高考数学一轮复习第八章第一节直线方程学案

这是一份高考数学一轮复习第八章第一节直线方程学案，共14页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。

考试要求：1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
2．掌握直线方程的几种形式，能根据直线方程解决直线相关问题．
自查自测
知识点一 直线的倾斜角和斜率
1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × )
(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大．( × )
(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tan α.( × )
2．(教材改编题)已知点A(2，0)，B3，3，则直线AB的倾斜角为( )
A．30˚B．60˚
C．120˚D．150˚
B 解析：由题意得直线AB的斜率k＝3－03－2＝3.
设直线AB的倾斜角为α，则tan α＝3．
因为0˚≤α<180˚，所以α＝60˚.
核心回扣
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0˚≤α<180˚.
2．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α(α≠90˚)
(1)过两点的直线的斜率公式
(2)如果直线经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝y2－y1x2－x1．
自查自测
知识点二 直线的方程
1．(教材改编题)已知直线l过点(1，1)，且倾斜角为90˚，则直线l的方程为( )
A．x＋y＝1B．x－y＝1
C．y＝1D．x＝1
D 解析：因为直线l的倾斜角为90˚，所以该直线无斜率，与x轴垂直．又因为直线l过点(1，1)，所以直线l的方程为x＝1.
2．倾斜角为135˚，在y轴上的截距为－1的直线方程是( )
A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0
D 解析：因为直线的斜率为k＝tan 135˚＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.
3．直线x＋3y＋1＝0的倾斜角是( )
A．π6B．π3
C．2π3D．5π6
D 解析：由直线的方程得直线的斜率k＝－33，设直线的倾斜角为α，则tan α＝－33.又α∈[0，π)，所以α＝5π6.
核心回扣
直线方程的五种形式
【常用结论】
1．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
2．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A)．
应用1 过点(5，2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是( )
A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C．x－2y－1＝0D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0
B 解析：设所求直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为2a.①当a＝0时，所求直线经过点(5，2)和(0，0)，所以直线方程为y＝25x，即2x－5y＝0；②当a≠0时，设所求直线方程为xa+y2a＝1，又直线过点(5，2)，所以5a+22a＝1，解得a＝6，所以所求直线方程为x6+y12＝1，即2x＋y－12＝0.
综上，所求直线方程为2x－5y＝0或2x＋y－12＝0.
应用2 过A(2，4)，B(1，m)两点的直线的一个方向向量为n＝(－1，1)，则m＝( )
A．－1B．1
C．5D．3
C 解析：由题意可知m－41－2＝－1，所以m＝5.
直线的倾斜角和斜率
1．(多选题)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列结论正确的是( )
A．k1C．α3<α2<α1D．α1<α3<α2
AC 解析：由题图可得k2>k3>0，k1<0，π2>α2>α3>0，α1＞π2，所以k12．直线2x cs α－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的变化范围是( )
A．π6，π3B．π4，π3
C．π4，π2D．π4，2π3
B 解析：直线2x cs α－y－3＝0的斜率k＝2cs α.
因为α∈π6，π3，所以12≤cs α≤32，故k＝2cs α∈[1，3].
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3].
由于θ∈[0，π)，所以θ∈π4，π3，
即倾斜角的变化范围是π4，π3.
3．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________．
13 －3 解析：如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．
设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2.由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45˚，直线OC的倾斜角为θ＋45˚，故kOA＝tan (θ－45˚)＝tanθ－tan45˚1+tanθtan45˚＝2－11+2＝13，kOC＝tan (θ＋45˚)＝tanθ+tan45˚1－tanθtan45˚＝2+11－2＝－3.
(1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法．
(2)倾斜角和斜率范围的求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tan α的单调性．
求直线的方程
【例1】求符合下列条件的直线方程．
(1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－14；
(2)直线过点(2，1)，且横截距为纵截距的两倍；
(3)直线过点(5，10)，且原点到该直线的距离为5.
解：(1)因为所求直线过点A(－1，－3)，且斜率为－14，
所以y＋3＝－14(x＋1)，即x＋4y＋13＝0.
(2)当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx.
又直线过点(2，1)，所以1＝2k，解得k＝12，
所以直线方程为y＝12x，即x－2y＝0.
当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为xa+yb＝1.
由题意可得2a+1b=1，a=2b，解得a=4，b=2，所以直线方程为x4+y2＝1，即x＋2y－4＝0.
综上所述，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.
(3)当直线的斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，满足题意．
当直线的斜率存在时，设斜率为k，
则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.
所以原点到直线的距离d＝10－5kk2+1＝5，解得k＝34，
所以所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
[变式] 本例(2)中，其他条件不变，求截距和为0的直线方程．
解：由题意，直线方程分别为y＝12x和y－1＝x－2，即x－2y＝0和x－y－1＝0.
求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．
注意：选用点斜式或斜截式时，需讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，需讨论直线是否过原点及与两坐标轴是否垂直．
1．已知直线l的一个方向向量为n＝(2，3)，若直线l过点A(－4，3)，则直线l的方程为( )
A．y－3＝－32(x＋4)B．y＋3＝32(x－4)
C．y－3＝32(x＋4)D．y＋3＝－32(x－4)
C 解析：(方法一)因为直线l的一个方向向量为n＝(2，3)，所以直线l的斜率k＝32.
又直线l过点A(－4，3)，所以直线l的方程为y－3＝32(x＋4)．
(方法二)设P(x，y)是直线l上的任意一点(不同于点A)，则AP＝(x＋4，y－3)．
因为直线l的一个方向向量为n＝(2，3)，
所以3(x＋4)－2(y－3)＝0，故直线l的方程为y－3＝32(x＋4)．
2．过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为__________．
2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0 解析：设直线方程的截距式为xa+1+ya＝1，
将点P(6，－2)代入方程，则6a+1+－2a＝1，解得a＝2或a＝1，
则直线的方程为x2+1+y2＝1或x1+1+y1＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.
直线方程的综合应用
考向1 与最值有关的直线方程
【例2】(2024·泰安模拟)已知直线l过点M(1，1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为坐标原点．当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，求直线l的方程．
解：设直线l的方程为xa+yb＝1(a>0，b>0)，则A(a，0)，B(0，b)，且1a+1b＝1，
则a＋b＝ab.
所以|MA|2＋|MB|2＝(a－1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＋(b－1)2
＝4＋a2＋b2－2(a＋b)＝4＋a2＋b2－2ab＝4＋(a－b)2≥4，
当且仅当a＝b＝2时，等号成立，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
求解与最值有关的直线方程问题的一般步骤
(1)设出直线方程，建立目标函数．
(2)利用基本不等式、一元二次函数求解最值，得出待定系数．
(3)写出直线方程．
考向2 由直线方程求参数范围
【例3】已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4.当012 解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，
直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2.
又因为0＜a＜2，
所以四边形的面积S＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝a－122＋154.
故当a＝12时，四边形的面积最小．
直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解答．
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解答．
1．(2024·德州模拟)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
5 解析：由直线x＋my＝0，得定点A(0，0)，由直线mx－y－m＋3＝0，即y－3＝m(x－1)，得定点B(1，3)．当m＝0时，两条直线垂直；当m≠0时，因为－1m×m＝－1，所以两条直线也垂直．因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤PA2+PB22＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝5时，等号成立)，所以|PA|·|PB|的最大值是5.
2．若ab>0，且A(a，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________．
16 解析：因为ab＞0，所以根据A(a，0)，B(0，b)确定直线的方程为xa+yb＝1，又因为C(－2，－2)在该直线上，故－2a+－2b＝1，所以－2(a＋b)＝ab，所以a<0，b<0.
根据基本不等式可得ab＝－2(a＋b)≥4ab，所以ab≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时，等号成立，即ab的最小值为16.
课时质量评价(四十六)
1．直线l：x sin 30˚＋y cs 150˚＋1＝0的斜率是( )
A．33B．3
C．－3D．－33
A 解析：斜率k＝－sin30˚cs150˚＝－12－32＝33.
2．已知直线l1：3x＋y＝0与直线l2：kx－y＋1＝0，若直线l1与直线l2所成的角是60˚，则k的值为( )
A．3或0B．－3或0
C．3D．－3
A 解析：直线l1：3x＋y＝0的斜率为k1＝－3，
所以直线l1的倾斜角为120˚.
要使直线l1与直线l2的夹角是60˚，
只需直线l2的倾斜角为0˚或60˚，
所以k的值为0或3.
3．(2024·南京模拟)若将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度，又回到了原来的位置，则l的斜率是( )
A．－32B．32
C．－23D．23
C 解析：由题意可知直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，
则平移后直线的方程为y＝k(x－3)＋b－2＝(kx＋b)＋(－3k－2)．
由题意可得kx＋b＝(kx＋b)＋(－3k－2)，解得k＝－23.
4．设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是( )
A．－∞，－52∪43，+∞
B．－43，52
C．－52，43
D．－∞，－43∪52，+∞
B 解析：易知直线ax＋y＋2＝0过定点P(0，－2)，kPA＝－52，kPB＝43.因为直线ax＋y＋2＝0的斜率为－a，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，根据图象(图略)可知－52＜－a＜43，即－43＜a＜52.
5．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|.若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是( )
A．x＋y－5＝0B．2x－y－1＝0
C．2x－y－4＝0D．2x＋y－7＝0
A 解析：易知A(－1，0)．
因为|PA|＝|PB|，
所以点P在线段AB的垂直平分线，即x＝2上，所以B(5，0)．
因为PA，PB关于直线x＝2对称，所以kPB＝－1.
所以lPB：y－0＝－(x－5)，即x＋y－5＝0.
6．(多选题)下列说法正确的是( )
A．截距相等的直线都可以用方程xa+ya＝1表示
B．方程x＋my－2＝0(m∈R)能表示平行于y轴的直线
C．经过点P(1，1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tan θ(x－1)
D．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
BD 解析：对于A，若直线过原点，横、纵截距都为0，则不能用方程xa+ya＝1表示，所以A不正确；对于B，当m＝0时，平行于y轴的直线方程为x＝2，所以B正确；对于C，若直线的倾斜角为90˚，则该直线的斜率不存在，不能用y－1＝tan θ(x－1)表示，所以C不正确；对于D，设点P(x，y)是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线上的任意一点，根据P1P2∥P1P可得(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，所以D正确．
7．过点M(－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为__________________．
5x＋3y＝0或x－y＋8＝0 解析：①当直线过原点时，直线方程为y＝－53x，
即5x＋3y＝0；
②当直线不过原点时，设直线方程为xa +y－a＝1，即x－y＝a，代入点M(－3，5)，得a＝－8，
即直线方程为x－y＋8＝0.
综上，直线方程为5x＋3y＝0或x－y＋8＝0.
8．在△ABC中，已知A(1，1)，AC边上的高线所在的直线方程为x－2y＝0，AB边上的高线所在的直线方程为3x＋2y－3＝0，则BC边所在的直线方程为
____________________．
2x＋5y＋9＝0 解析：由题意，得kAC＝－2，kAB＝23，
所以lAC：y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，
lAB：y－1＝23(x－1)，即2x－3y＋1＝0.
由2x+y－3=0，3x+2y－3=0，得C(3，－3)．
由2x－3y+1=0，x－2y=0， 得B(－2，－1)．
所以lBC：2x＋5y＋9＝0.
9．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边的垂直平分线DE的方程．
解：(1)因为直线BC经过B(2，1)和C(－2，3)两点，
所以直线BC的方程为y－13－1＝x－2－2－2，即x＋2y－4＝0.
(2)由(1)知直线BC的斜率k1＝－12，
则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.
因为BC边的垂直平分线DE经过BC的中点(0，2)，
所以直线DE的方程为y－2＝2(x－0)，
即2x－y＋2＝0.
10．如图，平面四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，直线AB的斜率为23，直线BC的斜率为－12，则tan ∠ABC＝( )
A．－14B．－78
C．－74D．－72
C 解析：由三角形的外角公式可得∠ABC＝∠xCB－∠xAB，
所以tan ∠ABC＝tan (∠xCB－∠xAB)＝kBC－kA1+kBCkA＝－12－231+－12×23＝－74.
11．已知A(2，5)，B(4，1)，若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为( )
A．－1B．3
C．7D．8
C 解析：依题意得kAB＝5－12－4＝－2，所以线段AB的方程为y－1＝－2(x－4)，x∈[2，4]，即y＝－2x＋9，x∈[2，4]，故2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9，x∈[2，4].
故当x＝4时，原式取得最大值为4×4－9＝7.
12．(2024·金华模拟)已知点P在曲线y＝43ex+1上，θ为曲线在点P处的切线的倾斜角，则θ的取值范围是( )
A．0，π3B．π3，π2
C．π2，2π3D．2π3，π
D 解析：由题意可得y′＝－43exex+12＝－43ex+1ex+2，
由于ex＋1ex＋2≥4，所以y′∈[－3，0)．
根据导数的几何意义可知，tan θ∈[－3，0)，所以θ∈2π3，π.故选D．
13.过点P(-1，0)且与直线l：3x－y＋2＝0的夹角为π6的直线的方程是___________.
x＋1＝0或x－3y＋1＝0 解析：设直线l的倾斜角为β，则β∈[0，π)且tan β＝3，
则β＝π3.
因为所求直线与直线l的夹角为π6，所以所求直线的倾斜角为π6或π2.
当所求直线的倾斜角为π2时，直线方程为x＋1＝0；
当所求直线的倾斜角为π6时，直线方程为y＝33(x＋1)，即x－3y＋1＝0.
综上，所求直线的方程为x＋1＝0或x－3y＋1＝0.
14．如图，在矩形ABCD中，BC＝3AB，直线AC的斜率为33，则直线BC的斜率为________.
3 解析：由题意，在Rt△ABC中，∠ABC＝π2，BC＝3AB，所以tan ∠ACB＝ABBC＝33，即∠ACB＝π6.设直线AC的倾斜角为θ，则tan θ＝33，即θ＝π6，所以直线BC的倾斜角为θ＋π6＝π3，故kBC＝tan π3＝3.
15．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴所成的角为45˚和30˚，过点P(1，0)的直线AB分别交OA，OB于A，B两点．当AB的中点C恰好落在直线y＝12x上时，求直线AB的方程．
解：由题意可得kOA＝tan 45˚＝1，kOB＝tan (180˚－30˚)＝－33，
所以lOA：y＝x，lOB：y＝－33x.
设A(m，m)，B－3n，n，
所以AB的中点Cm－3n2，m+n2.
由点C在直线y＝12x上，且A，P，B三点共线，
得m+n2＝12·m－3n2， m－0－3n－1＝n－0m－1，
解得m＝3，所以A3，3.
又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝33－1＝3+32，所以lAB：y＝3+32(x－1)，
即直线AB的方程为3+3x－2y－3－3＝0.名称
方程
条件
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
与x轴不垂直的直线
斜截式
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
两点式
y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
xa+yb＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面内的所有直线