2024-2025学年贵州省黔东南州从江县停洞中学九年级（上）质检数学试卷（9月份）（含解析）

这是一份2024-2025学年贵州省黔东南州从江县停洞中学九年级（上）质检数学试卷（9月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.将方程5x2+1=4x化成ax2+bx+c=0的形式，则a，b，c的值分别为( )
A. 5，4，1B. 5，4，−1C. 5，−4，1D. 5，−4，−1
2.解方程x(x−2)+3(x−2)=0，最适当的解法是( )
A. 直接开平方法B. 因式分解法C. 配方法D. 公式法
3.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)，a、b、c满足a+b+c=0和a−b+c=0，则方程的根是( )
A. 1，0B. −1，0C. 1，−1D. 无法确定
4.用配方法解方程3x2−6x+2=0，将方程变为(x−m)2=13的形式，则m的值为( )
A. 9B. −9C. 1D. −1
5.下列一元二次方程中，两根之和为2的是( )
A. 2x2−4x+1=0B. x2+2x−1=0C. x2−2x+3=0D. x2−5x+2=0
6.如果代数式3x2−6的值为21，那么x的值是( )
A. 3B. ±3C. −3D. ± 3
7.下列方程中，无实数根的方程是( )
A. x2+3x=0B. x2+2x−1=0C. x2+2x+1=0D. x2−x+3=0
8.已知a是一元二次方程x2−x−1=0较大的根，则下面对a的估计正确的是( )
A. 09.已知△ABC为等腰三角形，已知它的两条边的长度分别是方程2x2−7x+5=0的两个根，那么该三角形的周长是( )
A. 92或6B. 92C. 5D. 6
10.关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=−2，x2=1(a,m,b均为常数，a≠0)，则方程a(x−m+2)2+b=0的解是( )
A. x1=0，x2=−3B. x1=0，x2=3
C. x1=−4，x2=−1D. 无法求解
11.《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖
竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”，其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长AC为x尺，依题意可得方程是( )
A. (x−4)2+(x−2)2=x2B. 42+(x−2)2=x2
C. (x−4)2+(x−2)2=2x2D. (x−4)2+22=x2
12.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法正确的有( )
①若ac>0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
②若a+b+c=0，则b2−4ac≥0；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac=(2ax0+b)2．
A. 1个B. 2 个C. 3个D. 4 个
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.已知关于x的一元二次方程x2+kx−6=0的一个根是2，则另一个根是______．
14.贵阳市某鞋厂7月份的运动鞋产量为24万双，因销量较好，8月份、9月份均增大产量，使第三季度的总产量达到88万双，设该厂8，9月份运动鞋产量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为______．
15.已知关于x的方程x2−2 5x−m2=0根的判别式的值36，则m=______．
16.已知实数a，b满足 a−3+|b+2|=0，若关于x的一元二次方程x2−ax+b=0的两个实数根分别为x1，x2，则ab的值为______，1x1+1x2的值为______．
三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
解方程：(1)x2−x−3=0；
(2)4(x+1)2=2x+2．
18.(本小题10分)
若方程x2−2x−m+1=0没有实数根，试判断方程x2−(m+2)x+2m+1=0根的情况并说明理由．
19.(本小题10分)
如图，是平塘某校学生为庆祝“十一”而举行的升旗仪式的摄影作品(七寸照片)，照片长7英寸，宽5英寸，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积与照片的面积
之比为9：5，求照片四周外露村纸的宽度．
20.(本小题10分)
已知关于x的方程mx2−(3m−1)x+2m−2=0．
(1)求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．
(2)若m是整数，且方程总有两个整数根，求m的值．
21.(本小题10分)
如图，在长15m、宽10m的矩形场地ABCD上，建有三条同样宽的人行道，其中一条与AD平行，另两条与AB平行，其余的部分为草坪.已知草坪的总面积为126m2．
(1)求人行道的宽度；
(2)若人行道每平方米的硬化费用是120元，求人行道硬化的总费用？
22.(本小题10分)
某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．
(1)降价前商场每天销售该商品的利润是多少元？
(2)要使商场每天销售这种商品的利润达到降价前每天利润的两倍，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
23.(本小题12分)
已知关于x的一元二次方程x2−2(m−1)x+m2=0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x12+x22=8−3x1x2，求m的值．
24.(本小题12分)
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0，x2=−1，则方程x2+x=0是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断方程2x2−2 3x+1=0是否是“邻根方程”？
(2)已知关于x的方程x2−(m−1)x−m=0(m是常数)是“邻根方程”，求m的值．
25.(本小题12分)
先阅读，后解题．
已知m2+2m+n2−6n+10=0，求m和n的值．
解：将左边分组配方：(m2+2m+1)+(n2−6n+9)=0.即(m+1)2+(n−3)2=0．
∵(m+1)2≥0，(n−3)2≥0，且和为0，
∴(m+1)2=0且(n−3)2=0，∴m=−1，n=3．
利用以上解法，解下列问题：
(1)已知：x2+4x+y2−2y+5=0，求x和y的值．
(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=8a+6b−25且△ABC为直角三角形，求c．
答案解析
1.C
【解析】解：5x2+1=4x可化为5x2−4x+1=0，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为5，−4，1，
故选：C．
根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项进行分析即可．
此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
2.B
【解析】解：由于方程左边能够提取公因式分解因式，
所以，解方程x(x−2)+3(x−2)=0，最适当的解法是因式分解法，
故选：B．
根据方程的特点及各种方法适用的方程判断即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
3.C
【解析】解：在这个式子中，如果把x=1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知a+b+c=0可知：当x=1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是−1.则方程的根是1，−1．
故选：C．
本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．
本题就是考查了方程的解的定义，判断一个数是否是方程的解的方法，就是代入方程的左右两边，看左右两边是否相等．
4.C
【解析】解：方程3x2−6x+2=0，
变形得：x2−2x=−23，
配方得：x2−2x+1=13，即(x−1)2=13，
则：m=1．
故选：C．
方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可求出m的值．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5.A
【解析】解：A.方程2x2−4x+1=0的两根之和为2，所以A选项符合题意；
B.方程x2+2x−1=0的两根之和为−2，所以B选项不符合题意；
C.方程x2−2x+3=0没有实数根，所以C选项不符合题意；
D.方程x2−5x+2=0的两根之和为5，所以D选项不符合题意．
故选：A．
利用根与系数的关系对A、B、D进行判断；根据根的判别式的意义对C进行判断．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了根的判别式．
6.B
【解析】解：根据题意得：3x2−6=21，即x2=9，
解得：x=±3，
故选：B．
根据题意列出方程，整理后利用平方根定义开方即可求出x的值．
此题考查了解一元二次方程−直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．
7.D
【解析】解：A、∵Δ=b2−4ac=32−4×1×0=9>0，
∴方程x2+3x=0有两个不相等的实数根，故选项A不符合题意；
B、∵Δ=b2−4ac==22−4×1×(−1)=8>0，
∴方程x2+2x−1=0有两个不相等的实数根，故选项B不符合题意；
C、∵Δ=b2−4ac==22−4×1×1=0，
∴方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根，故选项C不符合题意；
D、∵Δ=b2−4ac==(−1)2−4×1×3=−11<0，
∴方程x2−x+3=0没有实数根，故选项D符合题意．
故选：D．
根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2−4ac，可分别找出四个选项中方程的根的判别式Δ的值，取Δ<0的选项即可．
本题考查了根的判别式，牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根”是解题的关键．
8.C
【解析】解：解方程x2−x−1=0得：x=1± 52，
∵a是方程x2−x−1=0较大的根，
∴a=1+ 52，
∵2< 5<3，
∴3<1+ 5<4，
∴32<1+ 52<2，
故选：C．
先求出方程的解，再求出 5的范围，最后即可得出答案．
本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
9.D
【解析】解：2x2−7x+5=0，
(2x−5)(x−1)=0，
解得x1=2.5，x2=1．
①当x1=2.5为腰时，则周长C=2.5+2.5+1=6．
②当x2=1为腰时，因为1+1<2.5，不符合三角形三边关系，故舍去；
∴三角形的周长为6．
故选：D．
先解方程，再根据等腰三角形的边的特点，分两种情况讨论，注意“两边之和大于第三边”这条原则．
本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系及解一元二次方程的综合运用．
10.A
【解析】解：把方程a(x−m+2)2+b=0变形为a[(−x−2)+m]2+b=0，
则方程a(x−m+2)2+b=0看作关于(−x−2)的一元二次方程，
∵a(x+m)2+b=0的解是x1=−2，x2=1，
∴−x−2=−2或−x−2=1，
解得x1=0，x2=−3，
即方程a(x−m+2)2+b=0的解是x1=0，x2=−3．
故选：A．
把方程a(x−m+2)2+b=0变形为a[(−x−2)+m]2+b=0，所以可以把方程a(x−m+2)2+b=0看作关于(−x−2)的一元二次方程，根据题意得−x−2=−2或−x−2=1，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程−直接开平方法：形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．利用换元法解方程是解决问题的关键．
11.A
【解析】解：若设竿长AC为x尺，则BC为(x−4)尺，AB为(x−2)尺，
根据题意得：(x−4)2+(x−2)2=x2．
故选：A．
若设竿长AC为x尺，则BC为(x−4)尺，AB为(x−2)尺，利用勾股定理，可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12.B
【解析】解：①∵a+2b+4c=0，
∴a=−2b−4c，
∴方程为(−2b−4c)x2+bx+c=0，
∵ac>0，
∴Δ=b2−4a⋅c的符合无法确定，故①错误．
②a+b+c=0，
∴a=−b−c，
∴方程为(−b−c)x2+bx+c=0，
∴Δ=b2−4(−b−c)⋅c=b2+4bc+4c2=(b+2c)2≥0，故②正确．
③当c=0时，c是方程ax2+bx=0的根，但是b+1不一定等于0，故③错误．
④∵x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
∴x0=−b± b2−4ac2a，
∴2ax0+b=± b2−4ac，
∴b2−4ac=(2ax0+b)2，故④正确，
故选：B．
①利用判别式判断即可．
②利用判别式判断即可．
③c=0时，结论不成立．
④利用求根公式，判断即可．
本题考查命题与定理，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
13.−3
【解析】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，
m×2=−6，
∴m=−3，
故答案为−3，
利用根与系数之间的关系求解
本题主要考查一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是学生对公式的理解和熟练使用．
14.24+24(1+x)+24(1+x)2=88
【解析】解：由题意得，24+24(1+x)+24(1+x)2=88，
故答案为：24+24(1+x)+24(1+x)2=88．
设该厂8，9月份运动鞋产量的月平均增长率为x，则8月份的运动鞋产量为24(1+x)万双，9月份的运动鞋产量为24(1+x)2万双，再根据第三季度总产量为88万双列出方程即可．
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是找到等量关系，难度不大．
15.±2
【解析】解：∵关于x的方程x2−2 5x−m2=0根的判别式的值36，
∴Δ=(−2 5)2−4×1×(−m2)=36，
解得：m=±2，
故答案为：±2．
根据根的判别式得出方程(−2 5)2−4×1×(−m2)=36，求出方程的解即可．
本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
16.−6 −32
【解析】解：∵ a−3+|b+2|=0，
∴a−3=0，b+2=0，
∴a=3，b=−2，
∴ab=−6，
故一元二次方程为x2−3x−2=0，
∴x1+x2=3，x1x2=−2，
∴1x1+1x2=x1+x2x1x2=−32．
故答案为：−6，−32．
先通过绝对值及二次根式的性质先求出a，b的值，再通过韦达定理即可解题．
本题考查了绝对值，二次根式的基本性质以及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解答本题的关键．
17.解：(1)x2−x−3=0，
a=1，b=−1，c=−3，
Δ=(−1)2−4×1×(−3)=13>0，
x=−b± b2−4ac2a=1± 132×1，
所以x1=1+ 132，x2=1− 132；
(2)4(x+1)2=2x+2，
4(x+1)2−2(x+1)=0，
2(x+1)(2x+2−1)=0，
2(x+1)=0或2x+2−1=0，
所以x1=−1，x2=−12．
【解析】(1)先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
(2)先移项得到4(x+1)2−2(x+1)=0，再利用因式分解法把方程转化为2(x+1)=0或2x+2−1=0，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
18.解：方程x2−(m+2)x+2m+1=0有两个不相等的实数根，理由如下：
∵方程x2−2x−m+1=0没有实数根，
∴Δ=(−2)2−4×1×(−m+1)<0，
∴m<0．
方程x2−(m+2)x+2m+1=0的根的判别式Δ=[−(m+2)]2−4×1×(2m+1)=m2−4m．
∵m<0，
∴m2>0，−4m>0，
∴Δ=m2−4m>0，
∴方程x2−(m+2)x+2m+1=0有两个不相等的实数根．
【解析】由方程x2−2x−m+1=0没有实数根，可求出m<0，进而可得出Δ=m2−4m>0，由此可得出方程x2−(m+2)x+2m+1=0有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式，牢记“①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ<0时，方程无实数根”是解题的关键．
19.解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则衬纸的长为(7+2x)英寸，宽为(5+2x)英寸，
依题意得：(7+2x)(5+2x)：35=9：5，
整理得：x2+6x−7=0，
解得：x1=1，x2=−7(不符合题意，舍去)．
答：照片四周外露衬纸的宽度为1英寸．
【解析】设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则衬纸的长为(7+2x)英寸，宽为(5+2x)英寸，根据矩形衬纸的面积与照片的面积之比为9：5，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出照片四周外露衬纸的宽度．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20.(1)证明：当m=0时，此方程为x−2=0，解得x=2.即m=0时此方程有一个实数根；
当m≠0时，此方程为一元二次方程，
∵Δ=[−(3m−1)]2−4m(2m−2)=m2+2m+1=(m+1)2≥0，
∴方程总有两个实数根．
综上所述，无论m取何值方程方程恒有实数根．
(2)解：x=3m−1± (m+1)22m，
即x1=2，x2=m−1m，
∵方程的两个实数根都是整数，
∴1−1m为整数，
∴整数m为1或−1．
【解析】(1)分类讨论：当m=0时，原方程化为x−2=0，解得x=2；当m≠0时，计算判别式得Δ=(m+1)2，由于(m+1)2≥0，则不论m为任何实数时总有实数根；
(2)利用求根公式法解方程得到x1=2，x2=1−1m，然后根据有理数的整除性确定整数m的值．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
21.解：(1)设人行道的宽度为x m，则种植草坪的部分可合成长为(15−x)m，宽为(10−x)m的矩形，
依题意得：(15−x)(10−x)=126，
整理得：x2−25x+24=0，
解得：x1=1，x2=24(不符合题意，舍去)．
答：人行道的宽度为1m．
(2)120×(15×10−126)
=120×(150−126)
=120×24
=2880(元)．
答：人行道硬化的总费用为2880元．
【解析】(1)设人行道的宽度为xm，则种植草坪的部分可合成长为(15−x)m，宽为(10−x)m的矩形，根据草坪的总面积为126m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可；
(2)利用总费用=人行道每平方米的硬化费用×人行道的面积，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.解：(1)(280−220)×30=1800 (元)．
∴降价前商场每天销售该商品的利润是1800元．
(2)设每件商品应降价x元，
由题意，得 (280−x−220)(30+3x)=1800×2，
解得 x1=20，x2=30．
∵要更有利于减少库存，
∴当降价较多时，销量较大
∴x=30．
答：每件商品应降价30元．
【解析】(1)根据总利润=单件利润×销售数量解答；
(2)根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.解：(1)∵关于x的一元二次方程x2−2(m−1)x+m2=0有实数根．
∴Δ=[−2(m−1)]2−4m2=4−8m≥0，
解得：m≤12．
(2)∵关于x的一元二次方程x2−2(m−1)x+m2=0的两个根分别为x1、x2，
∴x1+x2=2m−2，x1⋅x2=m2，
∵x12+x22=8−3x1x2，
∴(x1+x2)2−2x1⋅x2=8−3x1x2，即5m2−8m−4=0，
解得：m1=−25，m2=2(舍去)，
∴实数m的值为−25．
【解析】(1)根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；
(2)利用根与系数的关系可得出x1+x2=2m−2，x1⋅x2=m2，结合x12+x22=8−3x1x2即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，熟练掌握当一元二次方程有实数根时根的判别式Δ≥0是解题的关键．
24.解：(1)2x2−2 3x+1=0，
解得x=2 3± (2 3)2−4×2×12×2= 3±12，
∵ 3+12= 3−12+1，
∴方程2x2−2 3x+1=0是“邻根方程”；
(2)分解因式得：(x−m)(x+1)=0，
解得：x=m或x=−1，
∵方程x2−(m−1)x−m=0(m是常数)是“邻根方程”，
∴m=−1+1或m=−1−1，
∴m=0或−2．
【解析】(1)解方程求得方程的根即可判断；
(2)解方程得x=m或x=−1，根据题意m=−1+1或m=−1−1，解得m=0或−2．
本题考查了解一元二次方程--公式法和因式分解法，“邻根方程”的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
25.解：(1)∵x2+4x+y2−2y+5=0，
∴(x2+4x+4)+(y2−2y+1)=0，即(x+2)2+(y−1)2=0，
∵(x+2)2≥0，(y−1)2≥0，且和为0，
∴(x+2)2=0且(y−1)2=0，
∴x=−2，y=1；
(2)∵a2+b2=8a+6b−25，
方程变形为(a−4)2+(b−3)2=0，
∵(a−4)2≥0，(b−3)2≥0，
∴a=4，b=3，
∵△ABC为直角三角形，
∴当a=4，b=3是直角边时，则c= a2+b2=5；
当a=4是斜边，b=3是直角边时，则c= a2−b2= 7；
∴c=5或c= 7．
【解析】(1)根据题意可把方程进行配方，然后问题可求解；
(2)由题意把方程进行配完全平方公式，然后根据勾股定理可求解．
本题主要考查配方法的应用及勾股定理，熟练掌握配方法的应用及勾股定理是解题的关键．