高考数学一轮复习第三章微专题公切线问题学案

这是一份高考数学一轮复习第三章微专题公切线问题学案，共2页。

类型一 求公切线方程
【例1】(2024·东营调研)与曲线y＝ex和y＝－x24都相切的直线方程为______________.
y＝x＋1 解析：设直线与曲线y＝ex相切于点(x1，ex1)，因为y′＝ex，所以该直线的方程为y-ex1＝ex1(x－x1)，即y＝ex1x+ex1(1－x1)．设直线与曲线y＝－x24相切于点x2，－x224，因为y′＝－x2，所以该直线的方程为y＋x224＝＝－x22(x－x2)，即y＝－x22x＋x224，所以ex1=－x22， ex11－x1=x224，消去x2，整理得ex1＋x1－1＝0.令f (x)＝ex＋x－1，则f (x)在R上单调递增且f (0)＝0，所以x1＝0，代入ex1＝－x22，得x2＝－2，所以该直线的方程为y＝x＋1.
已知其中一条曲线上的切点，利用导数的几何意义求切线斜率，进而求出另一条曲线上的切点；不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程. 具体做法为：设公切线在y＝f (x)上的切点P1(x1，f (x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f ′(x1)＝g′(x2)＝f x1－gx2x1－x2.
类型二 由公切线求参数问题
【例2】已知直线y＝ax＋b(a∈R，b>0)是曲线f (x)＝ex与曲线g(x)＝ln x＋2的公切线，则a＋b等于( )
A．e＋2B．3
C．e＋1D．2
D 解析：设(t，et)是f (x)＝ex图象上的一点．因为f ′(x)＝ex，所以f (x)在点(t，et)处的切线方程为y－et＝et(x－t)，即y＝etx＋(1－t)et①.令g′(x)＝1x＝et，解得x＝e－t，g(e－t)＝ln e－t＋2＝2－t，所以2－t－ete－t－t＝et，化简得1－t＝(1－t)et，所以t＝0或t＝1，当t＝1时，①为y＝ex，b＝0，不符合题意，舍去；当t＝0时，①可化为y＝x＋1，所以a＋b＝1＋1＝2. 故选D．
由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程．