高考数学一轮复习第八章规范解答系列(五)高考中的圆锥曲线问题学案

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(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明：P在定直线上．
思维拆解
第一步：求双曲线方程．利用条件求出a，b后写方程．
第二步：设出直线MN的方程，联立、消元，根据根与系数的关系得到点的坐标关系．
第三步：设出直线MA1，NA2的方程，消去y1，y2后得点的坐标得证．
规范解答
(1)解：双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为－25，0，离心率为5，则ca＝5，c＝25，c2＝a2+b2，
1分
解得a＝2，b＝4，故双曲线C的方程为x24－y216＝1.3分
(2)证明：过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，
则可设直线MN的方程为x＝my－4.4分
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由题可得A1(－2，0)，A2(2，0)，
联立x＝my－4，4x2－y2＝16，
化简整理，可得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，5分
故Δ＝(－32m)2－4×48×(4m2－1)＝256m2＋192>0且4m2－1≠0，6分
y1＋y2＝32m4m2－1，y1y2＝484m2－1，7分
直线MA1的方程为y＝y1x1+2(x＋2)，
直线NA2的方程y＝y2x2－2(x－2)，9分
故x+2x－2＝y2x1+2y1x2－2＝y2my1－2y1my2－6
＝my1y2－2y1+y2+2y1my1y2－6y1
＝m·484m2－1－2·32m4m2－1+2y1m·484m2－1－6y1＝－16m4m2－1+2y148m4m2－1－6y1＝－13，11分
故x+2x－2＝－13，解得x＝－1，所以xP＝－1，
故点P在定直线x＝－1上运动．12分
阅卷细则
(1)将已知条件用a，b，c表示得1分；准确求解并写出方程得2分．
(2)设出直线MN的方程得1分，点斜式方程同样给分．
(3)准确消元得方程、Δ、根与系数关系各得1分，未注明Δ扣1分．
(4)准确表示出两条直线的方程各得1分．
(5)准确消去y1，y2运算出－13得2分；化简得出横坐标，并得到结论得1分．