高考数学一轮复习第八章微专题抛物线二级结论的应用学案

这是一份高考数学一轮复习第八章微专题抛物线二级结论的应用学案，共5页。

我们以抛物线y2＝2px(p>0)为例来研究．已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，α为直线AB与x轴正半轴的夹角，且A(x1，y1 )，B(x2，y2)．
类型一 活用x1x2＝p24，y1y2＝－p2
【例1】直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线上一点M(－1，－1)满足MA·MB＝0，则|AB|＝( )
A．6B．5
C．42D．32
B 解析：由抛物线C的准线上一点M(－1，－1)，
知p2＝1，解得p＝2，故F(1，0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，y1y2＝－4，
MA＝(x1＋1，y1＋1)，MB＝(x2＋1，y2＋1)．
因为MA·MB＝0，所以(x1＋1)(x2＋1)＋(y1＋1)(y2＋1)＝0，
化简得x1＋x2＋y1＋y2＝1.
设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，直线l的斜率为k，
则x0＋y0＝12①，
k＝kAB＝y1－y2x1－x2＝y1－y2y124－y224＝4y1+y2＝2y0，
且k＝kNF＝y0x0－1，
所以2y0＝y0x0－1，即y02＝2(x0－1)②.
由①②，解得x0＝32.
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝2x0＋p＝5.
【例2】(多选题)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点F，且与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列说法正确的是( )
A．抛物线C的焦点坐标为(1，0)
B．|AB|的最小值为 4
C．对任意的直线l，x1x2＝1
D．以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切
BD 解析：抛物线C：x2＝4y的焦点为F(0，1)，A选项错误；
抛物线的焦点弦中，通径最短，故|AB|的最小值为4，B选项正确；
由题意，抛物线的焦点在y轴，则x1x2＝－p2＝－4，C选项错误；
如图所示，设AB的中点为M，过A，B，M分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，M′，
则|MM′|＝AA'+BB'2＝AF+BF2＝AB2，
可知以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，D选项正确．
类型二 活用|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α
【例3】已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点．若A1，22，则|AB|＝( )
A．9B．7
C．6D．5
A 解析：由题意得F(2，0)，
设直线l的倾斜角为α，
所以kl＝tan α＝kAF＝22－01－2＝－22.
所以sin α＝223，所以AB＝2psin2α＝9.
【例4】已知抛物线x2＝12y的焦点为F，过焦点F的直线y＝kx＋m(k>0)与抛物线相交于A，B两点．若|AB|＝36，则k＝( )
A．2B．2
C．22D．12
B 解析：由抛物线x2＝12y可得焦点F(0，3)，
代入y＝kx＋m(k>0)，得m＝3.
联立y＝kx+3，x2 ＝12y，得x2－12kx－36＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝12k，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6＝12k2＋6.
由抛物线的定义可得|AB|＝y1＋y2＋p＝12k2＋12＝36，解得k＝2.
类型三 活用1AF+1BF＝2p
【例5】过抛物线C：y2＝12x的焦点F的直线l与C相交于M，N两点，则4|MF|＋|NF|的最小值为( )
A．15B．18
C．21D．27
D 解析：由题意知p＝6.
因为1MF+1NF＝2p＝13，
令|MF|＝a，|NF|＝b，则1a+1b＝13，
所以4|MF|＋|NF|＝31MF+1NF·4MF+NF＝31a+1b×(4a＋b)
＝3× (5+ba+4ab)≥3×5+24＝27.
当且仅当ba＝4ab，即b＝2a时取等号，
即|MF|＝92，NF＝9时，
4|MF|＋|NF|取得最小值，最小值为27.
【例6】已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(4，0)，过点F作直线l交抛物线于M，N两点，则p＝________，NF9－4MF的最小值为________.
8 13 解析：因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(4，0)，所以p＝8，抛物线的方程为y2＝16x.
因为1NF+1MF＝2p＝14，所以1MF＝14－1NF，
所以NF9－4MF＝NF9+4NF－1≥2NF9·4NF －1＝2×23－1＝13，
当且仅当NF9＝4NF，即NF＝6时取等号．
故NF9－4MF的最小值为13.
类型四 活用|AF|＝p1－csα，BF＝p1+csα
【例7】已知直线l：y＝kx－p2与抛物线C：y2＝2px(p>0)相交于A，B两点(其中A位于第一象限)．若|BF|＝3|FA|，则k＝( )
A．－3B．－33
C．－1D．－13
A 解析：由题意，直线l过抛物线的焦点，且k<0，设直线l的倾斜角为α，
因为|BF|＝3|FA|，所以p1+csα＝3p1－csα，解得cs α＝－12，所以α＝120˚，
所以k＝tan α＝－3.
【例8】(多选题)已知过抛物线y2＝2x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且满足|AF|>|BF|.若|AB|＝3，则( )
A．l的斜率的绝对值为22
B．|AF|－|BF|＝3
C．|AF|·|BF|＝32
D．AFBF＝2+3
BCD 解析：设直线的倾斜角为α.
|AB|＝2psin2α＝2sin2α＝3，所以sin α＝63，csα＝33，
则l的斜率的绝对值为2，故A错误；
因为AF>BF，所以AFBF＝1+csα1－csα＝2+3，故D正确；
因为|AF|＋|BF|＝3，所以|AF|＝3+32，BF＝3－32，则AF－BF＝3，AF·BF＝32，故B，C正确．
解决焦点弦问题的策略
要熟悉焦点弦的几个结论，解题时作为思路导引，通过二级结论简单计算中间数据，总结发现数量之间的关系、直线和曲线的位置关系等．对于较为复杂的圆锥曲线问题，二级结论有着重要的桥梁作用和应用意义．