高考数学一轮复习第三章第二节第三课时利用导数证明不等式——构造法证明不等式课件

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核心考点 提升“四能”
　　　　　移项作差构造函数证明不等式【例1】(2024·邢台模拟)已知函数f (x)＝x(ln x＋a)．(1)求f (x)的单调区间；解：f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝ln x＋1＋a.令f ′(x)＝0，得x＝e－a-1.令f ′(x)<0，解得00，解得x>e－a-1.所以f (x)的单调递减区间为(0，e－a-1)，单调递增区间为(e－a-1，＋∞)．
待证不等式的两边含有同一个变量时，一般可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导数研究其单调性等相关函数性质证明不等式．
　　　放缩构造法【例2】(2024·济南质检)已知函数f (x)＝x ln x－ax＋1(a∈R)．(1)若a≤1，讨论f (x)零点的个数；解：由题意可得函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝ln x＋1－a.令f ′(x)>0，可得x>ea-1；令f ′(x)<0，可得00，此时f (x)没有零点；当a＝1时，f (ea-1)＝1－e1-1＝0，此时f (x)有且只有一个零点．综上，当a<1时，f (x)没有零点；当a＝1时，f (x)有且只有一个零点．
用导数方法证明不等式的问题中，最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号．(2)ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号．
　　　　　构造双函数法【例3】(2024·汉中模拟)已知函数f (x)＝x(ln x－a)．(1)若f (x)在(1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；解：函数f (x)＝x(ln x－a)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝ln x＋1－a.因为f (x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f ′(x)＝ln x＋1－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≤ln x＋1在(1，＋∞)上恒成立．设g(x)＝ln x＋1，函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，故g(x)>g(1)＝ln 1＋1＝1.所以a≤1.故a的取值范围是(－∞，1].
1．在证明不等式的问题中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题．2．在证明过程中，“隔离化”是关键．如果证g(x)≥f (x)恒成立，只需证g(x)min≥f (x)max恒成立，但只有当f (x)与g(x)取到最值时对应的x的值相同时取等号，否则只能得到g(x)>f (x).