数学八年级上册15.3 等腰三角形复习练习题

这是一份数学八年级上册15.3 等腰三角形复习练习题，共39页。

考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校八年级阶段练习）下列图形中，为轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）（2022·北京市房山区燕山教委八年级期中）在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做格点．如图，点A的坐标为(1,1)，点B的坐标为(3,3)，点C为第一象限内的格点，若不共线的A，B，C三点构成轴对称图形，则满足条件的点C的个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．（3分）（2022·山东·滨州市滨城区教学研究室八年级期末）如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，连接CP，若∠BPC＝40°，则∠NAP的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．（3分）（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）如图是一段长方形纸带，∠DEF=21°，将纸带沿EF折叠成图，再沿BF折叠成图，则图中的∠CFE的度数为（ ）
A．107°B．112°C．117°D．128°
5．（3分）（2022·北京市建华实验学校八年级期中）已知，△ABC是等边三角形．点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD=CE，BE与CD交于点F．若△BFD是等腰三角形，则∠FBD的度数是（ ）
A．30°或60°B．20°或40°C．15°或30°D．20°或30°
6．（3分）（2022·江苏·苏州高新区第一初级中学校八年级阶段练习）如图，在ΔABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．6mB．8mC．110mD．9.6m
7．（3分）（2022·江苏·南京市竹山中学八年级阶段练习）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．（3分）（2022·天津市第五十五中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E．已知△ABC与△BCE的周长分别为22cm和14cm，则BD的长为（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
9．（3分）（2022·湖北·公安县教学研究中心八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3……按此规律继续作下去，得到等边三角形O2020A2020A2021，则点A2021的纵坐标为（ ）
A．122018B．122019
C．122020D．122021
10．（3分）（2022·广东·佛山市顺德区拔萃实验学校八年级期中）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连接CD，分别交AE、AB于点F、G，过点A作AH⊥CD交BD于点H，EH=1，则下列结论：①∠ACD=15°；②△AFG是等腰三角形；③△ADF≌△BAH；④DF=2．其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022·贵州·仁怀市周林学校八年级期中）若点Mm+1,2与点N3，1−n关于x轴对称，则m+n=__________ .
12．（3分）（2022·浙江·乐清市虹桥镇第一中学八年级期中）如图，在ΔABC中，AB=AC，D是BC中点，点E、F、G是线段AD上的三个点，若BC=4cm,AD=6cm，则图中阴影部分的面积为_______cm2．
13．（3分）（2022·浙江·八年级专题练习）如果等腰三角形的周长是35cm，一腰上中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是4cm，则这个等腰三角形的底边长是 __.
14．（3分）（2022·北京四中八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，D、C、E三点在一条直线上，且∠ADC=∠BEC=90°，过点C作FC⊥DE，且FC=AD+BE．若∠AFB=α，则∠DFE=______________．（用含α的式子表示）
15．（3分）（2022·江苏·南京秦淮外国语学校八年级阶段练习）已知：如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B=∠1+∠2，AE=CD，BF=43，则AD的长为 ___________．
16．（3分）（2022·湖北·武汉二中广雅中学八年级阶段练习）如图，四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ACB=78°，∠ABC=60°，并且∠BAD+∠CAD=180°，则∠BDC的度数为__________．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2022·辽宁·阜新市育才中学八年级阶段练习）如图，已知△ABC，
(1)画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出各顶点坐标；
(2)画出△ABC关于y轴对称的图形△A2B2C2，并写出各顶点坐标；
(3)求△ABC的面积；
(4)在y轴上找到一点P，使点P到点B、点C距离最短，画出图形，写出点P坐标．
18．（6分）（2022·全国·八年级专题练习）如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
(1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）？
(2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？
19．（8分）（2022·山东·东埠初中八年级阶段练习）如图，在2×2的正方形网格中，有一个以格点为顶点的△ABC．
(1)请在同样大小的网格中，画出所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的不同的三角形，并画出对称轴．（说明：每个网格中只画一种情况的图形．）
(2)通过观察（1）中完成的图形，你有哪些数学结论？
20．（8分）（2022·贵州省三穗中学八年级期末）在△ABC中，AB＝20cm，BC＝16cm，点D为线段AB的中点，动点P以2cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动，同时点Q以α cm/s（α＞0且α≠2）的速度从C点出发在线段CA上运动，设运动时间为x秒．
(1)若AB＝AC，P在线段BC上，求当α为何值时，能够使△BPD和△CQP全等？
(2)若∠B＝60°，求出发几秒后，△BDP为直角三角形？
(3)若∠B＝60°，求出发几秒后，△BDP为等边三角形？
21．（8分）（2022·广东·中山纪念中学八年级期中）如图1所示，直线AB交x轴于点Aa,0，交y轴于点B0,b，且a、b满足a+b2+a−22=0．
(1)如图1，若C的坐标为−1,0，且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；
(2)如图2，连接OH，求证：∠OHP=45°；
(3)如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，求SΔBDM−SΔADN的值．
22．（8分）（2022·广东·广州市第十六中学八年级期中）已知△ABC为等边三角形，边长为8，点D，E分别是边AB,BC上的动点，以DE为边作等边△DEF．
(1)如图1，若点F落在边AC上．
①求证：AD=BE；
②连接AE,DC交于M点，则∠CMB=__________．
(2)如图1，当△BDE为直角三角形时，求BE的长．
(3)如图2，当AD=2BE时，点G为BC边的中点，求GF的最小值．
23．（8分）（2022·辽宁鞍山·八年级期中）在△ABC中AB=AC，经过点C的直线CP交边AB于点Q，∠ACP=12∠BAC，D是直线PC上一动点，以AD为边在AD的左侧作△ADE，使AE=AD且∠EAD=∠BAC，连接BE．
(1)如图，求证：CD=BE；
(2)探究点E的运动路径，并直接写出你得到的结论；（提示：尝试取几个不同位置的点D，画图探索结论）
(3)当∠QCB=60°时，若BE=AC，求∠AEB的度数．（直接写出答案）
第15章 轴对称与等腰三角形章末题型过关卷
【沪科版】
参考答案与试题解析
选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校八年级阶段练习）下列图形中，为轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，解决问题的关键是熟练掌握轴对称图形的概念，轴对称图形概念，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形．
2．（3分）（2022·北京市房山区燕山教委八年级期中）在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做格点．如图，点A的坐标为(1,1)，点B的坐标为(3,3)，点C为第一象限内的格点，若不共线的A，B，C三点构成轴对称图形，则满足条件的点C的个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的性质作出点C，即可得到满足条件的点C的个数．
【详解】解：满足条件的点C有4个．
故选：B．
【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，坐标与图形变化−对称等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
3．（3分）（2022·山东·滨州市滨城区教学研究室八年级期末）如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，连接CP，若∠BPC＝40°，则∠NAP的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】C
【分析】先根据角平分线的性质得出PF=PH=PE，然后根据角平分线的判定定理得出CP平分∠ACM，在根据三角形外角的性质求出∠BAC的度数，从而可以求出∠NAP的度数．
【详解】解：如图，过P作PE⊥BC，PF⊥BA，PH⊥AC，
∵BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，
∴PF=PH，PF=PE，∠PBC=12∠ABC，
∴PH=PE，
∴CP平分∠ACM，
∴∠PCM=12∠ACM，
∵∠BPC=∠PCM-∠PBC=40°，
∴12∠ACM−12∠ABC=40°，
∴∠ACM−∠ABC=80°，
∴∠BAC=∠ACM−∠ABC=80°，
∴∠CAN=180°−∠BAC=100°，
∵AP平分∠NAC，
∴∠NAP=12∠CAN=50°．
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的判定与性质，三角形的外角性质等知识，判断CP平分∠ACM以及运用三角形的外角性质求解是解题的关键．
4．（3分）（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）如图是一段长方形纸带，∠DEF=21°，将纸带沿EF折叠成图，再沿BF折叠成图，则图中的∠CFE的度数为（ ）
A．107°B．112°C．117°D．128°
【答案】C
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠EFB=∠DEF，再根据翻折的性质，∠EFB处重叠了3层，然后根据∠CFE=180°-3∠EFB代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：∵∠DEF=21°，长方形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠EFB=∠DEF=21°，由折叠，∠EFB处重叠了3层，
∴∠CFE=180°-3∠EFB=180°-3×21°=117°．
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，观察图形判断出∠EFB处重叠了3层是解题的关键．
5．（3分）（2022·北京市建华实验学校八年级期中）已知，△ABC是等边三角形．点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD=CE，BE与CD交于点F．若△BFD是等腰三角形，则∠FBD的度数是（ ）
A．30°或60°B．20°或40°C．15°或30°D．20°或30°
【答案】B
【分析】由等边三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=60°，由SAS证明△BCD≌△CBE，得出∠BCD=∠CBE, 设∠BCD=∠CBE=x，则∠DBF=60°−x，分三种情况：①若FD=FB，则∠FBD=∠FDB>∠A，证出∠FBD<60°，得出FD=FB的情况不存在； ②若DB=DF，则∠FBD=∠BFD=2x，得出方程60°−x=2x，解方程即可得出结果； ③若BD=BF，则∠BDF=∠BFD=2x，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可得出结果．
【详解】解： 如图，∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，

在△BCD和△CBE中，
∵BD=CE∠ABC=∠ACBBC=CB，
∴△BCD≌△CBE，
∴∠BCD=∠CBE,
设∠BCD=∠CBE=x， 则∠DBF=60°−x，
若△BFD是等腰三角形，分三种情况：
①若FD=FB，则∠FBD=∠FDB>∠A，
∴∠FBD=∠FDB>60°，
而∠FBD<60°，
∴FD=FB的情况不存在；
②若DB=DF，则∠FBD=∠BFD=2x，
∴60°−x=2x， 解得：x=20°，
∴∠FBD=40°；
③若BD=BF，如图所示： 则∠BDF=∠BFD=2x，
在△BDF中，∠DBF+∠BDF+∠BFD=180°，
∴60°−x+2x+2x=180°， 解得：x=40°，
∴∠FBD=20°；
综上所述：∠FBD的度数是40°或20°．
故选B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质；关键是通过进行分类讨论求解．
6．（3分）（2022·江苏·苏州高新区第一初级中学校八年级阶段练习）如图，在ΔABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．6mB．8mC．110mD．9.6m
【答案】D
【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD垂直平分BC，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，在△ABC中，利用面积法可求出BQ的长度，此题得解．
【详解】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分BC，
∴BP=CP．
过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．
∵SΔABC=12BC⋅AD=12AC⋅BQ，
∴BQ=BC⋅ADAC=12×810=9.6．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出PC+PQ的最小值为BQ是解题的关键．
7．（3分）（2022·江苏·南京市竹山中学八年级阶段练习）如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】利用分类讨论的思想，当PB=PC，BP=BC，CP=BC时分别找到点P即可．
【详解】如图所示，l为长方形ABCD的对称轴，即l为AB的垂直平分线，
∴当P在l上时满足PA=PB，
作BC的中垂线交l于P1，满足P1B=P1C；
作BP=BC与l交于P2、P3两点，满足P2B=BC，P3B=BC；
作CP=BC与l交于P4、P5两点，满足P4C=BC，P5C=BC；
满足题意的点P共5个，
故选：D．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定与性质，注意分类讨论是解题的关键．
8．（3分）（2022·天津市第五十五中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E．已知△ABC与△BCE的周长分别为22cm和14cm，则BD的长为（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
【答案】A
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可得到结论．
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，AD=BD=12AB．
∵△BCE的周长是14cm，
∴BC+BE+EC=14cm，
即AC+BC=14cm；
∵△ABC的周长是22cm，
∴AB+AC+BC=22cm，
∴AB=22−14=8（cm），
∴BD=12AB=12×8=4（cm）．
故选：A
【点睛】本题主要考查了段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9．（3分）（2022·湖北·公安县教学研究中心八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3……按此规律继续作下去，得到等边三角形O2020A2020A2021，则点A2021的纵坐标为（ ）
A．122018B．122019
C．122020D．122021
【答案】C
【分析】根据点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，得点A1的纵坐标是2×12；根据以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，得点A2的纵坐标是2×122；以此类推，得点A2021的纵坐标是122020，从而得到答案．
【详解】解：∵点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，
∴∠A1OO1=90°-60°=30°，OA1=OA=2，
∴O1A1＝12 OA1＝2×12，即点A1的纵坐标是2×12，
以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，
∴∠A2O1O2=90°-60°=30°，O1A2＝O1A1＝2×12，
∴O2A2＝12 O1A2＝2×12×12，点A2的纵坐标是2×12×12，即2×(12)2，
以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，
同理，得点A3的纵坐标是2×123，
按此规律继续作下去，得点A2021的纵坐标是2×122021，即122020，
故选：C．
【点睛】本题考查了图形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、等边三角形、垂线、图形和数字规律、含30°角的直角三角形的性质，从而完成求解．
10．（3分）（2022·广东·佛山市顺德区拔萃实验学校八年级期中）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连接CD，分别交AE、AB于点F、G，过点A作AH⊥CD交BD于点H，EH=1，则下列结论：①∠ACD=15°；②△AFG是等腰三角形；③△ADF≌△BAH；④DF=2．其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFG和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此得出答案；③根据ASA证明△ADF≌△BAH即可判断；④由∠BAE=45°，∠ADC=∠BAH=15°，则∠EAH=30°，DF=2EH即可得出．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，
∴∠BAC=60°，∠BAD=90°，AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，
∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，
∴∠ADC=15°，故①正确；
∵AE⊥BD，即∠AED=90°，
∴∠DAE=45°，
∴∠AFG=∠ADC＋∠DAE=60°，∠FAG=45°，
∴∠AGF=75°，
∴△AFG三个内角都不相等，
∴△AFG不是等腰三角形，故②错误；
由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAH=30°，
则∠BAH=∠ADC=15°，
在△ADF和△BAH中，
∠ADF=∠BAH，DA=AB，
∴△ADF≌△BAH（ASA），故③正确；
∵∠ABE=∠EAB=45°，∠ADF=∠BAH=15°，∠DAF=∠ABH=45°，
∴∠EAH=∠EAB－∠BAH=45°－15°=30°，
∴AH=2EH，
∵EH=1，△ADF≌△BAH（ASA）
∴DF=AH，
∴DF=AH=2EH=2，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质、等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点的应用．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022·贵州·仁怀市周林学校八年级期中）若点Mm+1,2与点N3，1−n关于x轴对称，则m+n=__________ .
【答案】5
【分析】利用关于x轴对称“横坐标不变，纵坐标互为相反数”求得m、n的值，再进行有理数的加法运算得出答案．
【详解】解：∵点Mm+1,2与点N3，1−n关于x轴对称，
∴m+1=3,2+1−n=0，
∴m=2,n=3，
∴m+n=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了关于x轴对称点的坐标变化，掌握关于轴对称坐标变化法则是解题关键．
12．（3分）（2022·浙江·乐清市虹桥镇第一中学八年级期中）如图，在ΔABC中，AB=AC，D是BC中点，点E、F、G是线段AD上的三个点，若BC=4cm,AD=6cm，则图中阴影部分的面积为_______cm2．
【答案】6
【分析】先根据 “AB=AC，D是BC中点”求出EB=EC，FB=FC，GB=GC，再根据SSS得到△EBF≌△ECF，同理可得△GBD≌△GCD，进而得到S阴影=S△ABE+S△EBF+S△FBG+S△GBD，最后求解即可．
【详解】解：∵AB=AC，D是BC中点，
∴BD=DC=2cm，AD是线段BC的垂直平分线，
∴EB=EC，FB=FC，GB=GC，
∵在△EBF和△ECF中，
EF=EFEB=ECFB=FC，
∴△EBF≌△ECFSSS，
∴S△ECF=S△EBF，
同理可得△GBD≌△GCDSSS，
则S△GBD=S△GCD，
∴S阴影=S△ABE+S△ECF+S△FBG+S△GCD
=S△ABE+S△EBF+S△FBG+S△GBD
=S△ABD
=12BD⋅AD
=6cm2．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一，线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证出S阴影=S△ABE+S△EBF+S△FBG+S△GBD．
13．（3分）（2022·浙江·八年级专题练习）如果等腰三角形的周长是35cm，一腰上中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是4cm，则这个等腰三角形的底边长是 __.
【答案】9cm或433cm
【分析】根据题意画出图形，设等腰三角形的腰长为xcm，则底边长为35−2xcm，再根据两个三角形的周长差是4cm，求出x的值即可.
【详解】解：如图所示，等腰△ABC中，AB=AC，点D为AC的中点，设AB=AC=xcm，
∵点D为AC的中点，
∴AD=CD=12AC=12xcm，BC=35−AB+AC=35−2x，
当△ABD的周长大于△BCD的周长时，
AB+AD+BD−BC+CD+BD=4，即x+x2−35−2x−x2=4，
解得x=13，
∴底边长为35−13×2=9（cm）；
当△BCD的周长大于△ABD的周长时，
则BC+CD+BD−AB+AD+BD=4，即35−2x+x2−x+x2=4，
解得x=313，
底边长为35−313×2=433（cm）.
综上所述，这个等腰三角形的底边长为9cm或433cm，
故答案为：9cm或433cm.
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解.
14．（3分）（2022·北京四中八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，D、C、E三点在一条直线上，且∠ADC=∠BEC=90°，过点C作FC⊥DE，且FC=AD+BE．若∠AFB=α，则∠DFE=______________．（用含α的式子表示）
【答案】90°−α##−α+90°
【分析】连接AE，BD，先证明△ADC≅△CEB, 再证△CDF≅△EBD,可得到△BDF是等腰直角三角形，则∠BFD=45°，再证△ADE≅△ECF，得△AEF是等腰直角三角形，得∠AFE=45°，由∠DFE=∠BFD+∠AFE−∠AFB可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接AE，BD，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∵∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
∵AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，
∴△ADC≅△CEB（AAS）,
∴AD=CE，CD=BE，∠ACD=∠CBE，
∴DE=CE+CD=AD+BE，
∵CF=AD+BE，
∴DE=CF，
∵CF⊥DE，
∴∠BED=∠DCF=90°，
∴△CDF≅△EBD（SAS）,
∴DF=BD，∠CFD=∠EDB，
∴∠BDF=∠CDF+∠EDB=∠CDF+∠CFD=90°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴∠BFD=45°，
∵AD=CE，∠ADE=∠ECF=90°，DE=CF，
∴△ADE≅△ECF（SAS）,
∴∠AED=∠EFC，AE=EF，
∴∠AEF=∠CEF+∠AED=∠CEF+∠EFC=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠AFE=45°，
∵∠AFB=α，
∴∠DFE=∠BFD+∠AFE−∠AFB=45°+45°−α=90°−α．
故答案为：90°−α．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质，构造辅助线，证明三角形全等是解题的关键．
15．（3分）（2022·江苏·南京秦淮外国语学校八年级阶段练习）已知：如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF⊥AB于F，∠B=∠1+∠2，AE=CD，BF=43，则AD的长为 ___________．
【答案】83##223
【分析】在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK．想办法证明AT=DK，DK=BD，推出BD=AT，推出BT=AD即可解决问题．
【详解】解：在FA上取一点T，使得FT=BF，连接ET，在CB上取一点K，使得CK=ET，连接DK．
∵BF=FT，∠EFB=∠EFT=90°，EF=EF，
∴△EFB≌△EFT(SAS)，
∴EB=ET，∠B=∠ETB，
∵∠ETB=∠1+∠AET，∠B=∠1+∠2，
∴∠AET=∠2，
∵AE=CD，ET=CK，
∴△AET≌△DCK（SAS），
∴DK=AT，∠ATE=∠DKC，
∴∠ETB=∠DKB，
∴∠B=∠DKB，
∴DB=DK，
∴BD=AT，
∴AD=BT，
∵BT=2BF=83，
∴AD=83，
故答案为：83．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
16．（3分）（2022·湖北·武汉二中广雅中学八年级阶段练习）如图，四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ACB=78°，∠ABC=60°，并且∠BAD+∠CAD=180°，则∠BDC的度数为__________．
【答案】21°##21度
【分析】过点D分别作BA、BC、AC的三条垂线DE、DF、DG，利用角平分线的性质DE=DF=DG，然后再证明ΔADE≌ΔADG,ΔDGC≌ΔDFC，推出∠ADC=60°，再根据三角形内角和定理，推出∠BDA=39°，从而得到∠BDC的度数．
【详解】解：过点D作DE⊥BA于点E，DF⊥BC于点F，DG⊥AC于点G，
∵对角线BD平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠DBA=∠DBC=30°，DE=DF，∠BDE=∠BDF=60°，
∵ ∠BAD+∠CAD=180°，∠BAD+∠DAE=180°，
∴∠CAD=∠DAE，
∴DE=DG，
∴DE=DG=DF，
∴ΔADE≌ΔADG,ΔDGC≌ΔDFC(HL)，
∴∠ADG=∠ADE=12∠GDE
∠CDG=∠CDF=12∠GDF，
∴∠ADG+∠CDG=12(∠GDE+∠GDF)=12∠EDF，
∵∠BDE=∠BDF=60°，
∴∠EDF=120°，
∴∠ADG+∠CDG=60°即∠ADC=60°，
∵∠ABC=60°,∠ACB=78°，
∴∠BAC=180°−60°−78°=42°，
∴∠CAD=12∠CAE=12×(180°−42°)=69°，
∠BDA=180°−30°−42°−69°=39°，
∴∠BDC=∠ADC−∠BDA=60°−39°=21°．
故答案为：21°．
【点睛】此题考查了角平分线的性质，三角形全等判定与性质和三角形内角和定理，熟练运用各个知识点进行综合推理是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2022·辽宁·阜新市育才中学八年级阶段练习）如图，已知△ABC，
(1)画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出各顶点坐标；
(2)画出△ABC关于y轴对称的图形△A2B2C2，并写出各顶点坐标；
(3)求△ABC的面积；
(4)在y轴上找到一点P，使点P到点B、点C距离最短，画出图形，写出点P坐标．
【答案】(1)见解析，A10,2，B12,4，C14,1
(2)见解析，A20,−2，B2−2,−4，C2−4,−1
(3)S△ABC=5
(4)画出图形见解析，P0,−3
【分析】（1）根据题意画出原图形关于x对称的图形即可；
（2）根据题意画出原图形关于y对称的图形即可；
（3）根据题意求ΔABC的面积即可；
（4）连接点B2、C，与y轴的交点即是点P，再求出点P坐标即可；
【详解】（1）ΔA1B1C1是所求的三角形，A10,2，B12,4，C14,1
（2）△A2B2C2是所求的三角形A20,−2，B2−2,−4，C2−4,−1
（3）S△ABC=3×4−12×1×4−12×2×2−12×2×3=5
（4）如图P0,−3
【点睛】本题主要考查坐标与图形，根据题意正确画出图形是解题的关键．
18．（6分）（2022·全国·八年级专题练习）如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
(1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）？
(2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作出AB的垂直平分线与EF的交点即可，交点即为厂址所在位置；
（2）利用轴对称求最短路线的方法是作出A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，即可得出答案．
【详解】（1）解：作出AB的垂直平分线与EF的交点M，交点M即为厂址所在位置；
（2）如图所示：作A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，点N即为所求．
【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，轴对称求线段和最小值问题，掌握轴对称的性质以及垂直平分线的性质是解题的关键．
19．（8分）（2022·山东·东埠初中八年级阶段练习）如图，在2×2的正方形网格中，有一个以格点为顶点的△ABC．
(1)请在同样大小的网格中，画出所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的不同的三角形，并画出对称轴．（说明：每个网格中只画一种情况的图形．）
(2)通过观察（1）中完成的图形，你有哪些数学结论？
【答案】(1)见解析
(2)轴对称图形是全等图形，对应点的连线被对称轴垂直平分
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用轴对称图形的性质解决问题．
【详解】（1）图形如图所示：
（2）轴对称图形是全等图形，对应点的连线被对称轴垂直平分．
【点睛】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
20．（8分）（2022·贵州省三穗中学八年级期末）在△ABC中，AB＝20cm，BC＝16cm，点D为线段AB的中点，动点P以2cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动，同时点Q以α cm/s（α＞0且α≠2）的速度从C点出发在线段CA上运动，设运动时间为x秒．
(1)若AB＝AC，P在线段BC上，求当α为何值时，能够使△BPD和△CQP全等？
(2)若∠B＝60°，求出发几秒后，△BDP为直角三角形？
(3)若∠B＝60°，求出发几秒后，△BDP为等边三角形？
【答案】(1)2.5（cm/s）
(2)出发2.5S或10S时，△BPD为直角三角形
(3)当x=5时，△BPD为等边三角形
【分析】（1）分当△BPD≌△CQP，即BP=CQ时，当△BPD≌△CPQ，即BP=CP，BD=CQ时，两种情况讨论求解即可；
（2）分当∠BPD=90°时，当∠BDP=90°时，两种情况讨论求解即可 ．
（3）当BD=BP时，又∠B=60°，即2x=10，即可求解．
（1）
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又点P与点Q同时出发，但速度不同，
∴BP≠CQ

∴当BP=CP，BD=CQ时，△BPD≌△CQP，则
2x=16-2x，
解得x=4．
又点D是AB的中点，
∴CQ=BD=10，
∴4α=10，
解得α=2.5（cm/s）
（2）
分两种情况讨论：
①当∠BPD=90°时，又∠B=60°，∴∠BDP=30°
∴2×2x=10,解得x=2.5s
②当∠BDP=90°时，又∠B=60°，
∴∠BPD=30°
∴2x=2×10，解得：x=10s
∴出发2.5S或10S时，△BPD为直角三角形．
（3）
当BD=BP时，又∠B=60°，△BPD为等边三角形
∴2x=10，
解得x=5
∴当x=5时，△BPD为等边三角形
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
21．（8分）（2022·广东·中山纪念中学八年级期中）如图1所示，直线AB交x轴于点Aa,0，交y轴于点B0,b，且a、b满足a+b2+a−22=0．
(1)如图1，若C的坐标为−1,0，且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；
(2)如图2，连接OH，求证：∠OHP=45°；
(3)如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，求SΔBDM−SΔADN的值．
【答案】(1)0,−1
(2)见解析
(3)1
【分析】（1）由题意得出a=2，b=−2，证明△BCO≌△APOASA，得出OP=OC=1，即可得出答案；
（2）过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AP于点F，根据全等三角形的性质，得出OE=OF，得出HO平分∠AHC，即可得出∠OHP=12×90°=45°；
（3）连接OD，证明△BOD是等腰直角三角形，得出∠BOD=45°，则∠DOM=135°=∠DAN，证明△ADN≌△ODMASA，得出S△BDM−S△ADN=S△BDM−S△ODM=S△BOD=12S△AOB=12×12×2×2=1即可．
【详解】（1）解：∵a+b2+a−22=0，
∴a+b=0，a−2=0，
解得，a=2，b=−2，
则OA=OB，
∵C的坐标为−1,0，
∴OC=1，
∵AH⊥BC，
∴∠PBH+∠BPH=90°，
∵∠PAO+∠OPA=90°，∠BPH=∠OPA，
∴∠PBH=∠PAO，
∵在△BCO和△APO中∠CBO=∠PAOOB=OA∠BOC=∠AOP，
∴△BCO≌△APOASA，
∴OP=OC=1，
∴点P坐标为0,−1，
故答案为：0,−1．
（2）证明：过点O作OE⊥BC于点E，OF⊥AP于点F，如图所示：
∵△BCO≌△APO，
∴OE=OF，
∵OE⊥BC，OF⊥AP，
∴HO平分∠AHC，
∵∠AHC=90°，
∴∠OHP=12×90°=45°．
（3）解：连接OD，如图所示：
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∴∠DAN=135°，
∵点D为AB的中点，
∴OD⊥AB，OD=12AB=OA=OB，
∴△BOD是等腰直角三角形，
∴∠BOD=45°，
∴∠DOM=135°=∠DAN，
∵DN⊥DM，
∴∠ODM+∠MDA=∠MDA+∠ADN，
∴∠ADN=∠ODM，
∵在△ADN和△ODM中∠DAN=∠DOMAD=OD∠ADN=∠ODM，
∴△ADN≌△ODMASA，
∴S△ADN=S△ODM，
∴S△BDM−S△ADN=S△BDM−S△ODM=S△BOD=12S△AOB=12×12×2×2=1．
故答案为：1．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，本题综合性强，作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键．
22．（8分）（2022·广东·广州市第十六中学八年级期中）已知△ABC为等边三角形，边长为8，点D，E分别是边AB,BC上的动点，以DE为边作等边△DEF．
(1)如图1，若点F落在边AC上．
①求证：AD=BE；
②连接AE,DC交于M点，则∠CMB=__________．
(2)如图1，当△BDE为直角三角形时，求BE的长．
(3)如图2，当AD=2BE时，点G为BC边的中点，求GF的最小值．
【答案】(1)①见解析；②60°
(2)83或163
(3)2
【分析】（1）①证明△ADF≌△BED，即可求证；②证明△ABE≌△CAD，可得∠BAE=∠DCA，再由三角形外角的性质，即可求解；
（2）当∠BED=90°时，此时BD=2BE，进而求得BE，当∠BDE=90°时，此时BE=2BD，同样求得此时的BE；
（3）在BC上截取BH=BD，连接DH，证明△BDE≌△FEH，推出∠FHC=60°，CH=2FH，再证明CF平分∠ACB，得出点F的轨迹，进一步求得GF的最小值．
【详解】（1）①证明∶ ∵△ABC为等边三角形，△DEF是等边三角形，
∴∠A=∠B=60°,DF=DE,∠EDF=60°，
∴∠ADF+∠AFD=180°−∠A=120°,∠ADF+∠BDE=180°−∠EDF=120°，
∴∠AFD=∠BDE，
∴△ADF≌△BEDAAS，
∴AD=BE；
②解∶由①得：AD=BE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=60°,AB=AC，
∴△ABE≌△CAD，
∴∠BAE=∠DCA，
∴∠CME=∠DCA+∠CAM=∠BAE+∠CAM=∠BAC=60°．
故答案为：60°
（2）解：如图，
当∠BED=90°时，
由（1）得：△ADF≌△BED，
∴AD=BE，
∴BD=AB−AD=8−BE，
∵∠B=60°，
∴∠BDE=90°−∠B=30°，
∴BD=2BE，
∴8−BE=2BE，
∴BE＝BE=83；
如图2，
当∠BDE=90°时，
∵BD=8−AD=8−BE,∠BED=30°，
∴BE=2BD，
∴BE=28−BE，
∴BE=163，
综上所述：BE=83或163；
（3）解：如图3，
设AD=2x,BE=x，
∴BD=AB−AD=8−2x，
在BC上截取BH=BD，连接DH，
∵∠B=60°，
∴△BDH是等边三角形，
∴∠BDH=60°,DH=BD=BH=2x，
∴CH=BC−BH=2x，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE=DF,∠EDF=60°，
∴∠BDH=∠EDF，
∴∠BDH−∠EDH=∠EDF−∠EDH，
即：∠BDE=∠HDF，
∴△BDE≌△HDFSAS，
∴FH=BE=x,∠DHF=∠B=60°，
∴∠FHC=180°−∠BHD−∠DHF=60°，
作射线CF，
如图4，
在△CFH中，CH=2x,FH=x,∠FHC=60°，
取CH的中点M，连接FM，
∴HM=CM=12HC=x，
∴HF=HM，
∴△FHM是等边三角形，
∴FM=HM=CM=x,∠FMH=60°，
∴∠FCM=∠CFM，
∵∠FMH=∠FCM+∠CFM，
∴2∠FCM=60°，
∴∠FCM=30°，
∴CF是∠ACB的平分线，
即：F点在∠ACB的角平分线上运动，
作GF′⊥CF于F′，此时，GF最小；
∵G是BC的中点，
∴CG=12BC=4，
∴GF′=12CG=2．
故GF的最小值为2．
【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是构造全等，找到F的运动轨迹．
23．（8分）（2022·辽宁鞍山·八年级期中）在△ABC中AB=AC，经过点C的直线CP交边AB于点Q，∠ACP=12∠BAC，D是直线PC上一动点，以AD为边在AD的左侧作△ADE，使AE=AD且∠EAD=∠BAC，连接BE．
(1)如图，求证：CD=BE；
(2)探究点E的运动路径，并直接写出你得到的结论；（提示：尝试取几个不同位置的点D，画图探索结论）
(3)当∠QCB=60°时，若BE=AC，求∠AEB的度数．（直接写出答案）
【答案】(1)证明见解析
(2)点E的运动路径是经过点B且垂直于BC的直线
(3)7.5°或82.5°
【分析】（1）先证明∠BAE=∠CAD，证明△CAD≌△BAE(SAS)，根据全等三角形对应边相等，即可得证；
（2）取BC的中点G，连接AG，由（1）得到△CAD≌△BAE，继而得出∠ACD=∠ABE，∠ABE=12∠BAC，根据三线合一，得出∠BAG=∠CAG=12∠BAC，AG⊥BC，则∠BAG=∠ABE，证明BE∥AG，得出BE⊥BG，则点E的运动路径为过点E且垂直于BC的直线；
（3）取BC的中点为G，连接AG，设AEB=x°，分当点E在BC的上方与当E点在BC的下方时，根据∠QCB=∠ACB−∠ACQ,∠QCB=60°构造方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解，如图
∵ ∠EAD=∠BAC，
∴∠EAD+∠BAD=∠BAC+∠BAD，
即∠BAE=∠CAD，
在△CAD与△BAE中，
AC=AB∠CAD=∠BABAD=AE
∴△CAD≌△BAE(SAS)，
∴CD=BE；
（2）解：如图1，
如图1，取BC的中点为G，连接AG，
由(1)得△CAD≌△BAE，
∴∠ACD=∠ABE，
即∠ACP=∠ABE，
∵∠ACP=12∠BAC，
∴∠ABE=12∠BAC，
∵AB=AC，G为BC的中点，
∴∠BAG=∠CAG=12∠BAC，AG⊥BC，
∴∠BAG=∠ABE，
∴BE∥AG，
∴BE⊥BG，
∴点E的运动路径为过点E且垂直于BC的直线；
（3）如图2，取BC的中点为G，连接AG，设AEB=x°，
当点E在BC的上方时，如图2，
由（1）（2）得CD=BE,∠ACD=∠ABE,∠ABE=12∠BAC，
∴∠BAC=2∠ABE，
∵BE=AC，AB=AC，
∴CD=BE=AC=AB，
在△ABE中，
∵BE=AB，
∴∠EAB=∠AEB，
∴∠ACQ=∠ABE=180°−2∠AEB=180°−2x°，
∴∠BAC=2∠ABE=2180°−2x°=360°−4x°，
在△ABC中，∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=12180−∠BAC=2x°−90°，
∵∠QCB=∠ACB−∠ACQ，∠QCB=60°，
∴2x°−90°−180°−2x°=60°，
解得x=82.5，
∴∠AEB=82.5°，
当E点在BC的下方时，如图3
由（1）（2）得CD=BE，∠ACD=∠ABE,BE∥AG，∠BAC=2∠BAG，
∴∠BAG=180°−∠ABE
∵AB=AC,BE=AC，
∴CD=BE=AC=AB，
在△ABE中，∵AB=BE，
∴∠ACD=∠ABE=180∘−∠AEB=180°−2x°，
∴∠BAG=∠ACQ=2x°，
∴∠BAC=2∠BAG=4x°，
在△ABC中，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=12180°−∠BAC=90°−2x°，
∴∠QCB=∠ACB−∠ACQ,∠QCB=60°，
∴90−2x−2x=60，
解得x=7.5，
∴∠AEB=7.5°，
综上所述，∠AEB的度数为82.5°或7.5°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，分类讨论，利用方程的思想解决问题是解题的关键．