高考数学一轮复习课时质量作业(十七)含答案

这是一份高考数学一轮复习课时质量作业(十七)含答案，共6页。

1．(2024·西安模拟)已知函数f (x)，其导函数f ′(x)的图象如图所示，则( )
A．f (x)有2个极值点
B．f (x)在x＝1处取得极小值
C．f (x)有极大值，没有极小值
D．f (x)在(－∞，1)上单调递减
C 解析：由题意及题图分析可知，f (x)在(－∞，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，所以f (x)有一个极大值，没有极小值，所以A，B，D错误，C正确．故选C．
2．已知函数f (x)＝－xex，那么f (x)的极大值是( )
A．1eB．－1e
C．－eD．e
A 解析：因为函数f (x)＝－xex，所以f ′(x)＝－(x＋1)ex.令f ′(x)＝0，得x＝－1.当x<－1时，f ′(x)>0；当x>－1时，f ′(x)<0，所以f (x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减，所以f (x)极大值＝f (－1)＝1e.故选A．
3．(多选题)已知函数f (x)＝ex－2x＋1，则下列说法正确的是( )
A．f (x)有极大值2ln 2
B．f (x)有极小值3－2ln 2
C．f (x)无最大值
D．f (x)在(ln 2，＋∞)上单调递增
BCD 解析：因为f (x)＝ex－2x＋1的定义域为R，并且f ′(x)＝ex－2，令f ′(x)＝0，得x＝ln 2.当x∈(－∞，ln 2)时，f ′(x)<0，f (x)单调递减；当x∈(ln 2，＋∞)时，f ′(x)>0，f (x)单调递增，所以当x＝ln 2时，f (x)取得极小值，无极大值，也无最大值，并且f (x)极小值＝f (ln 2)＝3－2ln 2，所以BCD正确，A错误．故选BCD．
4．(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f (x)＝a ln x＋bx取得最大值－2，则f ′(2)＝( )
A．－1B．－12
C．12D．1
B 解析：由题意知f (1)＝a ln 1＋b＝b＝－2.f ′(x)＝ax－bx2，因为f (x)的定义域为(0，＋∞)，所以易得f ′(1)＝a＋2＝0，所以a＝－2，所以f ′(2)＝a2－b4＝－12.
5．设直线x＝t与函数f (x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小值时t的值为( )
A．1B．12
C．52D．22
D 解析：因为函数f (x)的图象始终在g(x)的上方，所以|MN|＝f (x)－g(x)＝x2－ln x.设h(x)＝x2－ln x，则h′(x)＝2x－1x＝2x2－1x(x＞0)．令h′(x)＝2x2－1x＝0，得x＝22，所以h(x)在0，22上单调递减，在22，+∞上单调递增，所以当x＝22时取得极小值，也是最小值，故t＝22.
6．已知函数f (x)＝3ln x－x2＋a－12x在区间(1，3)上有最大值，则实数a的取值范围是________.
－12，112 解析：因为f (x)＝3ln x－x2＋a－12x，所以f ′(x)＝3x－2x＋a－12.由于f (x)＝3ln x－x2＋a－12x在区间(1，3)上有最大值，且f ′(x)＝3x－2x＋a－12在(1，3)上单调递减，故需满足f ′(x)在(1，3)内有唯一零点，故f '1>0，f '3<0，即3－2+a－12>0，1－6+a－12<0，解得－127．函数f (x)＝－3x－|ln x|＋3的最大值为________.
2－ln 3 解析：由题知当x≥1时，f (x)＝－3x－ln x＋3，所以f ′(x)＝－3－1x<0，所以f (x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f (x)max＝f (1)＝0.当00，f (x)单调递增；当x∈13，1时，f ′(x)<0，f (x)单调递减，所以当0＜x＜1时，f (x)max＝f 13＝2－ln 3.综上可知"，" ("f" ("x" )_"max" ⁡ )＝2－ln 3.
8．(2024·潍坊模拟)已知函数f (x)＝ax－52＋6ln x(a∈R)，曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线与y轴相交于点(0，6)，则函数f (x)的极小值为________.
2＋6ln 3 解析：因为f (x)＝a(x－5)2＋6ln x，所以f (1)＝16a，即切点为(1，16a)．又f ′(x)＝2a(x－5)＋6x，k＝f ′(1)＝6－8a，所以切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)．又切线过点(0，6)，所以6－16a＝(6－8a)(0－1)，解得a＝12，所以f (x)＝12x－52＋6ln x，则f ′(x)＝x－5＋6x＝x2－5x+6x＝x－2x－3x，所以当03时，f ′(x)>0；当29．(2024·1月·九省适应性测试)已知函数f (x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点(2，f (2))处的切线与直线2x＋3y＝0垂直．
(1)求实数a的值；
(2)求f (x)的单调区间和极值．
解：(1)f ′(x)＝1x＋2x＋a(x＞0)，则f ′(2)＝12＋2×2＋a＝92＋a.
由题意可得92+a×－23＝－1，解得a＝－3.
(2)因为a＝－3，所以f (x)＝ln x＋x2－3x＋2，
所以f ′(x)＝1x＋2x－3＝2x2－3x+1x＝2x－1x－1x(x＞0)，
故当00；当121时，f ′(x)>0.
故f (x)的单调递增区间为0，12，(1，＋∞)，单调递减区间为12，1，
故f (x)的极大值为f 12＝ln 12+122－3×12＋2＝34－ln 2，
极小值为f (1)＝ln 1＋12－3×1＋2＝0.
10．(多选题)设f ′(x)为函数f (x)的导函数，已知x2f ′(x)＋xf (x)＝ln x，f (1)＝12，则下列结论正确的是( )
A．xf (x)在(1，＋∞)上单调递增
B．xf (x)在(1，＋∞)上单调递减
C．xf (x)在(0，＋∞)上有极大值12
D．xf (x)在(0，＋∞)上有极小值12
AD 解析：由x2f ′(x)＋xf (x)＝ln x，可得xf ′(x)＋f (x)＝1xln x，x>0，所以[xf (x)]′＝lnxx.令g(x)＝xf (x)，x>0，则g′(x)＝lnxx，当01时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，所以函数g(x)＝xf (x)在(0，＋∞)上有极小值g(1)＝f (1)＝12.故选AD．
11．(多选题)(2024·漳州模拟)已知函数f (x)＝(x2－3)ex，现给出下列结论，其中正确的是( )
A．函数f (x)有极小值，但无最小值
B．函数f (x)有极大值，但无最大值
C．若方程f (x)＝b恰有一个实数根，则b>6e－3
D．若方程f (x)＝b恰有三个不同的实数根，则0BD 解析：由题意得f ′(x)＝(x2＋2x－3)ex.令f ′(x)＝0，即(x2＋2x－3)ex ＝0，解得x＝1或x＝－3，则当x<－3或x>1时，f ′(x)>0，即函数f (x)在(－∞，－3)，(1，＋∞)上单调递增；当－3因此f (x)有极小值f (1)，也有最小值f (1)，有极大值f (－3)，但无最大值．若方程f (x)＝b恰有一个实数根，则b>6e-3或b＝－2e；若方程f (x)＝b恰有三个不同的实数根，则012．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________.
227a3 解析：容积V(x)＝(a－2x)2x，013．(2024·渭南模拟)已知函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为________.
1e 解析：因为f (x)＝aex－ln x(x>0)，所以f ′(x)＝aex－1x.因为函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，所以f ′(x)≥0在(1，2)上恒成立．显然a>0，所以问题转化为xex≥1a在(1，2)上恒成立．设g(x)＝xex，x∈(1，2)，所以g′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex>0，所以g(x)在(1，2)上单调递增，所以g(x)>g(1)＝e.故e≥1a，解得a≥1e，所以a的最小值为1e.
14．已知函数f (x)＝2x3－(a＋3)x2＋2ax，a∈R.
(1)当a＝0时，求f (x)的极值；
(2)当|a|≥1时，求f (x)在[0，|a|]上的最小值．
解：(1)当a＝0时，f (x)＝2x3－3x2，f ′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)．
故当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f ′(x)>0，x∈(0，1)时，f ′(x)<0.
则f (x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减，
所以f (x)的极大值为f (0)＝0，极小值为f (1)＝－1.
(2)因为f (x)＝2x3－(a＋3)x2＋2ax，
所以f ′(x)＝6x2－2(a＋3)x＋2a＝2(x－1)(3x－a)．
①当a>3时，f (x)在[0，1)上单调递增，在1，a3上单调递减，在a3，a上单调递增，
所以f (x)min＝minf 0，f a3＝min0，a29－a27＝0，39.
②当a＝3时，f (x)在[0，3]上单调递增，所以f (x)min＝f (0)＝0.
③当1≤a<3时，f (x)在0，a3上单调递增，在a3，1上单调递减，在(1，a]上单调递增，
所以f (x)min＝min{f (0)，f (1)}＝min{0，a－1}＝0.
④当a≤－1时，f (x)在[0，1)上单调递减，在(1，|a|]上单调递增，所以f (x)min＝f (1)＝a－1.
综上所述，f (x)min＝a－1，a≤－1，0，1≤a≤9，a29－a27，a>9.