得到函数y＝3sin 12x+π5的图象，只需把y＝3cs x2图象上的所有点( )
A．向右平移3π5个单位长度
B．向右平移2π5个单位长度
C．向左平移2π5个单位长度
D．向左平移3π5个单位长度
A 解析：为了得到函数y＝3sin 12x+π5＝3cs 12x+π5－π2＝3cs 12x－3π10＝3cs 12x－3π5的图象，只需把y＝3cs x2图象上的所有点向右平移3π5个单位长度即可．
2．(2024·烟台模拟)函数f (x)＝sin 2x－π3的图象是由函数g(x)的图象向左平移φ0<φ<π2个单位长度得到的．若gπ3＝－f π3，则φ的值为( )
A．π3B．π4
C．π6D．π12
A 解析：因为函数f (x)＝sin 2x－π3的图象是由函数g(x)的图象向左平移φ0<φ<π2个单位长度得到，所以g(x)＝sin 2x－φ－π3＝sin 2x－π3－2φ.
因为gπ3＝－f π3，所以sin π3－2φ＝－32，
故可得π3－2φ＝2kπ－π3，k∈Z或π3－2φ＝2kπ－2π3，k∈Z.
又0<φ<π2，所以φ＝π3.
3．(多选题)(数学与生活)海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮. 一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐. 通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋. 已知某港口水深f (t)(单位：m)与时间t(单位：h)从0～24时的关系可近似地用函数f (t)＝A sin (ωt＋φ)＋bA>0，JPω>0，φ<π2来表示，函数f (t)的图象如图所示，则( )
A．f (t)＝3sin π6t＋5(0≤t≤24)
B．函数f (t)的图象关于点(12，0)对称
C．当t＝5时，水深达到6.5 m
D．已知函数g(t)的定义域为[0，6]，g(2t)＝f (2t)－n有2个零点t1，t2，则tan πt1+t2＝3
ACD 解析：由图知T＝2πω＝15－3＝12，所以ω＝π6.
又A+b=8，－A+b=2，故A＝3，b＝5.
由f (3)＝8，得φ＝0，
故f (t)＝3sin π6t＋5(0≤t≤24)，A正确．
函数f (t)的图象不关于点(12，0)对称，B错误．
f (5)＝3sin 5π6＋5＝32＋5＝6.5，即当t＝5时，水深达到6.5 m，C正确；
因为g(t)的定义域为[0，6]，
所以0≤2t≤6，解得0≤t≤3.
令g(2t)＝f (2t)－n＝0，得n＝f (2t)＝3sin π3t＋5.
所以n－53＝sin π3t(0≤t≤3)．
因为π3t∈[0，π]，t1，t2为g(2t)＝f (2t)－n的2个零点，
所以π3t1＋π3t2＝π2×2＝π，所以t1＋t2＝3，
所以tan πt1+t2＝tan π3＝3，D正确．
故选ACD．
4．已知函数f (x)＝－sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位长度，所得图象关于直线x＝π3对称，则实数a的最小值为( )
A．πB．π3
C．3π4D．π4
B 解析：函数f (x)＝－sin2ωx＝cs2ωx－12(ω>0)的最小正周期为2π2ω＝π，所以ω＝1，
所以f (x)＝cs 2x－12.
若将其图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位长度，可得y＝cs2x－2a－12的图象，
再根据所得图象关于直线x＝π3对称，可得2×π3－2a＝kπ，k∈Z，故a＝π3－kπ2.
令k＝0，可得实数a的最小值为π3.
5．已知函数f (x)＝2sin x+π6，将函数y＝f (x)的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)在[0，2π]上的单调递减区间为________.
π6，7π6 解析：将函数y＝f (x)的图象向左平移π6个单位长度，得f x+π6＝2sin x+π3，即g(x)＝2sin x+π3.由x∈[0，2π]，得π3≤x＋π3≤7π3，令π2≤x＋π3≤3π2，得π6≤x≤7π6.
6．函数y＝sin (2x＋φ)φ<π2的图象向右平移π6个单位长度后所得函数图象关于y轴对称，则φ＝______.
－π6 解析：由y＝sin (2x＋φ)的图象向右平移π6个单位长度后，可得f (x)＝sin 2x－π6+φ＝sin 2x－π3+φ的图象．因为f (x)＝sin 2x－π3+φ的图象关于y轴对称，所以－π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，解得φ＝kπ＋5π6，k∈Z.因为|φ|<π2，所以φ＝－π6.
7．(2024·南昌模拟)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)("A＞0，ω＞0，" |"φ" |"＜" "π" /"2" ＝的部分图象如图所示．若x1，x2∈－π6，π3，且f (x1)＝f (x2)，则f (x1＋x2)＝________.
32 解析：根据题图可得A＝1，周期T＝2π3－－π6＝π，所以ω＝2.
又函数的图象过点－π6，0，即2×－π6＋φ＝2kπ，k∈Z，
所以φ＝π3＋2kπ，k∈Z.
又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以f (x)＝sin 2x+π3.
因为π3+－π62＝π12，所以图中最高点的坐标为π12，1.
又x1，x2∈－π6，π3，且f (x1)＝f (x2)，所以x1＋x2＝π12×2＝π6，
所以f (x1＋x2)＝sin 2×π6+π3＝32.
8．(2024·杭州模拟)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的图象如图所示，M，N是直线y＝－1与曲线y＝f (x)的两个交点，且|MN|＝2π9，则f (π)的值为( )
A．2B．－1
C．－2D．－3
D 解析：由函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的图象知A＝2，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)(x2＞x1)，
由|MN|＝2π9，可得x2－x1＝2π9，
令2sin (ωx＋φ)＝－1，即sin (ωx＋φ)＝－12，
结合图象可得ωx1＋φ＝－5π6，ωx2＋φ＝－π6，
作差得ω(x2－x1)＝2π3，即ω×2π9＝2π3，所以ω＝3.
把－4π9，0代入f (x)＝2sin (3x＋φ)，即2sin －4π3+φ＝0，
所以φ＝(2k－1)π＋4π3，k∈Z，
则f (π)＝2sin 3π+2k－1π+4π3＝2sin 4π3＝－3.
9．(多选题)已知函数f (x)＝cs 2x－π3，先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移2π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则( )
A．g(x)的最小正周期是4π
B．g(x)的最小值为－2
C．g(x)在(0，π)上单调递增
D．g(x)的图象关于点π2，0对称
AC 解析：由题先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)得y＝cs 12x－π3的图象，
再将所得图象向右平移2π3个单位长度得y＝cs 12x－2π3－π3＝cs 12x－2π3的图象，
所以g(x)＝cs 12x－2π3，其最小正周期为4π，最小值为－1，故A正确，B错误；
令－π＋2kπ≤12x－2π3≤2kπ(k∈Z)，解得x∈－2π3+4kπ，4π3+4kπ(k∈Z)，令k＝0，则g(x)在－2π3，4π3上是单调递增的，故C正确；
令12x－2π3＝－π2＋kπ(k∈Z)，解得x＝π3＋2kπ(k∈Z)，所以其图象关于点π3+2kπ，0(k∈Z)对称，故D错误．
10．函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋bA＞0，ω＞0，φ<π2的图象如图，则S＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 020)＋f (2 021)＋f (2 022)＋f (2 023)的值为________.
2 024 解析：由图象知T=2πω=4，A+b=32，－A+b=12，
所以ω＝π2，b＝1，A＝12，
所以f (x)＝12sin π2x+φ＋1.
由f (x)的图象过点1，32得12sin π2+φ＋1＝32，所以φ＝2kπ，k∈Z.
又|φ|<π2，则φ＝0.
所以f (x)＝12sin π2x＋1，
所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝12sin 0+1+12sin π2+1+12sin π+1+12sin 3π2+1＝4.
又2 024＝4×506，所以S＝4×506＝2 024.
11．(2024·深圳模拟)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)，其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，函数f (x)图象上相邻的两个对称中心之间的距离为π4，且在x＝π3处取到最小值－2.
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)若将函数f (x)图象上所有点的横坐标先伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间；
(3)若关于x的方程g(x)＝m＋2在x∈0，9π8上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．
解：(1)由题意知函数f (x)的最小正周期为2×π4＝2πω，解得ω＝4，
所以f (x)＝A sin (4x＋φ)．
又函数f (x)在x＝π3处取到最小值－2，
所以A＝2，且f π3＝－2，即4π3＋φ＝2kπ＋3π2，k∈Z.
令k＝0，可得φ＝π6，所以f (x)＝2sin 4x+π6.
(2)函数f (x)＝2sin 4x+π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得y＝2sin 2x+π6的图象，
再向左平移π6个单位长度可得g(x)＝2sin 2x+π6+π6＝2cs 2x的图象，
令－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得－π2＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，
所以g(x)的单调递增区间为－π2+kπ，kπ(k∈Z)．
(3)因为方程g(x)＝m＋2在x∈0，9π8上有两个不同的实根，
函数g(x)＝2cs 2x，x∈0，9π8的图象如图所示．
由图可知－2＜m＋2≤2或m＋2＝2，
解得－4＜m≤2－2或m＝0.
所以实数m的取值范围为(－4，2－2]∪{0}．