中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测(全国通用)第14讲二次函数(原卷版+解析)

这是一份中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测(全国通用)第14讲二次函数(原卷版+解析)，共124页。试卷主要包含了二次函数的概念，二次函数解析式的三种形式等内容，欢迎下载使用。

(全国通用版)
第14讲二次函数
核心考点1：二次函数的概念
1、二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2、二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．
（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
核心考点2：二次函数的图象及性质
核心考点3：抛物线的平移
二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
核心考点4：二次函数二次函数与一元二次方程的关系
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
核心考点5：二次函数的综合问题
1．存在性问题
解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．
2．函数动点问题
（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．
（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．
（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．
2．二次函数应用题
二次函数是中考数学中的重点内容，重点题型主要有考查二次函数的图象与性质，一般为选择或者填空题，二次函数的平移问题，以及二次函数与一元二次方程的关系问题，二次函数的性质综合小题，多为选择题，解答题的主要类型有：待定系数法求二次函数关系式，线段问题、面积问题、特殊三角形或四边形存在性问题、角度问题、全等或相似的存在性问题等等。
1——根据二次函数的概念判断
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】二次函数的解析式必须是含自变量的整式，二次项系数不为0．
【详解】解：A、是一次函数，故本选项不符合题意；
B、二次项系数a不能确定是否为0，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、是二次函数，故本选项符合题意；
D、是正比例函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【反思】解题关键是掌握二次函数的定义及条件：二次函数的定义条件是：a、b、c为常数，，自变量最高次数为2．
2．下列函数关系中，是二次函数的是（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．半圆面积S与半径R之间的关系
【答案】D
【分析】根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数 ，c为常数项．x为自变量，y为因变量．
【详解】解：A、关系式为：y=kx+b，是一次函数，不符合题意；
B、关系式为：，是反比例函数，不符合题意；
C、关系式为：，是正比例函数，不符合题意；
D、关系式为：，是二次函数，符合题意．
故选：D．
【反思】此题考查了二次函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
2——考查二次函数的性质
3．对于二次函数，下列结论正确的是（ ）
A．对称轴为B．顶点在第三象限
C．当时，y随x的增大而减小D．与y轴的交点为
【答案】B
【分析】根据抛物线的对称轴，性质，顶点坐标，与y轴交点坐标的确定计算选择即可．
【详解】解：A、由，得到抛物线顶点坐标为，故对称轴为直线，故该项错误，不符合题意；
B、由，得到抛物线顶点坐标为，故顶点在第三象限，故该项正确，符合题意；
C、由，得到抛物线顶点坐标为，故当时，y随x的增大而减小，故该项错误，不符合题意；
D、由，故与y轴的交点为，故该项错误，不符合题意；
故选B．
【反思】本题考查了抛物线的对称性，增减性，顶点坐标，与坐标轴的交点，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
4．在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是（ ）
A．图象顶点坐标为，对称轴为直线．
B．的最小值为．
C．当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小．
D．它的图象可由的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到．
【答案】D
【分析】根据题意，二次函数，可以知道函数开口向上，对称轴为，顶点为，即可判断A、B、C选项正确；根据平移的规律，可以判断D选项错误．
【详解】二次函数，，
该函数开口向上，对称轴为，顶点为，A选项正确；
当时，有最小值，B选项正确；
当时，的值随值的增大而增大，
当时，的值随值的增大而减小，C选项正确；
根据平移的规律，的图像向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得：
，D选项错误；
故选：D．
【反思】本次考查了二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数的图像和几何变换，掌握以上知识是解题的关键．
5．二次函数的顶点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】二次函数的顶点式为，顶点坐标为，据此可得答案．
【详解】解：根据解析式可得其顶点坐标为，
故选：B．
【反思】本题考查二次函数的顶点式，二次函数的顶点式为，顶点坐标为，写出顶点时注意符号．
6．若二次函数的图象过点，，，则、、的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：∵抛物线
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵离直线的距离最远，点离直线最近，
∴．
故选B．
【反思】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
7．在下列函数图像上任取不同两点、，一定能使成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】A．是一次函数，说明是增函数，根据随的增大而增大来判断即可；B．是二次函数，增减性由开口方向和对称轴共同决定，判断出开口向下，对称轴为，即可得出结论；C．是反比例函数，，函数为减函数根据随的增大而增大来判断即可；D．是二次函数，同样根据增减性来判断即可．
【详解】解：A．，
随的增大而增大，即当时，必有，
当时，，
故A选项不符合；
B．对称轴为直线，
当时，y随x的增大而增大，当时y随x的增大而减小，
当时，当时，必有，
此时，
故B选项不符合；
C．当时，y随x的增大而增大，
即当时，必有，
此时，
故C选项不符合；
D．对称轴为直线，
当时，y随x的增大而减小，
即当时，必有，
此时，
故D选项符合；
故选：D．
【反思】本题考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图像和性质，需要结合图像一一分析，熟悉每种函数图像特征，找出在每种函数相应定义域内函数的增减性是解答本题的关键．
8．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由于，，是抛物线上三个点的纵坐标，所以可以根据二次函数的性质进行解答：先求出抛物线的对称轴，再根据抛物线开口向上，在对称轴右边，y随x的增大而增大，便可得出，，的大小关系．
【详解】解：∵抛物线，
∴对称轴为，
∵，
∴当，随的增大而增大，
∵，，， ，
∴，
故选：B．
【反思】本题考查了二次函数图象的性质，解题的关键掌握二次函数的增减性比较二次函数值的大小．
3——考查抛物线的平移
9．将抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，所得直线解析式为：；
再向下平移3个单位为：．
故选：D．
【反思】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
10．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移个单位，所得图象的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据“上加下减，左加右减”的方式对原解析式进行变形即可．
【详解】解：将二次函数 的图象向左平移 5 个单位，所得图象的解析式为，
故选：D．
【反思】本题考查了二次函数图象的平移，解题关键是掌握平移后解析式的变化规律．
11．抛物线先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先根据题意，得出原抛物线的顶点坐标，再根据二次函数平移的规律，得出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据抛物线的顶点式，即可得出答案．
【详解】解：∵原抛物线的顶点为，先向上平移3个单位，再向右平移1个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为，
∴平移后的抛物线的解析式为．
故选：C
【反思】本题考查了二次函数图象的平移，得到平移后的抛物线的顶点坐标是解本题的关键．
3——考查二次函数的综合性质
12．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④为任意实数，则；⑤若，且，则．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】①根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，进行判断；②利用对称轴进行判断；③根据对称性和图象上的点，进行判断；④利用最值进行判断；⑤利用对称性进行判断．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，
∴，
∵对称轴为：，
∴，
抛物线与轴交于正半轴，，
∴；故①错误；
②∵对称轴为：，
∴；故②正确；
③∵抛物线关于对称，
∴和的函数值相同，
即：，
由图像知，当时，函数值小于0，
∴；故③错误；
④由图象可知，当时，函数有最大值：，
∴m为任意实数，则，
即：；故④错误；
⑤当关于对称时：即：时，
对应的函数值相同，
即：，
∴
∴若，且，则；故⑤正确；
综上：②⑤正确，共2个；
故选：B．
【反思】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象正确的获取信息，利用二次函数的性质进行判断，是解题的关键．
13．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点在线段上运动，轴，，，有下面五个结论：
①；
②；
③当 时，一定有随的增大而增大；
④若点的坐标为，则点的坐标为；
⑤若抛物线经过原点，此时抛物线的顶点坐标一定为；
其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③⑤C．①④⑤D．①②④
【答案】D
【分析】①根据对称轴的范围确定的范围；②根据顶点的纵坐标为，结合的取值范围，求出的取值范围，进行判断；③当对称轴在轴右侧时，，部分随的增大而减小；④根据之间的关系式，用含的式子表示两点坐标，进行判断即可；⑤根据抛物线过原点，得到，利用顶点纵坐标为，求出的值，进而求出顶点横坐标，进行判断即可．
【详解】解：①∵抛物线的顶点在线段上运动，轴，，，
∴，抛物线顶点的纵坐标为，且横坐标在与之间，
∴，即：，
∴；故①正确；
②∵抛物线的顶点的纵坐标为，
∴，即：，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值：，当时，取得最小值：
∴；故②正确；
③∵抛物线开口向上，顶点的纵坐标为，且横坐标在与之间，
∴当对称轴在轴右边，时，部分随的增大而减小，故③错误；
④由②知：，
∴抛物线，
当时，，
解得：，
∵点在点的左侧，
∴，
∴当点C的坐标为，则，
∴ 即：；故④正确；
⑤当抛物线经过原点时，
∴，
∴，
∴，
∴若抛物线经过原点，此时抛物线的顶点坐标为或；故⑤错误；
综上：正确的是①②④；
故选D．
【反思】本题考查二次函数的图象与二次函数解析式中系数之间的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．属于中考常考题型．
14．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；（5）若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据抛物线的对称轴为直线，则有；观察函数图象得到当时，函数值大于0，则，即；利用抛物线的对称性得到点关于对称轴对称的点坐标为：，然后利用二次函数的增减性求解即可，作出直线，然后依据函数图象进行判断即可．
本题主要考查的是二次函数的图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，故（1）正确．
由函数图象可知：函数图象与轴有两个交点，
∴，故（3）错误．
∵抛物线与轴的一个交点为，对称轴为，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∴当时，，即，即；故（2）正确；
∵抛物线的对称轴为，，
∴点关于对称轴对称的点坐标为：．
∵，在对称轴的左侧，
∴随的增大而增大，
∴，故（4）错误．
方程的两根为或，
如图，直线与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，
依据函数图象可知：，故（5）正确．
∴正确的结论有：（1）（2）（5）共三个，
故选：B．
【反思】本题考查了二次函数图象的性质，二次函数与坐标轴交点问题，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
15．如图，二次函数的图象开口向上，图象经过点和且与y轴交于负半轴，下列给出五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可．
【详解】解：①观察图象得：抛物线开口向上，对称轴，且与y轴交于负半轴，
∴，，
∴，
∴，故①错误；
②观察图象得：，，
∴，
∴，故②正确；
③∵图象经过点，
∴，故③正确；
④∵图象经过点，，
∴，
两式相减得：，
解得：，
把代入得：，
即，故④正确；
⑤∵，，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，故⑤正确；
综上分析可知，正确的有4个，故C正确．
故选：C．
【反思】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，综合应用相关知识分析问题、解决问题的能力，是解题的关键．
4——考查二次函数与一元二次方程的关系
16．若抛物线与x轴有交点，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意得出方程有实数根，得出，解不等式即可求解．
【详解】解：∵物线与x轴有交点，
∴方程有实数根，
∴，
解得：，
故选：A．
【反思】本题考查了二次函数与轴交点问题，转化为一元二次方程有实数根是解题的关键．
17．已知二次函数 （a，k，h均为常数）的图象与x轴的交点的横坐标分别为和5，则关于x的一元二次方程的两个实数根分别是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设二次函数，根据二次函数的平移规律可得y向左平移2个单位长度得到，即可得出与x轴的交点横坐标，即可进行解答．
【详解】解：设二次函数，
∵，
∴y向左平移2个单位长度得到，
∵二次函数y的图象与x轴的交点的横坐标分别为和5，
∴二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为和3，
∴一元二次方程的两个实数根分别是，
故选：A．
【反思】本题主要考查了二次函数的平移，以及二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，以及二次函数与x轴交点的横坐标的值等于所对应一元二次方程的根．
18．若二次函数的图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【分析】函数图象与轴有交点，故可得，且二次函数的对称轴为，当，对称轴在左侧时，解得，不合题意；对称轴在右侧时，解得，此时图象与轴有且只有一个交点，即可求解；当，对称轴在左侧时，解得，因为，图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，当函数图象过时，解得，得；对称轴在右侧时，解得，不合题意；即可求解．
【详解】解：与轴有交点，
故，
解得：，
且二次函数的对称轴为：，
当，
对称轴在左侧时，
即，
解得，不合题意；
对称轴在右侧时，
即，
解得，
此时图象与轴有且只有一个交点，即，
；
当，
对称轴在左侧时，
即，
解得，
因为，图象在直线的右侧与轴有且只有一个交点，
当函数图象过时，
有，
解得：，
；
对称轴在右侧时，
即，
解得，不合题意；
综上所述：或，
故选：D．
【反思】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质．
5——考查二次函数与不等式的关系
19．如图为抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴的一交点为，则由图象可知，不等式的解集是（ ）
A．B．C．或D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的性质可得抛物线与x轴的另一交点为，再由当时，抛物线图象位于x轴的上方，即可求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一交点为，
∴抛物线与x轴的另一交点为，
∵当时，抛物线图象位于x轴的上方，
∴不等式的解集是．
故选：D
【反思】本题考查的是二次函数与不等式的关系，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．
20．如图，直线与抛物线分别交于两点，那么当时，x的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】A
【分析】只需要结合函数图象找到一次函数图像在二次函数图象上方自变量的取值范围即可．
【详解】解：由函数图象可知，当时，，
故选A．
【反思】本题主要考查了图象法求不等式的解集，正确理解题意是解题的关键．
5——考查二次函数的解答题（1）应用题
21．商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价上涨1元，则每星期就会少卖10件．每件商品的售价上涨x元（元为正整数），每星期销售的利润为元，则与的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出销售量与x的关系，再根据利润（售价进价）销售量列出y关于x的关系即可得到答案．
【详解】解：设每件商品的售价上涨x元，则销售量为件，
∴，
故选D．
【反思】本题主要考查了列函数关系式，正确理解题意是解题的关键．
22．为庆祝第五个中国农民丰收节，宣传玉龙县特色农产品，“迎盛会·庆丰收·促振兴”农特产品展销推荐会在白华生态农贸市场举行．某农户销售一种商品，成本价为每千克40元，按规定，该商品每千克的售价不低于成本价，且不高于60元．经调查每天的销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
设销售该商品每天的利润为（元），则的最大值为（ ）A．1800B．1600C．1400D．1200
【答案】B
【分析】设出与的函数关系式，把，代入求出关系式，再根据题意列出利润的二次函数关系式，根据二次函数的性质和实际情况求解最大值即可．
【详解】提示：设与的函数关系式，把，代入，
得，解得，
∴，
由题意得，
∵，开口方向向下，
∴当时，随的增大而增大，
又∵，
∴时，（元）．
故选：B．
【反思】本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意列出相关函数关系式是解题的关键．
23．某商品的进价为每件元，现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映：如调整价格，每降价元，每星期要多卖出件，则每星期售出商品的利润单位：元与每件降价单位：元之间的函数关系式是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出降价x元时每星期的销量及每件的利润，则每星期的利润等于单件利润乘以销量．
【详解】解：由题意知，当每件降价x元时，每星期的销量为件，每件的利润为元，
因此与之间的函数关系式是，
故选C．
【反思】本题考查列二次函数关系式，解题的关键是根据题意求出降价x元时每星期的销量及每件的利润．
24．在中，，，正方形的边长为1，将正方形和如图放置，与在一条直线上，点A与点E重合．现将正方形沿方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点A与点F重合时停止．在这个运动过程中，正方形和重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用勾股定理求出，按照，，，四个时间段，分别求出S与运动时间t的函数关系式，即可判断．
【详解】解：，，
，
①当时，如图1，设交于点H，
则，
，函数为开口向上的抛物线，当时，；
②当时，如图2，
设直线交于点，交于点H，
则，则，
，
函数为开口向下的抛物线，当时，；
③当时，
，
④当时，
同理可得：，为开口向下的抛物线；
故选C．
【反思】本题考查二次函数的应用，解题的关键是找准时间节点，列出不同时间段内S与运动时间t的函数关系式．
25．如图，在矩形中，，，为的中点，连接、，点，点分别是、上的点，且．设的面积为，的长为，则关于的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】证明为等边三角形，再利用，即可求解．
【详解】解：，为的中点，则，
在中，，，则，
同理可得，
故为等边三角形，则，
，则，
在中，过点作于点，
则，
则，
该函数为开口向下的抛物线，时，的最大值为，
故选：A．
【反思】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形等知识，有一定的综合性，难度适中．
26．如图，在等边中，，动点D从点B出发，以1cm/s的速度沿方向运动．同时动点E从点B出发以相同的速度沿方向运动，当点D运动到点A时，点E也随之停止运动．连接，将沿折叠，点B的对称点为点F，设点D的运动时间为t秒，与重叠部分的面积为y，则下列图象能大致反映y与t之间函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质和折叠的性质，利用分类讨论的思想方法求得y与t的函数关系式，再结合自变量的取值范围判定出函数的大致图象．
【详解】解：由折叠的性质可得：，
①当时，
与重叠部分的面积为，
由题意得：，
过点D作于点H，如图，
∵是等边三角形，
∴，
∴．
∴；
②当时，
与重叠部分的面积为梯形，如图，
由题意得：，则，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
同理：，
∴为等边三角形，
∴
，
综上，y与t之间函数关系式为，
由二次函数图象的性质可知，第一个函数的图象是开口向上的抛物线的一部分，第二个函数的图象是开口向下的抛物线的一部分，
∴A大致反映y与t之间函数关系，
故选：A．
【反思】本题主要考查了动点问题的函数的图象，二次函数的图形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
27．如图，晓波家的院墙一边靠墙处，用米长的铁栅栏围成了三个相连的养殖小院子，总面积为平方米，为方便喂养这些不同类的动物，在各个养殖院子之间留出了米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个米宽的缺口作小门．若设米，则关于的函数关系式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】如图所示（见详解），设米，则可求出的长，根据矩形的面积公式即可求解．
【详解】解：如图所示，
设米，则，
又小院子的总面积为，
∴，
故选：．
【反思】本题主要考查二次函数的运用，理解图形面积的计算方法，掌握数量关系，准确列出函数关系式是解题的关键．
28．如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．这个矩形花圃的最大面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，设花圃的宽为，面积为，得到关于的函数表达式，根据实际意义得到，再结合二次函数图像与性质，得到二次函数图像开口向下，当时，面积最大为．
【详解】解：设花圃的宽为，面积为，则
关于的函数表达式为：
∵，
∴，
二次函数中，，二次函数图像开口向下，
∴当时，面积最大为．
故选：C．
【反思】本题考查二次函数图像与性质解实际应用题，读懂题意，准确得出二次函数表达式，利用二次函数图像与性质求出最值是解决问题的关键．
29．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽；如果水面下降，则水面宽度增加（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，米，抛物线顶点C坐标为，
通过以上条件可设顶点式，
将A点坐标代入抛物线解析式可得出：，
所以抛物线解析式为，
当水面下降4米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：，
解得：，
所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了，
故选：D．
【反思】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
30．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为，当水面离桥拱顶的高度是2m时，这时水面宽度为（ ）
A．﹣10mB．mC．mD．m
【答案】D
【分析】把代入解析式即可求解．
【详解】根据题意，当时，有，
解得：，
∴，，
∴这时水面宽度m．
故选：D．
【反思】本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用，熟练借助二次函数解决实际问题是解题关键．
6——考查二次函数的解答题（2）线段问题
31．如图，一条顶点坐标为的抛物线与轴交于点，与轴交于点和点，有一宽度为，长度足够的矩形阴影部分沿轴方向平移，与轴平行的一组对边交抛物线于点和，交直线于点和，交轴于点和
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点和都有在线段上时，连接，如果，求点的坐标；
(3)在矩形的平移过程中，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)符合条件的点是，或
【分析】（1）设抛物线为 ，把点代入即可解决问题．
（2）作于，设，则，列出方程求出m的值即可解决问题．
（3）设，，，，．①当是对角线时，由，列出方程即可解决问题．②点 ，在直线 异侧时，，解方程即可．
【详解】（1）解：根据题意，抛物线顶点为，
设抛物线为 ．
抛物线过点 ，
，
抛物线解析式为．
（2）令
解得：
，．
如图，作于，
，，
．
设，则．
在中，，
∴，
解得(不符合题意，舍去)．
，
点 的横坐标为．
又点 在抛物线 上，
，
（3）设直线 的解析式 ，
由题意，得
解得：
直线 的解析式 ．
由已知，点 ，，及点 ，，横坐标分别相同．
设，，，，．
在矩形平移过程中，以，，，为顶点的平行四边形有两种情况：
①点，在直线 同侧时，．
∴，
解得：．
．
②点 ，在直线 异侧时，．
∴，
解得
∴或．
∴符合条件的点 是 ，，或．
【反思】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．
7——考查二次函数的解答题（3）面积问题
32．如图1，二次函数的图像与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)点为抛物线上一动点．
①如图2，过点作轴的平行线与抛物线交于另一点，连接，．当时，求点的坐标；
②如图3，若点在直线上方的抛物线上，连接与交于点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)①或；②
【分析】（1）将，，代入解析式即可得到答案；
（2）①根据得到点到直线的距离是点到直线距离的2倍，
求出直线的解析式，过点作的平行线与轴交于点，设直线的解析式为：，根据C点坐标求出点，直线解出的解析式，根据平移规律即可得到答案；
②过点作轴的平行线与交于点，设点，则点，根据平行得到，表示出，利用函数的性质即可得到答案；
【详解】（1）解：∵的图像与轴交于点，，
∴，
解得：，
；
（2）①，
点到直线的距离是点到直线距离的2倍，
令，则，
，
，，
直线的解析式为：，
如图，过点作的平行线与轴交于点，
设直线的解析式为：，
轴，，
，
在直线上，
，
，
直线的解析式为：，
直线可看作是将直线向上平移2个单位得到，将直线向下平移4个单位得到直线：，则它与抛物线的交点就是满足条件的点，
（将直线向上平移4个单位得到直线，它与抛物线没有交点）
令，解得：，，
当时，；当时，，
点的坐标为或；
②如图，过点作轴的平行线与交于点，
设点，则点，
，
轴，
，
，
，
的最大值为．
【反思】本题考查二次函数综合问题，主要有待定系数法求解析式，动点围成三角形面积问题及线段问题，解题的关键是根据题意列出函数根据函数性质求解．
8——考查二次函数的解答题（3）角度问题
33．如图，对称轴为直线的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线顶点为D，直线交y轴于E点；
①设点P为线段上一点（点P不与B、D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF面积的最大值；
②在线段上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①1；②存在，
【分析】（1）先由对称轴为直线求得b的值，再分别得到C的坐标是和点，把点代入表达式求出c的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）先求出点D坐标为，①设点F坐标为，表示出的面积，得到关于m的二次函数，根据二次函数的性质即可得到答案；
②连接，，先求出直线的表达式为，再证明是直角三角形，，得到，设点Q的坐标为，过点Q的坐标作轴于点H．根据当时，，得到，求得t的值，即可得到点Q的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∵设抛物线解析式为，
∴当时，，
∴点C的坐标是，
∵，且点B在x轴正半轴上，
∴，
把代入得，
解得（不合题意，舍去）或，
∴，,
∴抛物线解析式为；
（2）∵，
∴点D坐标为，
①设点F坐标为，
∴的面积，
整理的，
∵，
∴，
∵，
∴当时，，
即面积的最大值是1；
②存在．
如图，连接，，
由，,，
设直线的表达式为，
则，
解得，
∴直线的表达式为，
∵
，
，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∵点Q在线段BD上，
∴可设点Q的坐标为，
过点Q的坐标作轴于点H．
当时，，
此时，
解得．
此时．
∴点Q的坐标为．
【反思】此题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、锐角三角函数、勾股定理的逆定理、一次函数的图象和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
9——考查二次函数的解答题（3）直角三角形存在性问题
34．如图1，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是抛物线上位于对称轴右侧一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点的横坐标为6时，求四边形的面积；
(3)如图2，对称轴分别与轴交于点，与直线交于点，过点作于点，连接．在抛物线上是否存在点，使为直角三角形?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)四边形的面积为16
(3)当点的坐标为或时，为直角三角形
【分析】（1）用待定系数法将点，代入抛物线得，求出的值即可得到答案；
（2）先根据抛物线解析式求出点的坐标，再根据计算即可得出答案；
（3）先用待定系数法求出直线的解析式，从而得到点的坐标，设点的坐标为，则点的坐标为，根据两点间的距离公式得出、、，再分当时，当时，当时三种情况分别讨论，利用勾股定理即可求得答案．
【详解】（1）解：将点，代入抛物线得，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：令，
解得：，
点的坐标为，
当时，，
点坐标为，
；
（3）解：抛物线的解析式为，
对称轴为，
直线为，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点代入得，
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为，
设点的坐标为，
则点的坐标为，
点，
，，，
为直角三角形，
当时，此时点与点重合，
，
解得：或，
点是抛物线上位于对称轴右侧一动点
点的坐标为，
当时，则,
即，
化简得：，
，
此时方程无解，
当时，则，
即，
解得： ，
点是抛物线上位于对称轴右侧一动点
点的坐标为，
综上所述，当点的坐标为或时，为直角三角形．
【反思】本题考查了待定系数法求解析式，求三角形的面积，勾股定理解三角形，采用分类讨论的思想以及数形结合的思想是解题的关键．
35．已知，如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，，此抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为．
(1)求此抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)在轴上是否存在点使为直角三角形?若存在，确定点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，点的坐标为或
【分析】（）先求得点和点的坐标，然后将点和点的坐标代入抛物线的解析式求得，的值，利用配方法求得点的坐标即可；
（）当时，，可得到点的坐标，从而得到，然后再求得的长；当时，依据可求得的长，从而可得到的坐标．
【详解】（1）解：将代入的解析式得：，
．
将代入的解析式得：，
解得，
即．
将点和点的坐标代入，得：
，
解得：．
抛物线的解析式为．
，
．
（2）①当时，如图所示：
时，
．
又
．
．
，，
．
②当时，则．
∴
，
即 ，
解得：．
，
．
综上所述，点的坐标为或．
【反思】考查的是二次函数的应用，解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
36．如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上时，那么我们称抛物线与 “互为关联”的抛物线．如图，已知抛物线：与：是“互为关联”的抛物线，点A，B分别是抛物线，的顶点，抛物线经过点．
(1)直接写出A，B的坐标和抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点E，使得是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；
【答案】(1)， ，，
(2)存在， 或．
【分析】（1）由抛物线：可得，将，代入
，求得，；
（2）易得直线的解析式：，①若B为直角顶点，，；②若A为直角顶点，，；③若E为直角顶点，设不符合题意；
【详解】（1）由抛物线：可得，
将，代入得
，
解得，
∴，
∴；
（2）易得直线的解析式：，
①若B为直角顶点，，，
∴，
直线解析式为
联立，
解得或，
∴；
②若A为直角顶点，，
同理得解析式：，
联立，
解得或，
∴；
③若E为直角顶点，设，
由得，
即，
，
解得，
经检验得是方程的增根，即方程无解，
综上所述， 或
【反思】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质、直角三角形的性质以及一次函数的性质是解题的关键．
10——考查二次函数的解答题（4）平行四边形存在性问题
37．如图，已知抛物线过点，，，其顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若P是抛物线上的一个点，是否存在点P，使得，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为或
(3)能，点的坐标为或或
【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）先求出的垂直平分线的表达式，再联立线段垂直平分线和抛物线的表达式，得到关于的方程，进而求出点的坐标．
（3）设出点的坐标，分情况讨论，①当点在线段上时，点在点上方，②当点在线段（或）延长线上时，点在点下方，根据平行四边形的性质，可由得关于的方程，进而求出点的坐标．
【详解】（1）解：将A、B、C点的坐标代入解析式，得，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：存在，点的坐标为或．
如图，设为线段的中点，
∵，
∴直线为线段的垂直平分线，直线与抛物线必有两个交点，且都是满足条件的点．
∵，，
∴点的坐标为，
设的解析式为，
将点代入得，，
即直线的解析式为，
联立，
得，
解得或，
∴点的坐标为或．
（3）能，点的坐标为或或．
将配方，得，
∴顶点D的坐标为，
由，得对称轴为，
∵，，
∴直线的方程为，
联立，得，
点在直线上，设，
①当点在线段上时，点在点上方，则，
∵，
∴，
解得或（舍），
∴点的坐标为；
②当点在线段（或）延长线上时，点在点下方，则，
∵，
∴，
解得或，
∴点的坐标为或，
综上所述：满足条件的点坐标为或或．
【反思】本题考查了二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用线段垂直平分线的性质；解（3）的关键是平行四边形的性质得出关于的方程，要分类讨论，以防遗漏．
38．如图，已知抛物线：与轴交于点，点（在的左侧），与轴交于点．是关于轴对称的抛物线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线与轴交于点，点是抛物线的一个动点，过点作轴的垂线交所在的直线于点．当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先求出A，B，C点坐标，由是关于轴对称的抛物线，可知C点关于x轴的对称点和点A，点B在抛物线上，利用待定系数法即可求解；
（2）先根据待定系数法求出直线的解析式，设，，则，再分为平行四边形的边、对角线两种情况，利用平行四边形的性质分别计算即可．
【详解】（1）解：抛物线：中，
令，则，
，
令，则，
解得，，
在的左侧，
，，
是关于轴对称的抛物线，
，在抛物线上，
设抛物线与轴交于点，
，
，
设抛物线的解析式为，
将代入，得，
解得，
，
即抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
直线的解析式为，
点是抛物线的一个动点，
设，
轴交于点，
，
则，
当为平行四边形的边时，
则，即，
当时，，解得，
当时，，该方程无解，
，
当时，，
当时，，
或；
当为平行四边形的对角线时，
，
点O是的中点，
轴，
，在y轴同侧，
这种情况不存在，
综上可知，或．
【反思】本题属于二次函数综合题，考查特殊四边形的存在性问题，轴对称的性质，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，解一元二次方程，平行四边形的性质等，解题的关键是综合运用上述知识，注意分类讨论．
39．如图，抛物线：与x轴分别交于点，点，与y轴交于点C，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若抛物线与抛物线关于原点O对称，点P是第四象限抛物线上的点，过点P作轴于点D，连接．若与相似，求点P 的坐标．
【答案】(1)
(2)或或或，
【分析】（1）将，，代入，即可求解；
（2）先求出抛物线的解析式为，设，则，，分两种情况讨论：①当时，，求出或；②当时，，求出或，．
【详解】（1）解：将，代入中，
得，解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2），
顶点坐标为，，
，关于原点对称的点为，，
抛物线的解析式为，
，，
，
轴，
，
设，
，，
∵与相似，
①当时，，
或，
或；
②当时，，
解得或，
或，；
综上所述：点坐标为或或或，．
【反思】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，会求函数图象关于原点对称的函数解析式是解题的关键．
11——考查二次函数的解答题（4）相似三角形存在性问题
40．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点，连接．又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含点O和点B），且分别交抛物线、线段以及x轴于点P、D、E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接、，当直线l运动时，求使得和相似的点P的坐标；
(3)作，垂足为F，当直线l运动时，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设，①当时，，此时不存在满足条件的点；②当时，，可求；
（3）根据题意可得，则，设，则，，当时，求面积的最大值即可．
【详解】（1）解：将A、B、C三点代入，
∴，
解得，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
设，
①当时，，
解得（舍）或（舍）；
②当时，，
解得或（舍），
∴；
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
设，则，
∴，
∴，
当时，面积的最大值为．
【反思】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键．
12——考查二次函数的解答题（4）角的存在性问题
41．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点F是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点F在第一象限运动时，连接线段，且．当S取最大值时，求点F的坐标；
(3)过点F作轴交直线于点D，交x轴于点E，若，求点F的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）设点，过点F作轴于点H，则，分别求出，得到，利用二次函数的性质求解即可；
（3）分点F在x轴上方和下方两种情况分别求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，连接，设点，过点F作轴于点H，则，
∵，
∴，
当时，，
∴点C的坐标是，
∴，
∴
，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，
当时，有最大值，此时，
∴此时点F的坐标是．
（3）当点F在x轴上方时，如图，延长射线交x轴于点N，
∵，点C的坐标是，
∴，
∴,
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点N的坐标是，
设直线的解析式为，
则，
∴，
∴，
由，
解得（不合题意，舍去），，
当时，，
∴点F的坐标是，
当点F在x轴下方时，如图，设交x轴于点H，
∵，，
∴，
∴是等腰三角形，是的角平分线且三线合一，
∴，
∴,
设直线的解析式为，
则，
∴，
∴，
由，
解得（不合题意，舍去），，
当时，，
∴点F的坐标是，
综上所述，点F的坐标是或．
【反思】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、相似三角形的判定和性质、一次函数和二次函数图象的交点坐标、等腰三角形的判定和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键，是中考压轴题的常见类型．
42．已知如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，．
(1)求抛物线解析式；
(2)点是抛物线第三象限部分上的一点，若满足，求点的坐标；
(3)若是轴上一点，在抛物线上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请写出点的坐标，若不存在，请说明理由；
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为或或
【分析】（1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；
（2）根据可得出，利用待定系数法确定直线的解析式为，从而可确定直线的解析式为，再解由直线的解析式和抛物线的解析式构成的方程组即可得到点的坐标；
（3）设，，根据平行四边形的对角线互相平分，再利用中点坐标公式建立方程组即可求解，可分三种情况进行讨论．
【详解】（1）解：∵抛物线与坐标轴分别交于点，，，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为．
（2）∵，
∴，
∵点，，，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵点是抛物线第三象限部分上的一点且在直线上，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
∴．
（3）设，，
∵，，
又∵点、、、为顶点的四边形是平行四边形，可分以下几种情况：
①以为边构成平行四边形时，则
，
解得：，，
∴当时，，这时，
当时，，这时，不合题意，舍去；
②以为边构成平行四边形时，则
，
解得：，，
∴当时，，这时，
当时，，这时；
③以为对角线构成平行四边形时，则
，
解得：，，
∴当时，，这时，
当时，，这时，不合题意，舍去；
综上所述，在抛物线上存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或或．
【反思】本题考查用待定系数法确定二次函数解析式和一次函数的解析式，平行线的判定，平行四边形的判定和性质，中点坐标公式．根据题意分情况讨论是解题的关键．
43．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接，找出图中与相等的角，并说明理由；
(3)若点P是抛物线上一点，满足，求点P的坐标；
(4)若点Q在第四象限内，且，，线段是否存在最大值，如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)P点坐标为或；
(4)存在，
【分析】（1）将点B代入二次函数解析式即可求解；
（2）证明即可得出结果；
（3）结合（2）可推出，分P点在x轴上方以及下方两种情况进行讨论即可；
（4）过点A作轴，过点C作轴，连接，设N为的中点，Q点在以N为圆心，为半径的圆上运动，求出即可解决问题．
【详解】（1）解：将点代入可得：，
解得：，
∴二次函数表达式为：；
（2）解：，理由如下：
令，
解得或，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
①当点P在x轴上方时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则有：，解得：，
∴，
联立二次函数解析式可得，
解得：（舍）或，
∴P点坐标为；
②如图2，当点P在x轴下方时，
∵，
∴轴，
∴；
综上，P点坐标为或；
（4）解：过点A作轴，过点C作轴，连接，设N为的中点，
∵，
∴，
∵，，
∴Q点在以N为圆心，为半径的圆上运动，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为．
【反思】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定和性质，圆的性质是解题的关键．
44．如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．且有．
(1)求抛物线解析式；
(2)点P在抛物线的对称轴上，使得是以为底的等腰三角形，求出点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点Q在抛物线的对称轴上，并且有，直接写出点Q的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)Q点坐标为或
【分析】（1）待定系数法求出解析式即可；
（2）设，根据是以为底的等腰三角形，得到，列式求解即可；
（3）分Q点在x轴下方和Q点在x轴上方，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，，
∴，
将点，代入，
得
解得，
∴；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
设，
∴，
，
∵是以为底的等腰三角形，
∴，
∴，
解得，
∴；
（3）∵是等腰三角形，，，，
∴，
∴平分，
∴，
如图1，当Q点在x轴下方时，过C点作交抛物线的对称轴为Q点，连接，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图2，当Q点在x轴上方时，
∵，
∴以P为圆心为半径作圆，当Q点在圆P上时，，
此时，
∴，
综上所述：Q点坐标为或．
【反思】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论思想进行求解，是解题的关键．
——学习需要多反思，多总结！
学习任何东西，都需要多反思，多总结！反思学习过程中的一得失，其实就是现在所谓的深度学习！好多同学为什么感觉自己也很认真，但成绩一直不好，进步不大，其中最主要的原因就是缺少反思这一环节，不去思考学习过程中的得失，反思，主要的就是思考自己在学习中存在的问题。
秘籍十二：学习需要多反思，多总结！
一、选择题
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．已知抛物线，下列说法中错误的是（ ）
A．顶点坐标为B．当时，y随x的增大而减小
C．当时，y随x的增大而增大D．对称轴为直线
3．已知二次函数，关于该函数在范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4，有最小值B．有最大值4，有最小值
C．有最大值3，有最小值D．有最大值3，有最小值
4．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：
①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若、是抛物线上的两点，则有；④若m，n为方程的两个根，则且；以上说法正确的有（ ）
A．①②③④B．②③④C．②④D．②③
7．如图是二次函数的图像，则不等式的解集是（ ）
A．B．或C．D．或
二、填空题
8．二次函数的图象开口向______，顶点坐标为______．
9．若抛物线，点为抛物线上两点，则______．（用“”或“”号连接）
10．将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后得到一条新的抛物线，其表达式为______，顶点坐标为______．
11．抛物线（a为常数）的顶点纵坐标的最大值为______．
12．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
那么该抛物线的顶点坐标是______．
13．二次函数的最大值为___________．
三、解答题
14．如图1，已知二次函数的图象经过，，三点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)点是该二次函数图象上的一点，且满足（是坐标原点），求点的坐标；
(3)如图2，点是直线上方抛物线上的一点，过点作于点，作轴交于点，求周长的最大值．
15．如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，点在射线上运动，过点作直线轴，交抛物线于点，（点在点的左侧）．
(1)求该抛物线的解析式和对称轴；
(2)若，求点E的坐标；
(3)若抛物线的顶点关于直线的对称点为点P，当点P到x轴的距离等于1时，求出所有符合条件的线段的长；
(4)以点D为旋转中心，将点B绕点D顺时针旋转得到点，直接写出点落在抛物线上时点D的坐标．
16．如图，二次函数（m是实数，且）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C．已知点D位于第一象限，且在对称轴上，，点E在x轴的正半轴上，，连接并延长交y轴于点F，连接．
(1)求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；
(2)已知点Q在抛物线的对称轴上，当的周长的最小值等于时，求m的值．
17．如图，抛物线与x轴交于O，A两点，是抛物线的顶点，轴于点D．
(1)求抛物线的解析式．
(2)P为抛物线上位于点A，C之间的一点，连接，若恰好平分的面积，求点P的坐标．
(3)Q为抛物线上位于点A，C之间的一点，连接OQ，作轴于点E，是否存在点Q使得与相似．若存在，请直接写出点Q的横坐标的值；若不存在，请说明理由．
18．如图，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接、，与抛物线的对称轴l交于点E.
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是第一象限抛物线上的动点，连接，，当四边形面积取最大值时，求点P的坐标；
(3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由.
19．如图，抛物线过点、两点，点、关于抛物线的对称轴对称，过点作直线轴，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)直接写出点的坐标，并求出的面积；
(3)点是抛物线上一动点，且位于第四象限，当的面积为6时，求出点的坐标；
(4)已知点在直线上运动，点在轴上运动，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时的面积．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交于点E，交x轴于D，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，点M为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，N为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点Q，使得以点M，F，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．
一、选择题
1．长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（ ）
A．B．C．D．
2．已知二次函数，对于其图像和性质，下列说法错误的是（ ）
A．图像开口向下B．图像经过原点
C．当时，随的增大而减小，则D．当时，随的增大而增大
3．由二次函数，可知（ ）
A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线
C．其最大值为1D．当时，随的增大而减小
4．如图，在菱形中，连接，，，垂直于的直线从点出发，按的方向平移，移动过程中，直线分别交，，于点，，，直到点与点重合，记直线的平移距离为，的面积为，则随变化的函数图象大致为( )
A．B．
C．D．
5．二次函数(a，b，c是常数，)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
且当时，其对应的函数值．有下列结论：①；②对称轴为；③和3是关于x的方程的两个根；④其中，正确结论的个数是( )A．0B．1C．2D．3
6．已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若、是抛物线上的两点，则有；④若m，n为方程的两个根，则且；以上说法正确的有（ ）
A．①②③④B．②③④C．②④D．②③
7．已知二次函数，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示．下列结论：①；②当时，；③；④关于x的一元二次方程的解是．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①，②，③，④；其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
9．如果关于x的分式方程有整数解，且二次函数的图象与x轴有交点，那么符合条件的所有整数m的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．已知函数，则使成立的x值恰好有4个，则k的值可能为（ ）
A．B．C．2D．3
二、填空题
11．将函数的图像绕着原点旋转，得到的新图像的函数表达式为_________．
12．写出一个对称轴为轴．且过点的抛物线的函数表达式：______．
13．如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；② 图形有最小值，且最小值为0；③ 当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是________．
14．已知二次函数的图象最高点在x轴上，则该函数关系式为_____________．
15．已知二次函数．
（1）若，则函数y的最小值为_____．
（2）若当时，y的最大值是6，则a的值为_____．
16．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论是_________．（填序号）
17．将抛物线（其中a为实数）向上平移3个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 _____．
三、解答题
18．如图，抛物线经过点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)抛物线在第二象限的图象上有一点M，过M作垂直于x轴的直线交直线与F，当最大时，求点M的坐标．
19．已知二次函数与x数轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接．
发现：点A的坐标为__________，求出直线的解析式；
拓展：如图1，点P是直线下方抛物线上一点，连接、，当面积最大时，求出P点的坐标；
探究：如图2，抛物线顶点为D，抛物线对称轴交于点E，M是线段上一动点（M不与B、C两点重合），连接，设M点的横坐标为，当m为何值时，四边形为平行四边形？
20．如图1，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2所示，当点在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时点坐标．
(3)若点是轴上的一个动点，点是抛物线上一动点，的横坐标为．试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解析式
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴
x=–
顶点
（–，）
a的符号
a>0
a<0
图象
开口方向
开口向上
开口向下
最值
当x=–时，y最小值=
当x=–时，y最大值=
最点
抛物线有最低点
抛物线有最高点
增减性
当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大
当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小
售价（元/千克）
40
50
60
销售量（千克）
120
100
80
x
…

0
…
y
…
…
…
0
1
2
…
…
…
x
…
1
…
y
…
0
…
中考数学一轮复习资料五合一
《核心考点+重点题型+高分秘籍+题组特训+过关检测》
(全国通用版)
第14讲二次函数
题组特训详解
选择题
1．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接根据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是．
故选C．
【反思】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线．
2．已知抛物线，下列说法中错误的是（ ）
A．顶点坐标为B．当时，y随x的增大而减小
C．当时，y随x的增大而增大D．对称轴为直线
【答案】D
【分析】根据抛物线的性质判定即可．
【详解】∵抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
∵抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而增减小，
∴A、B、C都是正确的，D是错误的，
故选D．
【反思】本题考查了抛物线的性质，正确掌握抛物线的对称性，增减性，顶点坐标是解题的关键．
3．已知二次函数，关于该函数在范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4，有最小值B．有最大值4，有最小值
C．有最大值3，有最小值D．有最大值3，有最小值
【答案】A
【分析】将解析式配方为顶点式，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，开口向下，
∴在的取值范围内，当时，函数取最大值，
当时，函数取最小值，
故选：A．
【反思】本题考查了二次函数在所给范围内的最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
4．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：
①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】
由抛物线的开口方向，抛物线与轴交点的位置、对称轴即可确定、、的符号，即得的符号；由抛物线与轴有两个交点判断即可；由抛物线的对称轴为直线，可得，然后把代入方程即可求得相应的的符号；根据对称轴和图可知，抛物线与轴的另一交点在3和4之间，所以当时，，即可得．
【详解】
解：由开口向上，可得，又由抛物线与轴交于负半轴，可得，然后由对称轴在轴右侧，得到与异号，则可得，，故①错误；
由抛物线与轴有两个交点，可得，故②正确；
由抛物线的对称轴为直线，可得，再由当时，即，，故③正确；
根据对称轴和图可知，抛物线与轴的另一交点在3和4之间，所以当时，，即可得，故④正确，
故选：C．
【反思】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定．
5．将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数平移规律“上加下减，左加右减”即可求解．
【详解】将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为，
故选：A．
【反思】本题考查二次函数的平移，掌握二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”是解题的关键．
6．已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若、是抛物线上的两点，则有；④若m，n为方程的两个根，则且；以上说法正确的有（ ）
A．①②③④B．②③④C．②④D．②③
【答案】B
【分析】由图象可知，然后根据二次函数的图象与性质及与方程的关系可进行求解．
【详解】解：由图象可知：，对称轴为直线，即，
∴，故①错误；
∵点是二次函数与x轴的交点，
∴根据二次函数的对称性可知二次函数与x轴的另一个交点坐标为，
∴当时，则有，故②正确；
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，所以由、是抛物线上的两点，则有，故③正确；
∵二次函数与x轴的交点坐标为，，
∴该二次函数解析式可为，
由方程可知当时，即可看作方程的两个根即为直线与二次函数的图象的两个交点的横坐标，且，
∴且；故④正确；
故选B．
【反思】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
7．如图是二次函数的图像，则不等式的解集是（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】D
【分析】求出点关于对称轴的对称点，结合函数图象即可得出的解集．
【详解】解：由图可知二次函数的图象的对称轴为，与y轴的交点坐标为，
由二次函数图象的对称性可知，点也在函数的图象上，
由图可知，当或时，对应的y值小于3，
因此的解集为：或．
故选D．
【反思】本题考查利用二次函数图象求不等式的解集，解题的关键是利用二次函数图象的对称性求出点关于对称轴的对称点．
二、填空题
8．二次函数的图象开口向______，顶点坐标为______．
【答案】 上
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为，
故答案为：上，．
【反思】本题考查了二次函数图象的性质，化为顶点式是解题的关键．
9．若抛物线，点为抛物线上两点，则______．（用“”或“”号连接）
【答案】
【分析】根据题意可得抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，从而得到点离抛物线的对称轴越远，函数值越小，即可求解．
【详解】解：∵，且，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，
∴点离抛物线的对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴．
故答案为：
【反思】本题主要考查了抛物线的图象和性质，熟练掌握抛物线的图象和性质是解题的关键．
10．将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后得到一条新的抛物线，其表达式为______，顶点坐标为______．
【答案】
【分析】根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，求出解析式，写出顶点坐标即可．
【详解】解：将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后得到一条新的抛物线：，其顶点坐标为：；
故答案为：，．
【反思】本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握抛物线的平移规则，是解题的关键．
11．抛物线（a为常数）的顶点纵坐标的最大值为______．
【答案】
【分析】求出顶点纵坐标，利用二次函数的性质求解．
【详解】，
∴抛物线的纵坐标为．
∵，
∴抛物线纵坐标最大值为．
故答案为：．
【反思】本题考查了二次函数一般式化顶点式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
12．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
那么该抛物线的顶点坐标是______．
【答案】
【分析】根据当时和当时的函数值相同求出二次函数的对称轴即可得到答案．
【详解】解：∵当时，，当时，，
∴二次函数的对称轴为直线，
∴二次函数顶点坐标为，
故答案为：．
【反思】本题主要考查了二次函数的对称性，熟知二次函数图象上函数相同的两个点关于二次函数图象的对称轴对称是解题的关键．
13．二次函数的最大值为___________．
【答案】4
【分析】所给形式是二次函数的顶点式，易知其顶点坐标是，也就是当时，函数有最大值4．
【详解】解：∵，
∴此函数的顶点坐标是，
∵，抛物线开口向下，
∴当时，函数有最大值，最大值是4．
故答案为：4．
【反思】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值．
三、解答题
14．如图1，已知二次函数的图象经过，，三点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)点是该二次函数图象上的一点，且满足（是坐标原点），求点的坐标；
(3)如图2，点是直线上方抛物线上的一点，过点作于点，作轴交于点，求周长的最大值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）由、、三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）当点在轴上方时，则可知当时，满足条件，由对称性可求得点坐标；当点在轴下方时，可证得，利用的解析式可求得直线的解析式，再联立直线和抛物线的解析式可求得点坐标；
（3）首先根据表示出的周长，判断出当最大时，的周长最大，求出直线的解析式，设，，利用二次函数的最值求出的最大值，再分别求出，，可得结果．
【详解】（1）解：由题意可得，
，解得：，
抛物线解析式为；
（2）当点在轴上方时，过作交抛物线于点，如图1，
、关于对称轴对称，、关于对称轴对称，
四边形为等腰梯形，
，即点满足条件，
；
当点在轴下方时，
，
，
，
可设直线解析式为，把代入可求得，
直线解析式为，
可设直线解析式为，把代入可求得，
直线解析式为，
联立直线和抛物线解析式可得，
解得 或，
；
综上可知满足条件的点的坐标为或；
（3）的周长，
是定值，
当最大时，的周长最大，
设直线的解析式为，将，代入得：
，解得：，
直线的解析式为，
设，，
，
当时，最大值为2，
，，
，，，
轴，
，
，，
的周长最大值为．
【反思】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的周长、二次函数的性质、方程思想伋分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出点的位置是解题的关键，在（3）中用点的坐标表示出的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性强，难度较大．
15．如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，点在射线上运动，过点作直线轴，交抛物线于点，（点在点的左侧）．
(1)求该抛物线的解析式和对称轴；
(2)若，求点E的坐标；
(3)若抛物线的顶点关于直线的对称点为点P，当点P到x轴的距离等于1时，求出所有符合条件的线段的长；
(4)以点D为旋转中心，将点B绕点D顺时针旋转得到点，直接写出点落在抛物线上时点D的坐标．
【答案】(1)，对称轴为：直线
(2)
(3)或
(4)或
【分析】（1）将和的坐标代入到解析式求解出解析式，再将其转化为顶点式；
（2）令，可得，则，进而可得，最后根据二次函数的对称性求解即可；
（3）根据二次函数的顶点式可得其顶点坐标，再根据题意分两种情况讨论即可；
（4）设，根据旋转的性质得出，代入二次函数解析式，即可求解．
【详解】（1）将点，点代入到解析式得，
解得，
∴
，
∴其对称轴为：直线；
（2）令得，，
∴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，代入得，
∴；
（3）∵，
∴其顶点坐标为
①当时，，
即，
解得，，
，
②当时，，
即，
解得，，
，
综上所述，或．
（4）解：如图所示，当在轴正半轴时，过点作轴于点，设，，
依题意，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当在轴的负半轴时，设，，
同理可得，，
∵在抛物线上，
∴，
解得：或，
∴或．
【反思】本题考查了二次函数的图象和性质和一元二次方程的应用，旋转的性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
16．如图，二次函数（m是实数，且）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C．已知点D位于第一象限，且在对称轴上，，点E在x轴的正半轴上，，连接并延长交y轴于点F，连接．
(1)求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；
(2)已知点Q在抛物线的对称轴上，当的周长的最小值等于时，求m的值．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）令，解得或m，故点A、B的坐标分别为，，则点C的横坐标为，即可求解；
（2）由，即，在中，；点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接交对称轴于点Q，则点Q为所求点，进而求解．
【详解】（1）令，
解得或m，
故点A、B的坐标分别为，，
则点C的横坐标为，即点C的坐标为；
（2）由点C的坐标知，，
故，
∵，，
∴，
∴，即，
∵点C是中点，则为的中位线，
则，
在中，，
∴，
∵点B是点A关于函数对称轴的对称点，连接交对称轴于点Q，
由于的周长为最小，
则点Q为所求点，即，
则，解得，
∵，
故．
【反思】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
17．如图，抛物线与x轴交于O，A两点，是抛物线的顶点，轴于点D．
(1)求抛物线的解析式．
(2)P为抛物线上位于点A，C之间的一点，连接，若恰好平分的面积，求点P的坐标．
(3)Q为抛物线上位于点A，C之间的一点，连接OQ，作轴于点E，是否存在点Q使得与相似．若存在，请直接写出点Q的横坐标的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据顶点列对称轴等式及代入解析式求解即可得到答案；
（2）根据恰好平分的面积，即可得到一定经过的中点，计算的中点，设解析式为，将中点代入求出解析式，联立抛物线解出交点即可得到答案；
（3）设出点Q坐标，根据相似三角形判定，分与两类列式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵是抛物线的顶点，
∴，，
解得：，，
∴；
（2）解：∵，轴于点D，
∴，
∴中点坐标为，
∵恰好平分的面积，
∴一定经过的中点，
设解析式为，
∴，
解得：，
∴，
联立，得，
解得： ，（不符合题意舍去），
∴点P的坐标为：；
（3）解：设，
∵轴，
∴，，
∵，
∴①当时，与相似，
即，
解得：，（不符合题意舍去 ），
∴；
∴②当时，与相似，
即，
解得：（不符合题意舍去 ），（不符合题意舍去 ），
综上所述存在点Q使得与相似，点Q的横坐标的值为．
【反思】本题考查二次函数综合题，主要考了待定系数法求解析式，抛物线上特殊面积问题，抛物线上相似三角形问题，解题的关键是分类讨论相似情况列方程求解．
18．如图，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接、，与抛物线的对称轴l交于点E.
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是第一象限抛物线上的动点，连接，，当四边形面积取最大值时，求点P的坐标；
(3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）将、代入，列方程组求出、的值即可；
（2）过点作轴于点，交于点，先求出直线的函数表达式，再设点的横坐标为，将线段及四边形的面积用含的代数式表示，再根据二次函的性质求出四边形面积取最大值时点的坐标；
（3）存在符合条件的点，设，，先求出抛物线的对称轴和点的坐标，确定是等腰三角形，则以，，为顶点的三角形也是等腰三角形，再按，和，，以及，，分别求出点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线经过点和点，
，
解得，
该抛物线的函数表达式为．
（2）如图1，过点作轴于点，交于点，
抛物线，当时，，
，
设直线的函数表达式为，则，
解得，
直线的函数表达式为，
设，，则，
，
，
，
，
当时，四边形面积取最大值，此时，
．
（3）存在，设，，
，，
是等腰直角三角形，
以，，为顶点的三角形与相似，
以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，
点、关于抛物线的对称轴对称，
抛物线的对称轴为直线，
直线，当时，，
，
设直线交轴于点，
如图2，，，则，
解得，（不符合题意，舍去），
，
，
；
如图3，，，则，
，
解得，（不符合题意，舍去），
；
如图4，，，
作于点，则，
，
由图3可知，
，
，
，
综上所述，的坐标为或或．
【反思】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识与方法，还涉及数形结合、分类讨论等数学思想的运用，此题难度较大，属于考试压轴题．
19．如图，抛物线过点、两点，点、关于抛物线的对称轴对称，过点作直线轴，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)直接写出点的坐标，并求出的面积；
(3)点是抛物线上一动点，且位于第四象限，当的面积为6时，求出点的坐标；
(4)已知点在直线上运动，点在轴上运动，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时的面积．
【答案】(1)；
(2)；
(3)点坐标为；
(4)或．
【分析】（1）把点，代入抛物线中，利用待定系数法即可求出抛物线表达式；
（2）根据抛物线关系式得到对称轴，再根据轴对称的性质，即可得到点的坐标，然后利用三角形面积公式即可求出的面积；
（3）过点作交延长线于点，设点，利用差表示的面积，列式计算求出的值，即可得到点P的坐标；
（4）分两种情况讨论：①以点M为直角顶点且M在轴上方时，利用“”易证，得到，，利用勾股定理得到，即可求出的面积；②以点M为直角顶点且M在轴下方时，构建和，同理可证，得到，，利用勾股定理得到，即可求出的面积．
【详解】（1）解：把点，代入抛物线中，
得：，解得：，
抛物线的表达式为：；
（2）解：，
抛物线的对称轴为直线，
点、关于抛物线的对称轴对称，，
点的坐标为，
，
；
（3）解：如图1，过点作交延长线于点，
设点，
根据题意，得：，，，
，
，
，
整理得：，
解得：（舍去），，
点坐标为；
（4）解：若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，分两种情况讨论：
①以点M为直角顶点且M在轴上方时，如图2，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
由勾股定理得：，
；
②以点M为直角顶点且M在轴下方时，如图3，
作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：和，
同理可证，
，，
由勾股定理得：，
；
综上可知，的面积为或．
【反思】本题是二次函数综合题，题目较难，考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数的图像和性质，轴对称的性质全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质以及二次函数的图像和性质是解题关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交于点E，交x轴于D，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，点M为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，N为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点Q，使得以点M，F，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)
(2)的最大值为8，点P的坐标为
(3)或或
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线的解析式为，设，则，求出，继而得到，利用二次函数的性质求解即可；
（3）先求出平移后的抛物线解析式为，，再求出；设点N的坐标为，点Q的坐标为，然后分当为对角线时，当为对角线时，，当为对角线时，三种情况利用平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可．
【详解】（1）解：把，代入到中得：
，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，的值最大，最大为8，
∴此时点P的坐标为 ；
（3）解：∵抛物线解析式为，，
∴平移后的抛物线解析式为，，
令，则，
∴；
设点N的坐标为，点Q的坐标为，
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：
，
∴，
∴，
∴；
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：
，
∴，
∴，
∴；
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：
，
∴，
∴，
∴；
综上所述，点Q的坐标为或或．
【反思】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，二次函数图象的平移，平行四边形的性质，待定系数法求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
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一．选择题
1．长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，先根据周长，将长方形的另一边表示出来，再根据长方形的面积=长×宽，即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得：
∵长方形的周长为，其中一边为，
∴长方形的另一边长为，
∴，
故选：D．
【反思】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是掌握长方形的面积计算方法.
2．已知二次函数，对于其图像和性质，下列说法错误的是（ ）
A．图像开口向下B．图像经过原点
C．当时，随的增大而减小，则D．当时，随的增大而增大
【答案】C
【分析】二次函数化成顶点式为，再根据二次函数的性质进而求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴是直线，选项A正确，不符合题意；
∴时，y随x增大而减小，时，y随x增大而增大，选项C错误，符合题意，选项D正确，不符合题意；
把代入，得，
∴抛物线经过，该函数图象经过原点，选项B正确，不符合题意，
故选：C．
【反思】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
3．由二次函数，可知（ ）
A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线
C．其最大值为1D．当时，随的增大而减小
【答案】D
【分析】由二次函数的解析式，根据二次函数的性质进行逐项判断即可．
【详解】解：，
抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
函数有最小值1，当时，随的增大而减小，
，
当时，随的增大而减小，
故选：D．
【反思】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
4．如图，在菱形中，连接，，，垂直于的直线从点出发，按的方向平移，移动过程中，直线分别交，，于点，，，直到点与点重合，记直线的平移距离为，的面积为，则随变化的函数图象大致为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】连结交于，勾股定理得出，分两种情况，①当在左侧时，②当在右侧时，由三角形的面积公式列出关于的函数解析式即可，
【详解】解：连结交于，
，是菱形的对角线，
，，
，
①当在左侧时，如图所示：
，
，
，
，
，
，
当时，图象是开口向上的抛物线，且随的增大而增大；
②当在右侧时，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
当时，图象是开口向下的抛物线，且随的增大而增大．
故选：A．
【反思】本题考查动点问题的函数图象，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是根据三角形的面积公式列出函数解析式．
5．二次函数(a，b，c是常数，)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
且当时，其对应的函数值．有下列结论：①；②对称轴为；③和3是关于x的方程的两个根；④其中，正确结论的个数是( )A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】①根据表中数据判断的正负即可；②根据，，，，可得对称轴为直线；③根据对称轴为直线，再根据二次函数的对称性得出结论；④把和代入抛物线解析式求出的值，再根据的取值范围得出结论．
【详解】解：①当时，，
当时，，
，
，
，
故①正确；
②根据，，，，可得对称轴为直线；
故②错误；
③对称轴为直线
时则时，
和是关于的方程的两个根；
故③正确
④，，
，
，
当时，其对应的函数值
，故④错误；
故选：C．
【反思】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．
6．已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：①；②；③若、是抛物线上的两点，则有；④若m，n为方程的两个根，则且；以上说法正确的有（ ）
A．①②③④B．②③④C．②④D．②③
【答案】B
【分析】由图象可知，然后根据二次函数的图象与性质及与方程的关系可进行求解．
【详解】解：由图象可知：，对称轴为直线，即，
∴，故①错误；
∵点是二次函数与x轴的交点，
∴根据二次函数的对称性可知二次函数与x轴的另一个交点坐标为，
∴当时，则有，故②正确；
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，所以由、是抛物线上的两点，则有，故③正确；
∵二次函数与x轴的交点坐标为，，
∴该二次函数解析式可为，
由方程可知当时，即可看作方程的两个根即为直线与二次函数的图象的两个交点的横坐标，且，
∴且；故④正确；
故选B．
【反思】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
7．已知二次函数，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示．下列结论：①；②当时，；③；④关于x的一元二次方程的解是．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】观察图表可知，开口向下，，二次函数在与时，值相等，得出对称轴为直线，即可得出，在根据图象经过点，得出由此判断①；根据二次函数的对称性求得抛物线与轴的交点，即可判断②；根据，即可判断③；根据抛物线的对称性求得点关于直线的对称点是，即可判断④．
【详解】解：①由于二次函数有最大值，
，开口向下，
对称轴为直线，
，
图象经过点，
，
，故①说法正确；
②对称轴为直线，
点关于直线的对称点为，
，开口向下，
当时，，故②说法正确；
③当时，，
，故③说法错误；
④点关于直线的对称点是，
关于的一元二次方程的解是，，故④说法正确．
故选：C．
【反思】本题考查了二次函数的性质，难度适中．通过观察图表得出对称轴为直线是解题的关键．
8．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①，②，③，④；其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】A
【分析】根据抛物线的图象，判断、、的符号，进而即可判断结论①；再根据图象，得出当时，图象在轴下方时，，即，即可判断结论②；再根据图象，得出当时，图象在轴上方，，即，即可判断结论③；再根据图象，得出，通过去分母，得出，即可判断结论④，综合即可得出答案．
【详解】解：①∵图象开口向上，
∴，
又∵对称轴在轴右侧，
∴，
∵抛物线与轴交于负半轴，
∴，
∴，故结论①正确；
②当时，图象在轴下方时，，
即，故结论②正确；
③当时，图象在轴上方，，
即，故结论③正确；
④由抛物线的开口向上，可知，
∵，
∴，故结论④错误，
综上可得：正确的结论是①②③．
故选：A
【反思】本题考查了二次函数图象与系数的关系，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
9．如果关于x的分式方程有整数解，且二次函数的图象与x轴有交点，那么符合条件的所有整数m的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】先利用二次函数的图象与x轴有交点得到m的取值范围，解分式方程，结合m的取值范围与题意求出所有符合条件的m值即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有交点，
∴且，
解得：且，
解分式方程得，
∵分式方程有整数解，
∴或或1或2，且，
∴或3或1，
∵且，
∴，
∴符合条件的所有整数的个数为1，
故选：A．
【反思】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，分式方程的解，利用二次函数的图象与x轴有交点，求得m的取值范围是解题的关键．
10．已知函数，则使成立的x值恰好有4个，则k的值可能为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【分析】首先在坐标系中画出已知函数的图象，然后利用数形结合的方法即可找到使成立的x值恰好有4个的k值．
【详解】解：函数的图象如图：
根据图象知道当时，对应成立的x值恰好有4个，
所以．
故选：C．
【反思】本题考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．
二、填空题
11．将函数的图像绕着原点旋转，得到的新图像的函数表达式为_________．
【答案】
【分析】将其绕顶点旋转后，开口大小不变，顶点坐标和开口方向都发生变化，确定顶点坐标即可得出所求的结论．
【详解】解：二次函数的顶点坐标为,
图象绕着顶点旋转后，开口大小不变，顶点坐标变为，开口方向相反，
即，
则旋转后的二次函数解析式是：．
故答案为：
【反思】本题考查了二次函数图象与几何变换，在绕抛物线顶点旋转过程中，二次函数的开口大小不变，方向和顶点坐标都发生变化．
12．写出一个对称轴为轴．且过点的抛物线的函数表达式：______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由题意可知，对称轴为轴，则一次项系数为0，经过点，可以得出常数项为，即可写出符合题意得二次函数的解析式．
【详解】解：二次函数的对称轴为轴，
一次项系数为0，
又二次函数经过点，
常数项为，
满足题意的抛物线的函数表达式为：，
故答案为：（答案不唯一）．
【反思】本题主要考查了二次函数上点的坐标的特点，熟练掌握知识点是解题的关键．
13．如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；② 图形有最小值，且最小值为0；③ 当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是________．
【答案】①②④
【分析】画出图象，根据图象即可判断．
【详解】解：如图所示，
①图形关于y轴成轴对称，故正确；
②由图象可知，图形有最小值，且最小值为0；，故正确；
③当时，图形与x轴交点的左侧的函数值都是随着x的增大而减小，图形与x轴交点的右侧的函数值都是随着x的增大而增大，故错误；
④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故正确；
故答案为：①②④．
【反思】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键．
14．已知二次函数的图象最高点在x轴上，则该函数关系式为_____________．
【答案】或
【分析】有条件可知二次函数的顶点在x轴上，即二次函数的图象与x轴只有一个交点，令得到关于x的一元二次方程其判别式为0，可求得a，可得到函数关系式．
【详解】解：二次函数的图象最高点在x轴上
二次函数的图象与x轴只有一个交点
令得，则该一元二次方程有两个相等的实数根
，即
解得：
二次函数关系式为或
故答案为：或
【反思】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数的顶点在x轴上则二次函数与x轴的交点只有一个．
15．已知二次函数．
（1）若，则函数y的最小值为_____．
（2）若当时，y的最大值是6，则a的值为_____．
【答案】 或##或
【分析】（1）由题意可知此时二次函数为，再将其变为顶点式即得出答案；
（2）将该抛物线一般式改为顶点式，即得出该抛物线对称轴为直线，再分类讨论当时和当时，结合二次函数的图象和性质求解即可．
【详解】（1）当时，该二次函数为，
∵，
∴当时，y有最小值，最小值为．
故答案为：；
（2）∵，
∴该二次函数的对称轴为直线．
当时，抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大．
∵x轴上到的距离比到的距离大，
∴当时，y有最大值，
∴，
解得：；
当时，抛物线开口向下，
∴当时， y有最大值，最大值为，
∴，
解得：．
综上可知a的值为或．
【反思】本题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
16．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论是_________．（填序号）
【答案】②⑤##⑤②
【分析】首先根据图象得到a、b、c的符号，再根据对称轴可以得到a与b之间的关系，利用特殊值法代入求解，当时函数的值，再利用函数的增减性进行求解．
【详解】解：∵图象开口向下，
∴，
∵对称轴在y轴的右侧，a与b异号，
∴，
∵与y轴交于正半轴，
∴，
∴，
故①选项错误；
∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴，
∴，故②选项正确；
当时，由图象可得，
故③选项错误；
∵对称轴，
∴,
当时，，
∴，故④选项错误；
当时，抛物线取得最大值，
当时，有，即，
故⑤选项正确；
故答案为：②⑤．
【反思】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于．
17．将抛物线（其中a为实数）向上平移3个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 _____．
【答案】##2.5
【分析】根据“上加下减”可得出平移后的抛物线解析式，再利用配方法配方，可表达顶点的纵坐标，再求最大值．
【详解】解：将抛物线（其中a为实数）向上平移3个单位，得 ，
∴，
∴抛物线顶点的纵坐标，
∵，
∴m的最大值为．
故答案为：．
【反思】本题主要考查二次函数图象的平移，二次函数图象顶点坐标等内容，题目比较简单．
三、解答题
18．如图，抛物线经过点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)抛物线在第二象限的图象上有一点M，过M作垂直于x轴的直线交直线与F，当最大时，求点M的坐标．
【答案】(1)抛物线解析式为，顶点坐标
(2)点M坐标为
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，转化为顶点式，写出顶点坐标即可；
（2）求出直线的解析式，将的长转化为求二次函数的最值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，解得：，
∴；
∵，
∴抛物线的顶点坐标为：；
（2）解：，当时，，
∴，
设直线的解析式为：，
∵，，
∴，解得：，
∴，
设点，
∵轴，
∴点，
∴
∴当时，最大，此时，
∴点M坐标为．
【反思】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
19．已知二次函数与x数轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接．
发现：点A的坐标为__________，求出直线的解析式；
拓展：如图1，点P是直线下方抛物线上一点，连接、，当面积最大时，求出P点的坐标；
探究：如图2，抛物线顶点为D，抛物线对称轴交于点E，M是线段上一动点（M不与B、C两点重合），连接，设M点的横坐标为，当m为何值时，四边形为平行四边形？
【答案】发现：，直线的解析式为；拓展：；探究：当时，四边形为平行四边形
【分析】发现：令代入求解可得A、B坐标，然后令可得C点的坐标，进而利用待定系数法可求直线解析式；
拓展：过点P作轴，交于点H，设点，则有，然后可得，进而根据铅垂法可进行求解；
探究：由抛物线解析式可得对称轴为直线，则有，根据拓展可知，然后根据平行四边形的性质可得，进而求解即可．
【详解】解：发现：令时，则，
解得：，
令时，则有，
∴，，，
设直线的解析式为，则有：
，
解得：，
∴直线的解析式为；
拓展：过点P作轴，交于点H，如图所示：
设点，则有，
∴，
∴，
∵，且函数开口向下，
∴当时，的面积最大，此时点；
探究：由抛物线解析式可知对称轴为直线，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
由题意知，则，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴当时，四边形为平行四边形．
【反思】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
20．如图1，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2所示，当点在直线上方运动时，连接，求四边形面积的最大值，并写出此时点坐标．
(3)若点是轴上的一个动点，点是抛物线上一动点，的横坐标为．试判断是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)时，有最大值，最大值为，点的坐标为
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（1）抛物线经过点、，用待定系数法即可求解；
（2）根据二次函数解析式分别求出的长，再求出的面积，如图2（见解析），过点作轴交于点，设，则，用含的式子表示出，由此即可求解；
（3）根据平行四边形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点、，
∴，解得，，
∴该抛物线的表达式为．
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点和点关于直线对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图2，过点作轴交于点，
设所在直线的解析式为：，过点，
∴，即所在直线的解析式为：，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴点的坐标为．
（3）解：抛物线的表达式为，点的横坐标为，
∴，即，且，
①如图所示，四边形为平行四边形，
∴，且，
∴点的纵坐标为，，解得，，，
∴点的坐标为，
∴，
设点，
∵，
∴，则，即；
②如图所示，四边形是平行四边形，过点作轴于，过点作轴于，
∴，，，
∴，
∴，且,设，，
∴，解得，，，
当时，，即，则；当时，，即，则，
∴点的坐标为或；
③如图所示，四边形为平行四边形，
∴，，
∴设，则，
∴，即点的坐标为；
综上所示，点的坐标为或或或．
【反思】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数图像的性质，动点的运动规律，几何图形的面积计算方法及性质是解题的关键．
x
…

0
…
y
…
…
…
0
1
2
…
…
…
x
…
1
…
y
…
0
…