中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测(全国通用)第22讲图形的相似(原卷版+解析)

这是一份中考数学核心考点+重点题型+高分秘籍+题组训练+过关检测(全国通用)第22讲图形的相似(原卷版+解析)，共75页。试卷主要包含了线段的比，比例中项，比例的性质，画位似图形的步骤，如图，，若，，则与的相似比是等内容，欢迎下载使用。

(全国通用版)
第22讲图形的相似
核心考点1：比例的相关概念及性质
1．线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比．
2．比例中项：如果eq \f(a,b)=eq \f(b,c)，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项．
3．比例的性质
4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比．
核心考点2：相似三角形的判定及性质
1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
2．性质：1）相似三角形的对应角相等；2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；
3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
3．判定：1）有两角对应相等，两三角形相似；2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；3）三边对应成比例，两三角形相似；4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：
1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）；
2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定（1）]或再找夹边成比例[用判定（2）]；
3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；
4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；
5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．
核心考点3：相似多边形
1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．
2．性质：1）相似多边形的对应边成比例；2）相似多边形的对应角相等；3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．
核心考点4：位似图形
1．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．
2．性质：1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．
3．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．
4．画位似图形的步骤：
1）确定位似中心；2）确定原图形的关键点；3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；4）作出原图形中各关键点的对应点；5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
图形的相似是非常重要的一块内容，内容相对较难，涉及到的题型也比较多。
1——考查黄金分割、比例性质
1．如果点C是线段的黄金分割点（），那么下列结论正确的为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据黄金分割的概念进行判断即可．
【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，，
∴是和的比例中项，即，
∴，
∴选项A、B、C结论错误，不符合题意，选项D结论正确，符合题意，
故选：D．
【反思】本题考查的是黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
2．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为4cm，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据黄金分割的定义可得据此求解即可．
【详解】解：∵P是AB的黄金分割点，，
∴；
故选：A．
【反思】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键．
2——考查相似的性质
3．已知两个相似多边形的面积之比是，则这两个相似多边形的相似比是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方计算选择即可．
【详解】∵两个相似多边形的面积之比是，
∴这两个相似多边形的相似比是，
故选A．
【反思】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
3——考查平行线分线段成比例定理
4．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
【详解】解：，
，
，
解得，
故选：D．
【反思】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
4——考查相似三角形的性质与判定
5．如图，，若，，则与的相似比是( )
A．B．C．D．
【分析】根据相似三角形对应边的比等于相似比求解．
【详解】解：∵，
∴
故选：B.
【反思】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
6．如图，，在边上取点P，使得与相似，则满足条件的点P有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．0个
【分析】根据相似三角形的性质分两种情况列式计算：①若；②若．
【详解】解：，
若与相似，可分两种情况：
①若，
则，
；
解得．
②若，
则，
，
解得或6．
则满足条件的长为2.8或1或6．
故选：C．
【反思】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确进行分类讨论是解题的关键．
7．如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．
下面是某学习小组根据题意得到的结论：
甲同学：；
乙同学：若，则；
丙同学：当时，D为的中点．
则下列说法正确的是（ ）
A．只有甲同学正确B．乙和丙同学都正确
C．甲和丙同学正确D．三个同学都正确
【分析】在中，依据三角形外角及已知可得，结合等腰三角形易证；结合，易证，得到；当时，结合已知求得，易证，依据等腰三角形“三线合一”得
【详解】解：在中，
，
，
，，
，
，
甲同学正确；
，，，
，
，
乙同学正确；
当时，
，
，
，
，
，
，
D为的中点，
丙同学正确；
综上所述：三个同学都正确
故选：D．
【反思】本题考查了三角形外角、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质；解题的关键是通过“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”得到．
8．下列证方形方格中四个三角形中，与甲图中的三角形相似的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据勾股定理求出各三角形的边长，再根据三边对应成比例的两个三角形相似，即可求解．
【详解】解：设网格中小正方形的边长为1，则给出的三角形三边长分别为，
A、三角形三边长分别是，
因为 ，
所以与给出的三角形的各边不成比例，故此选项不符合题意；
B、三角形三边长分别是 ，因为 ，所以与给出的三角形的各边成比例，故此选项符合题意；
C、三角形三边长分别是，因为与给出的三角形的各边不成比例，故此选项不符合题意；
D、三角形三边长分别是，因为 ，所以与给出的三角形的各边不成比例，故此选项不符合题意；
故选：B．
【反思】本题主要考查了两三角形相似的判定定理，熟练掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解题的关键．
5——考查相似三角形的应用
9．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中，，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先证明，得到，求出，即可得到“步云阁”的高度．
【详解】解：，，
，
，
，，，
测得眼睛D离地面的高度为，
，
故选B．
【反思】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质时解题关键．
10．数学实践课上，小明在测量教学楼高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为米（如图），然后在处树立一根高米的标杆，测得标杆的影长为4米，则楼高为（ ）
A．10米B．12米C．15米D．25米
【分析】根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
【详解】∵，
即，
∴楼高米，
故选：C．
【反思】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，找出相似三角形是解决问题的关键．
6——考查位似图形的性质
11．下图所示的四种画法中，能使得是位似图形的有（ ）
A．①②B．③④C．①③④D．①②③④
【分析】根据每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行
∴①②③④能使得是位似图形，
故选：D．
【反思】本题考查了位图图形的性质与画法，掌握位似图形的性质是解题的关键．
7——考查相似三角形的性质与判定（解答题）
12．已知，在中，，分别是边，上的点，连接，，，和相交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【分析】（1）用相似三角形的判定方法：两角对应相等的两三角形相似，找出，即可证明；
（2）用相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，然后进行转换即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【反思】本题考查了相似三角形的判定方法及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键．
13．【教材原题】如图①，在中，，且，，图中的相似三角形是__________，它们的相似比为__________ ；
【改编】将图①中的绕点A按逆时针方向旋转到如图②所示的位置，连接、．求证：；
【应用】如图③，在和中，，，点D在边上，连接，则与的面积比为__________．
【分析】教材原题：根据平行线的性质可得，，即可得出，再求出对应边的比，即可得出相似比；
改编：根据得出，，进而得出，，即可求证；
应用：根据，可得，则，进而得出，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求解．
【详解】教材原题
解：∵，
∴，，
∴；
∵，，
∴，
∴相似比为．
故答案为：，；
改编：证明：∵，
∴，．
∴，
∴，．
∴．
应用：∵，，
∴，
∴，则，
∵，
∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴．
∴．
故答案为：．
【反思】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质．
14．如图，是等腰直角三角形，，点D，E，F分别在边上，，的延长线与的延长线相交于点G．
(1)不添加辅助线，在图中找出一个与相似的三角形（不需证明）；
(2)若，求的长；
(3)若．求的值．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，再说明即可解答；
（2）如图：过点E作，垂足为H，先证可得进而得到，再根据等腰直角三角形的性质可得、，最后根据线段的和差即可解答．
（3）过点C作，交于点M，可得，再根据三角函数可得，设，则，结合（2）可得，再证明可得，然后再证明可得即，解得，进而求得，最后代数求解即可．
【详解】（1）解：结论：．如下：
理由：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图：过点E作，垂足为H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
（3）解：如图：过点C作，交于点M，
∴，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
由（2）得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
∴，
∴，
∴
∴的值为5．
【反思】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及构造相似三角形是本题的关键．
15．如图所示，在正方形中，是上的点，且，是的中点．
(1)与是否相似？为什么？
(2)试问：与有什么关系？
【分析】（1）在所要求证的两个三角形中，已知的等量条件为：，若证明两三角形相似，可证两个三角形的对应直角边成比例；
（2），且．根据相似三角形的对应边成比例即可求得与的数量关系；根据相似三角形的对应角相等即可证得与的位置关系．
【详解】（1）解：证明：四边形是正方形，
，；
又是中点，
；
，
，
，
又，
；
（2），且．理由如下：
由（1）知，，，
则，
；
，
，，
，
．
【反思】本题考查了相似三角形的判定与性质．相似三角形的对应边成比例、对应角相等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
——从不同角度思考问题，你会有不同收获
在学习数学，做数学题的过程中，我们对待一个问题或者说一个几何问题或代数问题，可以从不同角度出发，从不同角度思考问题，收获会更多，比如，平面几何问题中，经常会遇到计算线段长度的问题，我们可以从四个不同角度处理和思考这个问题，其一，我们从勾股定理方面想，可以构造直角三角形解决；其二，我们从相似三角形的角度出发，可以构造相似三角形解决；其三，我们也可以利用三角函数解决；其四，有时我们利用等积法来处理计算线段长度问题很简单的，从不同角度出发，收获会更大。
秘籍十五：从不同角度思考问题，你会有不同收获
一、选择题
1．如图，在中，点，，分别是边，，上的点，，，且，那么等于（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，，连接，过点O作交的延长线于P，若，则的长为（ ）
A．B．C．2D．3
3．如图，在正方形中，点在边上，且，连接，，平分，过点作于点，若正方形的边长为4，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在平行四边形中，E为上一点，且，与相交于点F，，则为（ ）
A．9B．12C．27D．36
5．如图，在中，，，分别是边，，上的点，若，则下列等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点．若点，在直线上，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
7．已知∽，且，，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示，与是位似图形，点O为位似中心．若，的周长为3，则的周长为（ ）
A．12B．6C．D．
9．如图,在中，，，点从开始沿边向点以2个单位/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以4个单位/秒的速度移动，如果、分别同时出发，经过（ ）秒后，与相似．
A．2B．C．或2D．或2
10．如图，在矩形中，点、分别在边、上，， ，，，则的长是（ ）
A．12B．15C．D．
二、填空题
11．已知，若的三边分别长为6，8，10，的面积为96，则的周长为______．
12．如图，中，，，，点在线段上运动，过点作，垂足为点，若与相似，则线段的长为________；
13．如图，矩形中，，点E为的中点，点P为边上一个动点，连接，过点P作于点Q，当与相似时，的长为_______．
14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，若与是位似图形，则的值是_______．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为______．
三、解答题
16．如图，为内的一点，为外的一点，且，．
(1)求证：；
(2)若，A，直接写出线段的长度为______．
17．如图，已知，，且，将边反向延长至点D，使，连接．
(1)求证：；
(2)求的长．
18．如图，是的外接圆，点O在边上，的平分线交于点D，连接、，过点D作的平行线与的延长线相交于点P．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
19．如图，是等腰直角三角形，，点D，E，F分别在边上，，的延长线与的延长线相交于点G．
(1)不添加辅助线，在图中找出一个与相似的三角形（不需证明）；
(2)若，求的长；
(3)若．求的值．
20．（1）如图1，中，，，，是上一点，，，垂足为，求的长．
（2）类比探究：如图2，中，，，点，分别在线段，上，，，求的长．
（3）拓展延伸：如图3，中，点，点分别在线段，上，，延长，交于点，，，， 求______．
一、选择题
1．如图，已知点是线段上的一点，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．在学习画线段的黄金分割点时，小明过点B作的垂线，取的中点M，以点B为圆心，为半径画弧交射线于点D，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（ ）
A． B． C． D．
3．如图，P是重心，且经过点P，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在矩形纸片中，，，点E在上，将沿折叠，点C恰好落在边上的点F处，点G在上，将沿折叠，点A恰好落在线段上的H处，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
5．四边形中，点在边上，的延长线交的延长线于点，下列式子中能判断的式子是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，点，分别在，上，，，且，，则的长为（ ）
A．B．4C．5D．
7．如图，正方形中，为上一点，，交的延长线于点，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，平分交于点过点作DE//BC交于点，若：：，且的面积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
10．如图，在中，，，点，分别是边，上的点，连结，将沿翻折得到，点的对称点恰好落在边上．若以点，，为顶点的三角形与相似，则的长为（ ）
A．B．C．或D．或
二、填空题
11．在矩形中，，，点在边上，若与相似，则的长为______．
12．中，，，点、点分别为边、边上的点，连接，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，若与相似，则的长为______．
13．如图，在中，，，点是边上的动点，连接，作交边于点，若设，，则关于的函数表达式是_____________。
14．如图，正方形中，，，点P在上运动（不与B、C重合），过点P作，交于点Q，设．
（1）y与x的函数关系为______．
（2）______时，______．
15．如图，在矩形中，点为上一点，且，，，点为边上一动点，连接、，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数为______．
三、解答题
16．如图，，且，点D在内部，连接．
(1)求证：．
(2)若，且，求的长．
17．如图，在三边互不相等的中，，．动点从开始沿边运动，速度为秒，动点同时从点开始沿边运动，速度为秒，当点P到达点时，，就不再运动．设，两点运动时间为秒，解决以下问题：
(1)证明：当时，；
(2)若与相似，求的值．
18．如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接为上一点，且
(1)求证：
(2)若，，求的长
19．如图1，在矩形中，，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点P的运动时间为．
(1)若．
①如图2，当点落在上时，求证：，
②是否存在异于图2的时刻，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由．
(2)当P点不与C点重合时，若直线与直线相交于点M，且当时存在某一时刻有结论成立，试探究：对于的任意时刻，结论“”是否总是成立？请说明理由．
20．【初步探索】
(1)如图1，已知点在直线上，点，在直线的同侧，，，，求证：；
【问题解决】在【初步探索】的基础上，将绕点顺时针旋转，直线，交于点，如图2所示．
(2)当的面积达到最大时，的度数为__________
(3)根据图2，求证：；
(4)根据图2，求的度数；
【类比应用】
(5)如图3，在矩形和矩形中，，，，连接，，请直接写出的值．
性质
内容
性质1
=⇔ad=bc（a，b，c，d≠0）．
性质2
如果=，那么．
性质3
如果==…=（b+d+…+n≠0），则=（不唯一）．
中考数学一轮复习资料五合一
《核心考点+重点题型+高分秘籍+题组特训+过关检测》
(全国通用版)
第22讲图形的相似
题组特训详解
选择题
1．如图，在中，点，，分别是边，，上的点，，，且，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例推导即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．注意掌握比例线段的对应关系是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，，连接，过点O作交的延长线于P，若，则的长为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】由得，根据，有，即得，故．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质定理．
3．如图，在正方形中，点在边上，且，连接，，平分，过点作于点，若正方形的边长为4，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正方形的性质求得，，，延长交于，过点，点分别作的垂线交于，，可证，，进而可得，，，根据，可求得，再通过的面积为即可求得答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，，，，
则，，
∴，
延长交于，过点，点分别作的垂线交于，，则，
∴，则，
∵平分，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
则，，
则，
∴，
∴的面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，添加辅助线构造相似三角形和全等三角形，求得的长度是解决问题的关键．
4．如图，在平行四边形中，E为上一点，且，与相交于点F，，则为（ ）
A．9B．12C．27D．36
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质得到，证明得到，再证明，即可得到，，则．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明，得到是解题的关键．
5．如图，在中，，，分别是边，，上的点，若，则下列等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形内外角关系可得，结合即可得到，即可得到，即可得到答案；
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查三角形内外角关系，三角形相似的性质与判定，解题的关键是得到相似的条件．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是线段上的一个动点，连接，过点作交轴于点．若点，在直线上，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】当点M在上运动时，交轴于点，此时点N在y轴的负半轴移动，定有；只要求出的最小值，也就是最大值时，就能确定点N的坐标，而直线与y轴交于点，此时b的值最大，因此根据相似三角形的对应边成比例，设未知数构造二次函数，通过求二次函数的最值得以解决．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，，，
∴轴，轴，
∴，
∴四边形是矩形，
，
又，
，
，
，
，
设．则，
，
即：，
当时，，
直线与轴交于，且点N在y轴的负半轴上，
∴当最大时，最小，点越往上，的值最大，，
此时， ，
的最大值为，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质、二次函数的性质、二次函数的最值以及一次函数的性质，构造相似三角形、利用二次函数的最值是解题的关键．
7．已知∽，且，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和等于和相似三角形的性质定理解答．
【详解】解：因为，根据相似三角形对应角相等可得：，因为，，所以,
故选B.
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质定理并学会应用是解答本题的关键.
8．如图所示，与是位似图形，点O为位似中心．若，的周长为3，则的周长为（ ）
A．12B．6C．D．
【答案】B
【分析】根据位似得出两个三角形的相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．
【详解】与是位似图形，
，，
，
∵，
∴，
与的周长比是2，
由于的周长为3，
所以的周长为6，
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
9．如图,在中，，，点从开始沿边向点以2个单位/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以4个单位/秒的速度移动，如果、分别同时出发，经过（ ）秒后，与相似．
A．2B．C．或2D．或2
【答案】C
【分析】设x秒后，与相似，可表示出，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】解：设经过x秒后，与相似，
则，
（1）当与是对应边时，，
即，
解得：，
（2）当与是对应边时，，
即，
解得：，
故经过2或秒后，与相似，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．
10．如图，在矩形中，点、分别在边、上，， ，，，则的长是（ ）
A．12B．15C．D．
【答案】C
【分析】利用相似三角形的性质求出AE的长，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形中，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质、勾股定理，解题关键是求出的长后利用勾股定理求解．
二、填空题
11．已知，若的三边分别长为6，8，10，的面积为96，则的周长为______．
【答案】48
【分析】首先根据勾股定理的逆定理，可证得是直角三角形，即可求得的面积，再根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：的三边分别长为6，8，10，，
是直角三角形，
的面积为：，
设的周长为x，
，
，
解得，
故答案为：48．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，相似三角形的性质，熟练掌握和运用相似三角形的性质是解决本题的关键．
12．如图，中，，，，点在线段上运动，过点作，垂足为点，若与相似，则线段的长为________；
【答案】或
【分析】当时，，得到，，由勾股定理得到的长；当，，设，利用平行线分线段成比例定理得到，利用比例式求出，根据列方程求出，即可得到的长．
【详解】解：当时，，
即，，
∵，
∴，垂直平分，
∴，，
∴；
当，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
解得，
∴，
故答案为：或
【点睛】此题考查了相似的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
13．如图，矩形中，，点E为的中点，点P为边上一个动点，连接，过点P作于点Q，当与相似时，的长为_______．
【答案】或4
【分析】根据矩形性质得出，，，，，分时，，或时，，求出的长即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，，，
，
∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴；
当时，，如图所示：
过点E作于点F，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，
即，
解得：；
综上分析可知，或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是根据题意作出图形，并注意分类讨论．
14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，若与是位似图形，则的值是_______．
【答案】
【分析】根据位似图形的性质得到，易得，再根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，
，，即，
与是位似图形，
，
，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了位似图形的概念和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在x轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长，交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续作下去，若，则正方形的面积为______．
【答案】
【分析】先根据位似比求出，再证明，得到，，，，同理证明，得到，从而得到正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，……，据此发现规律即可得到答案．
【详解】解：∵正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
，
轴，轴，
，
，
，
，
，
，
正方形的边长为，
，
，
正方形的边长为，
，
，
同理可得，
，
，
正方形的边长为，
正方形的面积为，
正方形的面积为，
正方形的面积为，
……
∴正方形的面积是．
故答案为：．
【点睛】本题为位似的实际应用，考查了位似比，正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，理解题意，根据相似三角形和正方形的知识分别求出正方形的边长，从而表示出正方形的面积并发现规律是解题关键．
三、解答题
16．如图，为内的一点，为外的一点，且，．
(1)求证：；
(2)若，A，直接写出线段的长度为______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断；
（2）先利用得，根据比例的性质得到 得出，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，A，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
17．如图，已知，，且，将边反向延长至点D，使，连接．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由等腰三角形的性质及，可得，结合，利用有两个角分别相等的三角形相似可得结论；
（2）由已知线段的长得利用得出比例式，从而解得的值，根据（1）可知，则可求得的值．
【详解】（1）证明：∵，
∴∠
∵是的外角，
∴∠
又
∴∠
又
∴
（2）∵∠
∴
∵
∴
∵
∴
解得，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
18．如图，是的外接圆，点O在边上，的平分线交于点D，连接、，过点D作的平行线与的延长线相交于点P．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出即可得出结论；
（2）先判断出，再判断出，即可得出结论；
（3）先求出，再判断出，利用勾股定理求出，最后用得出比例式求解即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴是的切线；
（2）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（3）解：∵是直径，
∴，
∵，，
由勾股定理得：，
由（1）知，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出是解本题的关键．
19．如图，是等腰直角三角形，，点D，E，F分别在边上，，的延长线与的延长线相交于点G．
(1)不添加辅助线，在图中找出一个与相似的三角形（不需证明）；
(2)若，求的长；
(3)若．求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)5
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，再说明即可解答；
（2）如图：过点E作，垂足为H，先证可得进而得到，再根据等腰直角三角形的性质可得、，最后根据线段的和差即可解答．
（3）过点C作，交于点M，可得，再根据三角函数可得，设，则，结合（2）可得，再证明可得，然后再证明可得即，解得，进而求得，最后代数求解即可．
【详解】（1）解：结论：．如下：
理由：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图：过点E作，垂足为H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴．
（3）解：如图：过点C作，交于点M，
∴，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
由（2）得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴
∴，
∴，
∴
∴的值为5．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及构造相似三角形是本题的关键．
20．（1）如图1，中，，，，是上一点，，，垂足为，求的长．
（2）类比探究：如图2，中，，，点，分别在线段，上，，，求的长．
（3）拓展延伸：如图3，中，点，点分别在线段，上，，延长，交于点，，，， 求______．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【分析】(1)证明，根据相似三角形的性质得到，把已知数据代入计算，求出；
(2)在上截取，连接，根据等边三角形的性质得到，，证明，根据相似三角形的性质计算即可；
(3)过点B作于点M，过点E作于点N，设，用表示出、，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】(1) ，，
，
，
，
，
解得：．
(2)如图2，在上截取，连接，
，
为等边三角形，
，，
，，
，
，，
，
，，即，
解得：．
(3)如图3，过点B作于点M，过点E作于点N，
，
，
，
，
则，
，
设，
，，
，BD=2a，
，
，
，
，，
，
∴，
，
，即，
解得：，
．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质，正确作出辅助线、熟记三角形相似的判定定理是解题的关键．
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一．选择题
1．如图，已知点是线段上的一点，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，根据求出x，得到和，再计算结果即可．
【详解】解：设，，则，
∵，
∴，解得：或（舍），
即，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程和黄金分割的应用，根据题意列出比例式是关键．
2．在学习画线段的黄金分割点时，小明过点B作的垂线，取的中点M，以点B为圆心，为半径画弧交射线于点D，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据作图可知，，，设，则，，求出，得出，即可得出结论．
【详解】解：根据作图可知，，，
设，则，
∴根据勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴以A为圆心，“”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，黄金分割，解的关键是求出．
3．如图，P是重心，且经过点P，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据重心可得，结合可得，即可得到答案；
【详解】解：∵P是重心，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查平行线所截线段对应成比例，三角形重心的性质，解题的关键是熟知三角形重心到顶点距离与到顶点对边中点的距离比为．
4．如图，在矩形纸片中，，，点E在上，将沿折叠，点C恰好落在边上的点F处，点G在上，将沿折叠，点A恰好落在线段上的H处，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④
【答案】C
【分析】①根据折叠、矩形的性质进行推理即可；②根据等高三角形的面积比等于等边的比计算分析即可；③由矩形的性质、勾股定理及相似三角形的判定定理计算分析即可；④由矩形的性质可得的长，根据求得的值，即可求得答案．
【详解】解：①由折叠的性质可知：，，
∵四边形是矩形，
，
，故①正确；
②由折叠的性质可知：，，
，
，
，故②正确；
③∵四边形是矩形，
，
在中，，
设，即，
在中，，
即，解得，
，
；
同理可得，
，，
，
与不相似，故③错误；
④，，
，
，
，故④正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．
5．四边形中，点在边上，的延长线交的延长线于点，下列式子中能判断的式子是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定与性质、平行线的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：A．，结合不能证明，不能推出，因此不能判断，不合题意；
B．，结合，可证，可得，可以判断，不能判断，不合题意；
C．，结合，不能证明，不能判断，也不能判断，不合题意；
D．，结合可证，推出，能够判断，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．
6．如图，在中，点，分别在，上，，，且，，则的长为（ ）
A．B．4C．5D．
【答案】C
【分析】根据，可得，从而得到，可证明，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，解得：，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
7．如图，正方形中，为上一点，，交的延长线于点，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由勾股定理可求出的长，通过证明，可得，即可求解．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．
8．如图，在中，平分交于点过点作DE//BC交于点，若：：，且的面积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出△BDE的面积，再根据AD：DC＝3：2，可得结论．
【详解】解：∵AE：BE＝3：2，
∴AE：BA＝3：5，
∴△ADE与△DEB的面积之比为：3：2，
∵△ADE的面积为3，
∴△BDE的面积＝2，
∴△ABD的面积为5，
∵DE//CB，
∴△AED∽△ABC，
∴，
∴△BCD的面积＝ ×5＝
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此题的关键．
9．如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】连接BD，作点C关于BD的对称点N，以点D为圆心，以DC为半径作，过点D作DM⊥AB于M，交于Q．根据勾股定理，相似三角形的判定定理和性质求出DM的长度，根据轴对称的性质求出QM的长度，根据点E的运动轨迹确定当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如下图所示，连接BD，作点C关于BD的对称点N，以点D为圆心，以DC为半径作，过点D作DM⊥AB于M，交于Q．
∵，，，DM⊥AB于M，
∴∠AMD=∠ACB，．
∵∠MAD=∠CAB，AD=2，
∴，DC=AC-AD=1．
∴，DQ=DC=1．
∴．
∴．
∵动点P在BC边上，△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，
∴DE=DC=DN．
∴点E在上移动．
∴当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM．
∴△AEB面积的最小值为．
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定定理和性质，轴对称的性质，三角形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键．
10．如图，在中，，，点，分别是边，上的点，连结，将沿翻折得到，点的对称点恰好落在边上．若以点，，为顶点的三角形与相似，则的长为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】根据折叠的性质得到BE=EF，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，
∴BE=EF，
∵BC=4，
∴CE=4-BE，
∵以点C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，
∴或，即或，
解得：BE=或2，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
二、填空题
11．在矩形中，，，点在边上，若与相似，则的长为______．
【答案】或或
【分析】设为，表示出，然后分和是对应边，和是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】解：如图，

设为，
，
，
和是对应边时，
∽，
，
即，
解得，，
经检验或是分式方程的解．
②和是对应边时，
∽，
，
即，
解得，
经检验是分式方程的解，
当或或时，与相似，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，涉及到矩形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．
12．中，，，点、点分别为边、边上的点，连接，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，若与相似，则的长为______．
【答案】或
【分析】根据折叠的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，然后分两种情况：和，再根据相似三角形的性质，计算即可得出答案．
【详解】解：如图，将沿直线折叠得到，则，
∵，
∴，
①若，
∴，
即，
解得：；
②若，
∴，
即，
解得：，
综上可得：的长为或．
故答案为：或
【点睛】本题考查了折叠的性质、相似三角形的性质，解本题的关键在分两种情况进行讨论．
13．如图，在中，，，点是边上的动点，连接，作交边于点，若设，，则关于的函数表达式是_____________。
【答案】
【分析】先证明，根据线段的和差可得，，再利相似三角形的性质可得关于的函数解析式，然后根据的长即可得的取值范围。
【详解】解：，
，
∵，，
，
，
，，，，
，，
化简整理得：
故答案为：。
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，列函数关系，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键。
14．如图，正方形中，，，点P在上运动（不与B、C重合），过点P作，交于点Q，设．
（1）y与x的函数关系为______．
（2）______时，______．
【答案】 8 ##
【分析】（1）根据已知条件以及正方形的性质得出，证明，设，则，根据相似三角形的性质即可求得函数的解析式；
（2）把（1）中的函数解析式配成顶点式，即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2），
∵，
∴当时，y的最大值为，
故答案为：8，．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，二次函数的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
15．如图，在矩形中，点为上一点，且，，，点为边上一动点，连接、，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数为______．
【答案】3
【分析】设，则，分和两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】解：设，则，
当时，，即，
解得，，
当时，，即，
解得，或6，
可得：满足条件的点P的个数有3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，注意分情况讨论思想的灵活运用是解题的关键．
三、解答题
16．如图，，且，点D在内部，连接．
(1)求证：．
(2)若，且，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据可得，则，即可证明；
（2）根据，先求出的长度，在根据相似三角形对应角相等，得出，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴ ，
∴，
∴；
（2）∵，
∴ ，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的性质和判定定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形对应角相等，对应边成比例；以及两边成比例且夹角相等的三角形相似．
17．如图，在三边互不相等的中，，．动点从开始沿边运动，速度为秒，动点同时从点开始沿边运动，速度为秒，当点P到达点时，，就不再运动．设，两点运动时间为秒，解决以下问题：
(1)证明：当时，；
(2)若与相似，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】（1）根据，动点的速度为秒，动点的速度为秒，求出，，得到，推出， 根据，判定；
（2）根据与相似，分或两种情况，当时，推出，得到，解得；当时，推出，得到，解得．
【详解】（1）当时，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
（2）∵的三边互不相等，
∴若与相似，则或，
当时，，
∴，
解得，
当时，，
∴，
解得．
∴若与相似，则或．
【点睛】本题主要考查了三角形相似，解决问题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，根据相似比列方程，解方程．
18．如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接为上一点，且
(1)求证：
(2)若，，求的长
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）利用平行四边形的性质可得到，结合条件可证得；
（2）利用平行四边形的面积公式，结合勾股定理可求得AE；
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴
∵，
∴ ，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键．注意方程思想的应用．
19．如图1，在矩形中，，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点P的运动时间为．
(1)若．
①如图2，当点落在上时，求证：，
②是否存在异于图2的时刻，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由．
(2)当P点不与C点重合时，若直线与直线相交于点M，且当时存在某一时刻有结论成立，试探究：对于的任意时刻，结论“”是否总是成立？请说明理由．
【答案】(1)①证明见解析；②存在，的值为2或6或
(2)对于的任意时刻，结论“”总是成立，理由见解析
【分析】（1）①由折叠的性质得到，再由，即可证明；②分如图1-1所示，当时，此时点落在上，如图1-2所示，当时，此时点在的延长线上，如图1-3所示，当时，三种情况求出对应的的长即可得到答案；
（2）如图2-1，根据以及翻折的性质可以证明得到，从而可得，如图2-2所示，设，则，则，证明，得到，再由折叠的性质可得，由此即可证明．
【详解】（1）证明：①∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴；
②如图1-1所示，当时，此时点落在上，
由折叠的性质可得，由矩形的性质得，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得；
如图1-2所示，当时，此时点在的延长线上，
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得；
如图1-3所示，当时，
由折叠的性质可得，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴；
综上所述，t的值为2或6或；
（2）解：对于的任意时刻，结论“”总是成立，理由如下：
如图2-1所示，
∵，
∴，
∴
由折叠的性质可得，，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
如图2-2所示，
设，则，
∴，
∵
∴，
∴，
由折叠的性质可得
∴，
∴
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，涉及了矩形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，勾股定理的应用，翻折的性质等，综合性较强，有一定的难度，正确画出符合题意的图形，熟练运用相关知识是解题的关键．
20．【初步探索】
(1)如图1，已知点在直线上，点，在直线的同侧，，，，求证：；
【问题解决】在【初步探索】的基础上，将绕点顺时针旋转，直线，交于点，如图2所示．
(2)当的面积达到最大时，的度数为__________
(3)根据图2，求证：；
(4)根据图2，求的度数；
【类比应用】
(5)如图3，在矩形和矩形中，，，，连接，，请直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
(4)
(5)
【分析】（1）根据两边成比例且夹角相等两三角形相似即可得出结论．
（2）一定，，因此当最大时，的面积最大，因此当时，取最大值，此时的面积最大．即可得出的度数．
（3）由，，可得,得，，得出即可得出结论．
（4）由可得，由即可得出结论．
（5）连接、，在和中，根据勾股定理，，由此可知，，由，可得，由，可得即可得出结论．
【详解】（1）∵、，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）∵一定，，因此当最大时，的面积最大，由题意得时，取最大值，此时的面积最大，
∴,
∵，，
∴，
∴旋转角，
故答案为：．
（3）∵、、，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
∵，，
∴．
（4）∵，
∴，
∴
，
即的度数为115°．
（5）连接，．如图，
在和中，由勾股定理,，
∴，
，
∴，
∴，即．
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形面积的最大值，矩形的性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．